3.6二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 的分布的分布 M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 小結(jié)小結(jié) ZXY 在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論: 當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量 X, Y 的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)求出它們的函數(shù)Z = g ( X, Y ) 的分布的分布?引言引言一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)設(shè) (, )X Y是二維離散型隨機(jī)變量是二維離散型隨機(jī)變量, ,其聯(lián)合分布列為其聯(lián)合分布列為 (, )Zg X Y那么那么 是一維的離散型隨機(jī)變量是一維的離

2、散型隨機(jī)變量 其分布列為其分布列為 ,.)2 , 1,( ,jipyYxXPijji,.)2 , 1,( ,(jipyxgZPijji(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp11p12pijZ=g(X,Y) g(x1,y1) g(x1,y2)g(xi,yj) 例例 1 1 設(shè)設(shè) 的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為 (, )X Y YX-2-1100.20.10.310.300.1分別求出分別求出1X+Y；（；（2X-Y；（；（3X2+Y-2的的分布列分布列解解 由由X X，Y Y的聯(lián)合分布列可得如下表格的聯(lián)合分布列可得如下表格 (0,-2)(0,-1)(0,1)(1,-2)(1,

3、-1)(1,1)概率0.20.10.30.300.1-2-11-10221-1320-4-3-1-3-20(, )X YXYXY22XY 解解 得所求的各分布列為得所求的各分布列為 X+Y-2-1012概率0.20.400.30.1X-Y-10123概率0.30.10.10.20.3X2+Y-2-4-3-2-10概率0.20.400.30.11、Z=X+Y 例例2 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y) , 求求 Z=X+Y 的概的概率密度率密度. Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域 D=(x, y): x+y z解解Z=X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: ZFzP Z

4、z P XYz 它是直線它是直線 x+y =z 及其左下方的半平面及其左下方的半平面.xyzy0二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 化成累次積分化成累次積分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換, 令令 x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()( zdudyyyuf),(變量代換變量代換交換積分次序交換積分次序xyzxy0y由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得即得Z=X+Y的概率的概率密度為密度為: 由由X和和Y的對(duì)稱性

5、的對(duì)稱性, fZ (z)又可寫又可寫成成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()( zZdudyyyufzF),()( 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) X 和和 Y 獨(dú)立，設(shè)獨(dú)立，設(shè) (X,Y) 關(guān)于關(guān)于 X , Y 的邊的邊緣密度分別為緣密度分別為 fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfYXZ)()()(dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我們用卷積公式來(lái)求下面我們用卷積公式來(lái)求Z=X+Y的概率密度的概率密度. 卷積公式卷積公

6、式 例例3 若若X和和Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 , 具具有相同的分布有相同的分布 N(0,1) , 求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.dxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷積公式由卷積公式 222212z xxeedx 22()4212zzxeedx 22()212zxzxeedx 22()4212zzxeedx 令令,2ztx得得 Zfz 22412zteedt 2412ze 2222122ze 可見(jiàn)可見(jiàn) Z=X+Y 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(0,2).用類似的方法可以證明用類似的方法可以證明: ),(222121NYXZ 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立

7、,),(),(222211NYNX 結(jié)論又如何呢結(jié)論又如何呢? 此結(jié)論可以推廣到此結(jié)論可以推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形,請(qǐng)自行寫出結(jié)論請(qǐng)自行寫出結(jié)論. 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立 , 具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1) , 則則Z=X+Y 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(0,2). 有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布分布.更一般地更一般地, 可以證明可以證明:2iiiNX，相互獨(dú)立，如果隨機(jī)變量nXXX21個(gè)實(shí)常數(shù)，為，又naaan21niiiXaZ1令niiiniiiaaNZ1221，則2、M=max(X,Y)及

8、及N=min(X,Y)的分布的分布 設(shè)設(shè) X，Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為布函數(shù)分別為FX(x) 和和 FY(y),我們來(lái)求我們來(lái)求 M = max(X,Y) 及及 N = min(X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù).FM(z)=P(Mz) =P(Xz,Yz)由于由于 X 和和 Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,于是得到于是得到 M = max(X,Y) 的分的分布函數(shù)為布函數(shù)為: =P(Xz)P(Yz)FM(z)1. M = max(X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) Mz XzYz 即有即有 FN(z)= 1-

9、1-FX(z)1-FY(z) =1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz) =1-P(Nz)2. N = min(X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)Nz XzYz 由于由于 X 和和 Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,于是得到于是得到 N = min(X,Y) 的分布的分布函數(shù)為函數(shù)為: =1- P(Xz)P(Yz)FN(z) 設(shè)設(shè) X1,Xn 是是 n 個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們它們的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 我們來(lái)求我們來(lái)求 M=max(X1,Xn) 和和N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)的分布函數(shù).(i = 1, , n) 用與二維時(shí)完全類似的方法，可得用與二維時(shí)完全類似的方法

10、，可得 N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是 M=max(X1,Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: 12nMXXXFzFz FzFz 121111nNXXXFzFzFzFz iXFz 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立且具有相同相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)時(shí)，有時(shí)，有 nMFzF z 1 1nNFzF z 例例7 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng) L 由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng) 連接而成連接而成,連接的方式分別為連接的方式分別為 (i) 串聯(lián)串聯(lián), (ii) 并聯(lián)并聯(lián), (iii)備用備用 (當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng) 損壞時(shí)損壞時(shí), 系統(tǒng)系統(tǒng) 開(kāi)始工作開(kāi)始工作) , 如下圖如下圖

11、所示所示.設(shè)設(shè) 的壽命分別為的壽命分別為 已知它們的概已知它們的概率密度分別為率密度分別為12,L L12,L L1L2L, ,X Y ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx ,0 ,0 ,0 ,yYeyfyy 0,0 其中其中 且且 試分別就以上三種連接方試分別就以上三種連接方式寫出式寫出 的壽命的壽命 的概率密度的概率密度. LZXY1L2LXY1L2L1LXY2LXY1L2L解解 (i) 串聯(lián)的情況串聯(lián)的情況 由于當(dāng)系統(tǒng)由于當(dāng)系統(tǒng) 中有一個(gè)損壞時(shí)中有一個(gè)損壞時(shí), 系統(tǒng)系統(tǒng) L 就停就停止工作止工作,12,L L所以此時(shí)所以此時(shí) L 的壽命為的壽命為 min,ZX Y ,0 ,0 ,0 ,xX

12、exfxx 由于由于 X 的概率密度為的概率密度為所以所以 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 xXXFxft dt xXXFxft dt x0 xx 0 xXFxdt 0 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) , 000 xtXFxdtedt 1xe 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí) , 1,0 ,0 ,0 ,xXexFxx 故故 類似地類似地 , 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy 可求得可求得 Y 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為于是于是 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 min,ZX Y = 1-1-FX(z)1-FY(z) minFz()1,0 ,0 ,0 , zezz 的概率密度為的概率密度為 min,ZX Y (),0 ,0 ,0

13、 , z ezz minminfzFz XY1L2L(ii) 并聯(lián)的情況并聯(lián)的情況 由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng) 都損壞時(shí)都損壞時(shí), 系統(tǒng)系統(tǒng) L 才停才停止工作止工作,12,L L所以此時(shí)所以此時(shí) L 的壽命為的壽命為 max,ZX Y 故故 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 max,ZX Y maxXYFzFx Fy (1)(1) ,0 ,0 ,0 ,zzeezz XY1L2L maxmaxfzFz (),0 ,0 ,0 ,zz ee ezz 于是于是 的概率密度為的概率密度為 max,ZX Y (iii) 備用的情況備用的情況因此整個(gè)系統(tǒng)因此整個(gè)系統(tǒng) L 的壽命為的壽命為 由于當(dāng)系統(tǒng)由于當(dāng)系統(tǒng) 損壞時(shí)損壞時(shí), 系統(tǒng)系統(tǒng) 才開(kāi)始工作才開(kāi)始工作,1L2LZXY dyyfyzfzfYXZ)()()(當(dāng)當(dāng) z 0 時(shí)時(shí) , 0.Zfz 當(dāng)當(dāng) z 0 時(shí)時(shí) , 0z