流體靜力學(xué)基本方程式

1、第一節(jié) 流體靜力學(xué)基本方程式流體靜力學(xué)是研究流體在外力作用下達(dá)到平衡的規(guī)律。在工程實(shí)際中，流體的平衡規(guī)律應(yīng)用很廣，如流體在設(shè)備或管道內(nèi)壓強(qiáng)的變化與測量、液體在貯罐內(nèi)液位的測量、設(shè)備的液封等均以這一規(guī)律為依據(jù)。1-1-1流體的密度 一、密度單位體積流體所具有的質(zhì)量，稱為流體的密度，其表達(dá)式為： （1-1）式中 流體的密度，kg/m3； m流體的質(zhì)量，kg； V流體的體積，m3。不同的流體密度不同。對于一定的流體，密度是壓力P和溫度T的函數(shù)。液體的密度隨壓力和溫度變化很小，在研究流體的流動(dòng)時(shí)，若壓力和溫度變化不大，可以認(rèn)為液體的密度為常數(shù)。密度為常數(shù)的流體稱為不可壓縮流體。流體的密度一般可在物理化

2、學(xué)手冊或有關(guān)資料中查得，本教材附錄中也列出某些常見氣體和液體的密度值，可供查用。 二、氣體的密度氣體是可壓縮的流體，其密度隨壓強(qiáng)和溫度而變化。因此氣體的密度必須標(biāo)明其狀態(tài)，從手冊中查得的氣體密度往往是某一指定條件下的數(shù)值，這就涉及到如何將查得的密度換算為操作條件下的密度。但是在壓強(qiáng)和溫度變化很小的情況下，也可以將氣體當(dāng)作不可壓縮流體來處理。對于一定質(zhì)量的理想氣體，其體積、壓強(qiáng)和溫度之間的變化關(guān)系為 將密度的定義式代入并整理得 （1-2）式中 p氣體的密度壓強(qiáng)，Pa； V氣體的體積，m3； T氣體的絕對溫度，K； 上標(biāo)“'”表示手冊中指定的條件。一般當(dāng)壓強(qiáng)不太高，溫度不太低時(shí)，可近似按下

3、式來計(jì)算密度。 （1-3a）或 （1-3b）式中 p氣體的絕對壓強(qiáng)，kPa或kN/m2； M氣體的摩爾質(zhì)量，kg/kmol； T氣體的絕對溫度，K； R氣體常數(shù)，8.314kJ/（kmol·K） 下標(biāo)“0”表示標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)（T0=273K，p0=101.3kPa）。 三、混合物的密度化工生產(chǎn)中所遇到的流體往往是含有幾個(gè)組分的混合物。通常手冊中所列的為純物質(zhì)的密度，所以混合物的平均密度m需通過計(jì)算求得。1液體混合物 各組分的濃度常用質(zhì)量分率來表示。若混合前后各組分體積不變，則1kg混合液的體積等于各組分單獨(dú)存在時(shí)的體積之和?；旌弦后w的平均密度m為： （1-4）式中 A、Bn液體混合物中各純

4、組分的密度，kg/m3； xwA、xwBxwn液體混合物中各組分的質(zhì)量分率。2氣體混合物 各組分的濃度常用體積分率來表示。若混合前后各組分的質(zhì)量不變，則1m3混合氣體的質(zhì)量等于各組分質(zhì)量之和，即： m=AxVA+BxVB+nxVn （1-5）式中 xVA、xVBxVn氣體混合物中各組分的體積分率。氣體混合物的平均密度m也可按式1-3a計(jì)算，此時(shí)應(yīng)以氣體混合物的平均摩爾質(zhì)量Mm代替式中的氣體摩爾質(zhì)量M。氣體混合物的平均分子量Mm可按下式求算： Mm=MAyA+MByB+Mnyn （1-6）式中 MA、MBMn為氣體混合物中各組分的摩爾質(zhì)量； yA、yByn氣體混合物中各組分的摩爾分率。【例1-1

5、】 已知硫酸與水的密度分別為1830kg/m3與998kg/m3，試求含硫酸為60%（質(zhì)量）的硫酸水溶液的密度為若干。解：根據(jù)式1-4 =（3.28+4.01）10-4=7.29×10-4 m=1372kg/m3【例1-2】 已知干空氣的組成為：O221%、N278%和Ar1%（均為體積%），試求干空氣在壓力為9.81×104Pa及溫度為100時(shí)的密度。解：首先將攝氏度換算成開爾文 100=273+100=373K再求干空氣的平均摩爾質(zhì)量 Mm=32×0.21+28×0.78+39.9×0.01 =28.96根據(jù)式1-3a氣體的平均密度為： 1

6、-1-2 流體的靜壓強(qiáng) 一、靜壓強(qiáng)流體垂直作用于單位面積上的力，稱為壓強(qiáng)，或稱為靜壓強(qiáng)。其表達(dá)式為 （1-7）式中 p流體的靜壓強(qiáng)，Pa； Fv垂直作用于流體表面上的力，N； A作用面的面積，m2。 二、靜壓強(qiáng)的單位在法定單位中，壓強(qiáng)的單位是Pa，稱為帕斯卡。但習(xí)慣上還采用其它單位，如atm（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）、某流體柱高度、bar（巴）或kgf/cm2等，它們之間的換算關(guān)系為： 1atm=1.033kgf/cm2=760mmHg=10.33mH2O=1.0133bar=1.0133×105Pa 三、靜壓強(qiáng)的表示方法壓強(qiáng)的大小常以兩種不同的基準(zhǔn)來表示：一是絕對真空；另一是大氣壓強(qiáng)。以絕對真

7、空為基準(zhǔn)測得的壓強(qiáng)稱為絕對壓強(qiáng)，以大氣壓強(qiáng)為基準(zhǔn)測得的壓強(qiáng)稱為表壓或真空度。表壓是因?yàn)閴簭?qiáng)表直接測得的讀數(shù)按其測量原理往往就是絕對壓強(qiáng)與大氣壓強(qiáng)之差，即 表壓=絕對壓強(qiáng)大氣壓強(qiáng)真空度是真空表直接測量的讀數(shù)，其數(shù)值表示絕對壓強(qiáng)比大氣壓低多少，即 真空度=大氣壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)、表壓強(qiáng)與真空度之間的關(guān)系可用圖1-1表示。 圖1-1 絕對壓強(qiáng)、表壓強(qiáng)和真空度的關(guān)系1-1-3 流體靜力學(xué)基本方程式流體靜力學(xué)基本方程是用于描述靜止流體內(nèi)部，流體在重力和壓力作用下的平衡規(guī)律。重力可看成不變的，起變化的是壓力，所以實(shí)際上是描述靜止流體內(nèi)部壓力（壓強(qiáng)）變化的規(guī)律。這一規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為流體靜力學(xué)基本方程，

8、可通過下述方法推導(dǎo)而得。在密度為的靜止流體中，任意劃出一微元立方體，其邊長分別為dx、dy、dz，它們分別與x、y、z軸平行，如圖1-2所示。由于流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此所有作用于該立方體上的力在坐標(biāo)軸上的投影之代數(shù)和應(yīng)等于零。對于z軸，作用于該立方體上的力有： 圖1-2 微元流體的靜力平衡（1）作用于下底面的壓力為pdxdy。 （2）作用于上底面的壓力為。（3）作用于整個(gè)立方體的重力為gdxdydz。z軸方向力的平衡式可寫成： pdxdygdxdydz=0即 上式各項(xiàng)除以dxdydz，則z軸方向力的平衡式可簡化為 （1-8a）對于x、y軸，作用于該立方體的力僅有壓力，亦可寫出其相應(yīng)的力的平衡式

9、，簡化后得x軸 （1-8b）y軸 （1-8c）式1-8a、式1-8b、式1-8c稱為流體平衡微分方程式，積分該微分方程組，可得到流體靜力學(xué)基本方程式。將式1-8a、1-8b、1-8c分別乘以dz、dx、dy，并相加后得 （1-8d）上式等號的左側(cè)即為壓強(qiáng)的全微分dp，于是 dp+gdz=0 （1-8e）對于不可壓縮流體，=常數(shù)，積分上式,得 =常數(shù) （1-8f）液體可視為不可壓縮的流體，在靜止液體中取任意兩點(diǎn)，如圖1-3所示，則有 （1-9a）或 p2=p1+g(z1z2) (1-9b) 圖1-3 靜止液體內(nèi)的壓強(qiáng)分布為討論方便，對式1-9b進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，即使點(diǎn)1處于容器的液面上，設(shè)液面上方

10、的壓強(qiáng)為p0，距液面h處的點(diǎn)2壓強(qiáng)為p，式1-9b可改寫為 p=p0+gh （1-9c）式1-9a、式1-9b及式1-9c稱為流體靜力學(xué)基本方程式，說明在重力場作用下，靜止液體內(nèi)部壓強(qiáng)的變化規(guī)律。由式1-9c可見：（1）當(dāng)容器液面上方的壓強(qiáng)p0一定時(shí)，靜止液體內(nèi)部任一點(diǎn)壓強(qiáng)p的大小與液體本身的密度和該點(diǎn)距液面的深度h有關(guān)。因此，在靜止的、連續(xù)的同一液體內(nèi)，處于同一水平面上各點(diǎn)的壓強(qiáng)都相等；（2）當(dāng)液面上方的壓強(qiáng)p0有改變時(shí)，液體內(nèi)部各點(diǎn)的壓強(qiáng)p也發(fā)生同樣大小的改變；（3）式1-9c可改寫為；上式說明，壓強(qiáng)差的大小可以用一定高度的液體柱表示。用液體高度來表示壓強(qiáng)或壓強(qiáng)差時(shí)，式中密度影響其結(jié)果，因

11、此必須注明是何種液體。（4）由式1-8f，式中g(shù)Z項(xiàng)可以看作為mgz/m，其中m為質(zhì)量。這樣，gz項(xiàng)實(shí)質(zhì)上是單位質(zhì)量液體所具有的位能。p/相應(yīng)的就是單位質(zhì)量液體所具有的靜壓能。位能和靜壓能都是勢能，式1-8f表明，靜止流體存在著兩種形式的勢能位能和靜壓能，在同一種靜止流體中處于不同位置的流體的位能和靜壓能各不相同，但其總勢能則保持不變。若以符號Ep/表示單位質(zhì)量流體的總勢能，則式1-8f可改寫為： 即 Ep=p+gzEp單位與壓強(qiáng)單位相同，可理解為一種虛擬的壓強(qiáng)，其大小與密度有關(guān)。例1-3 附圖雖然靜力學(xué)基本方程是用液體進(jìn)行推導(dǎo)的，液體的密度可視為常數(shù)，而氣體密度則隨壓力而改變。但考慮到氣體密

12、度隨容器高低變化甚微，一般也可視為常數(shù)，故靜力學(xué)基本方程亦適用于氣體?！纠?-3 】 本題附圖所示的開口容器內(nèi)盛有油和水。油層高度h1=0.7m、密度1=800kg/m3，水層高度h2=0.6m、密度2=1000kg/m3。（1）判斷下列兩關(guān)系是否成立，即 pA=p'A pB=p'B（2）計(jì)算水在玻璃管內(nèi)的高度h。解：（1）判斷題給兩關(guān)系式是否成立 pA=p'A的關(guān)系成立。因A與A'兩點(diǎn)在靜止的連通著的同一流體內(nèi)，并在同一水平面上。所以截面A-A'稱為等壓面。pB=p'B的關(guān)系不能成立。因B及B'兩點(diǎn)雖在靜止流體的同一水平面上，但不是連通

13、著的同一種流體，即截面B-B'不是等壓面。（2）計(jì)算玻璃管內(nèi)水的高度h 由上面討論知，pA=p'A，而pA=p'A都可以用流體靜力學(xué)基本方程式計(jì)算，即 pA=pa+1gh1+2gh2 pA'=pa+2gh于是 pa+1gh1+2gh2=pa+2gh簡化上式并將已知值代入，得 800×0.7+1000×0.6=1000h解得 h=1.16m圖1-4 U形壓差計(jì)1-1-4 流體靜力學(xué)基本方程式的應(yīng)用 一、壓強(qiáng)與壓強(qiáng)差的測量測量壓強(qiáng)的儀表很多，現(xiàn)僅介紹以流體靜力學(xué)基本方程式為依據(jù)的測壓儀器。這種測壓儀器統(tǒng)稱為液柱壓差計(jì)，可用來測量流體的壓強(qiáng)或壓強(qiáng)差

14、。 1U型壓差計(jì)U型壓差計(jì)結(jié)構(gòu)如圖1-4所示，內(nèi)裝有液體作為指示液。指示液必須與被測液體不互溶，不起化學(xué)反應(yīng)，且其密度A大于被測流體的密度。當(dāng)測量管道中A、B兩截面處流體的壓強(qiáng)差時(shí)，可將U型管壓差計(jì)的兩端分別與A及B兩截面測壓口相連。由于兩截面的壓強(qiáng)p1和p2不相等，所以在U形管的兩側(cè)便出現(xiàn)指示液液面的高度差R。因U形管內(nèi)的指示液處于靜止?fàn)顟B(tài)，故位于同一水平面1、2兩點(diǎn)壓強(qiáng)相等，即p1=p2據(jù)流體靜力學(xué)基本方程可得： p1=pA+gh1 p2=B+g (h2R)+AgR于是 （pA+gzA）（pB+gzB）=Rg（A）或 E1E2=Rg（A） （1-10）式1-10表明，當(dāng)壓差計(jì)兩端流體相同時(shí)

15、，U形管壓差計(jì)直接測得的讀數(shù)R實(shí)際上并不是真正的壓差，而是1，2兩截面的虛擬壓強(qiáng)之差Ep。1-5 傾斜液柱壓差計(jì)只有兩測壓口處于等高面上，zA=zB（即被測管道水平放置）時(shí)，U形壓差計(jì)才能直接測得兩點(diǎn)的壓差。 pApB=（A）gR同樣的壓差，用U形壓差計(jì)測量的讀數(shù)R與密度差（A）有關(guān)，故應(yīng)合理選擇指示液的密度A，使讀數(shù)R在適宜的范圍內(nèi)。 2斜管壓差計(jì)當(dāng)被測量的流體的壓差不大時(shí)，U形壓差計(jì)的讀數(shù)R必然很小，為了得到精確的讀數(shù)，可采用如圖1-5所示的斜管壓差計(jì)。此壓差計(jì)的讀數(shù)R'與R的關(guān)系為：圖1-6 微差壓差計(jì) R'=R/sin （1-11）式中為傾斜角，其值越小，將R值放大為R

16、'的倍數(shù)愈大。 3微差壓差計(jì)若所測得的壓強(qiáng)差很小，為了把讀數(shù)R放大，除了在選用指示液時(shí)，盡可能地使其密度A與被測流體相接近外，還可采用如圖1-6所示的微差壓差計(jì)。其特點(diǎn)是： （1）壓差計(jì)內(nèi)裝有兩種密度相接近且不互溶的指示液A和C，而指示液C與被測流體B亦不互溶。（2）為了讀數(shù)方便，U形管的兩側(cè)臂頂端各裝有擴(kuò)大室，俗稱“水庫”。擴(kuò)大室內(nèi)徑與U形管內(nèi)徑之比應(yīng)大于10。這樣，擴(kuò)大室的截面積比U形管的截面積大很多，即使U型管內(nèi)指示液A的液面差R很大，而擴(kuò)大室內(nèi)的指示液C的液面變化仍很微小，可以認(rèn)為維持等高。于是壓強(qiáng)差p1p2便可用下式計(jì)算，即 p1p2=（AC）gR （1-12）注意：上式的（

17、AC）是兩種指示液的密度差，不是指示液與被測液體的密度差。例1-4附圖 【例1-4】 如本題附圖所示，在異徑水平管段兩截面（1-1'、2-2）連一倒置U管壓差計(jì)，壓差計(jì)讀數(shù)R=200mm。試求兩截面間的壓強(qiáng)差。解：因?yàn)榈怪肬管，所以其指示液應(yīng)為水。設(shè)空氣和水的密度分別為g與，根據(jù)流體靜力學(xué)基本原理，截面a-a'為等壓面，則 pa=pa'又由流體靜力學(xué)基本方程式可得 pa=p1gM pa'=p2g（MR）ggR聯(lián)立上三式，并整理得 p1p2=（g）gR由于g，上式可簡化為 p1p2gR所以p1p21000×9.81×0.2=1962Pa【例1-

18、5】 如本題附圖所示，蒸汽鍋爐上裝置一復(fù)式U形水銀測壓計(jì)，截面2、4間充滿水。已知對某基準(zhǔn)面而言各點(diǎn)的標(biāo)高為z0=2.1m， z2=0.9m， z4=2.0m，z6=0.7m， z7=2.5m。例1-5 附圖試求鍋爐內(nèi)水面上的蒸汽壓強(qiáng)。解：按靜力學(xué)原理，同一種靜止流體的連通器內(nèi)、同一水平面上的壓強(qiáng)相等，故有 p1=p2，p3=p4，p5=p6對水平面1-2而言，p2=p1，即 p2=pa+ig（z0z1）對水平面3-4而言， p3=p4= p2g（z4z2）對水平面5-6有 p6=p4+ig（z4z5）鍋爐蒸汽壓強(qiáng) p=p6g（z7z6） p=pa+ig（z0z1）+ig（z4z5）g（z4z

19、2）g（z7z6）則蒸汽的表壓為 ppa=ig（z0z1+ z4z5）g（z4z2+z7z6） =13600×9.81×(2.10.9+2.00.7)1000×9.81× (2.00.9+2.50.7) =3.05×105Pa=305kPa 二、液面的測量化工廠中經(jīng)常需要了解容器里物料的貯存量，或要控制設(shè)備里的液面，因此要對液面進(jìn)行測定。有些液位測定方法，是以靜力學(xué)基本方程式為依據(jù)的。1-7 遠(yuǎn)距離液面計(jì)裝置1調(diào)節(jié)閥 2鼓泡觀察器瓶 3U管壓差計(jì)4通氣管 5貯罐最原始的液位計(jì)是在容器底部器壁及液面上方器壁處各開一個(gè)小孔，兩孔間用短管、管件及玻璃管相連。玻璃管內(nèi)液面高度即為容器內(nèi)的液面高度。這種液面計(jì)結(jié)構(gòu)簡單，但易于破損，而且不便于遠(yuǎn)處觀測。如圖1-7所