初中數(shù)學(xué)求線段和差最值知識(shí)

1、.初中數(shù)學(xué)求線段和差最值知識(shí) 初中階段我們學(xué)過(guò)三種途徑最值問(wèn)題,一是兩點(diǎn)之間線段最短;二是將軍飲馬問(wèn)題;三是直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的連線中,垂線段最短。一、直接利用公理定理求最值1、公理：兩點(diǎn)直接線段最短2、定理：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊由上面公理證明而得3、定理：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱垂線段最短所有的線段和差問(wèn)題都是直接利用或者轉(zhuǎn)化為第1點(diǎn)或第3點(diǎn)來(lái)求最值，這是咱們考慮這類問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)，大家要死死記住。二、結(jié)合圖形三大變換求最值1、應(yīng)用平移變換、軸對(duì)稱變換將線段和差轉(zhuǎn)化為可以利用公理定理求最值將軍飲馬問(wèn)題2、應(yīng)用旋轉(zhuǎn)變換將線段和差轉(zhuǎn)化為

2、可以利用公理定理求最值費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題【將軍飲馬問(wèn)題】【費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題】三.例題1.如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的間隔 為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，如今要在河邊建一自來(lái)水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬(wàn)，請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少?作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'，交CD于點(diǎn)M那么AM+BM = AM+B'M = AB'，水廠建在M點(diǎn)時(shí)，費(fèi)用最小如右圖，在直角AB'E中，AE = AC+CE = 10+30

3、 = 40EB' = 30所以：AB' = 50總費(fèi)用為：50×3 = 150萬(wàn)2.如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC。AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.1用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng);2請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最小?3根據(jù)2中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值3.兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個(gè)油庫(kù)，設(shè)為點(diǎn)P，如在兩條公路上各設(shè)置一個(gè)加油站，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，把兩個(gè)加油站設(shè)在何處，可使運(yùn)油車從油庫(kù)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一個(gè)加油

4、站，再到另一個(gè)加油站，最后回到油庫(kù)所走的路程最短.分析 這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們需要把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)分析，我們知道此題是求運(yùn)油車所走路程最短，OA與OB相交，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，通常我們會(huì)想到軸對(duì)稱，分別做點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2 ，連結(jié)P1P2分別交OA、OB于C、D，C、D兩點(diǎn)就是使運(yùn)油車所走路程最短，而建加油站的地點(diǎn)，那么是不是最短的呢?我們可以用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)展說(shuō)明.解：分別做點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連結(jié)P1P2分別交OA、OB于C、D，那么C、D就是建加油站的位置.假設(shè)取異于C、D兩點(diǎn)的點(diǎn)，那么由三角形的三邊關(guān)系，可知在C、

5、D兩點(diǎn)建加油站運(yùn)油車所走的路程最短.點(diǎn)評(píng)：在這里沒(méi)有詳細(xì)說(shuō)明為什么在C、D兩點(diǎn)建加油站運(yùn)油車所走的路程最短，請(qǐng)同學(xué)們考慮弄明白。4.如圖∠AOB = 45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求PQR周長(zhǎng)的最小值.分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連接P1P2，交OA、OB于點(diǎn)Q，R，連接OP1，OP2，那么OP = OP1 = OP2 = 10且∠P1OP2 = 90°由勾股定理得P1P2 = 105.如圖，等腰RtABC的直角邊長(zhǎng)為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上

6、的一動(dòng)點(diǎn)，那么PB+PE的最小值為即在AC上作一點(diǎn)P，使PB+PE最小作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'E，交AC于點(diǎn)P，那么B'E = PB'+PE = PB+PEB'E的長(zhǎng)就是PB+PE的最小值在直角B'EF中，EF = 1，B'F =3根據(jù)勾股定理，B'E =6.等腰ABC中，∠A = 20°，AB = AC = 20，M、N分別是AB、AC上的點(diǎn)，求BN+MN+MC的最小值分別作點(diǎn)C、B關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)C&rsq

7、uo;、B’，連接C’B’交AB、AC于點(diǎn)M、N，那么BN+MN+MC= B’N+MN+MC’ = B’C’，BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值∠BAC’ =∠BAC，∠CAB’ =∠CAB∴∠B’AC’ = 60°AC’ = AC，AB’ = AB，AC = AB∴AC’ = AB’∴AB’C’是等邊三角形&