平面向量全部講義

1、第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量例1若向量a與b不相等，則a與b一定()A有不相等的模B不共線 C不可能都是零向量 D不可能都是單位向量例2.給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則等價(jià)于四邊形ABCD為平行四邊形；若ab，bc，則ac；ab等價(jià)于|

2、a|b|且ab；若ab，bc，則ac.其中正確命題的序號(hào)是()AB C DCA2向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab例3：化簡(jiǎn)得() A. B. C. D0 例4：(1)如圖，在正六邊形ABCDEF中，()A0B C D(2)設(shè)D，E分別是AB

3、C的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12 (1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_鞏固練習(xí)：1將4(3a2b)2(b2a)化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)式為_ 2若|，則非零向量，的關(guān)系是() A平行 B重合 C垂直 D不確定3若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則|_4D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量等于()A B C D5若A，B，C，D是平面內(nèi)任意四點(diǎn)，給出下列式子：；.其中正確的有() A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)6如圖，在ABC中，D，E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，3a，2b，求，.DD 鞏固練習(xí) 1。16a6b 2。C 3。2 4。A 5。C 6解：3a2b，D，E為的兩個(gè)三等分點(diǎn)，ab. 3aab2ab.2

4、ababab.3共線向量定理：向量a(a0)與b共線等價(jià)于存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.例5已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則_例6設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線鞏固練習(xí)：1給出下列命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量?jī)蓚€(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小a0(為實(shí)數(shù))，則必為零，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D42.如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則()Aab B.ab C.ab D.ab3已知向量a，b，c中任意兩

5、個(gè)都不共線，但ab與c共線，且bc與a共線，則向量abc()Aa Bb Cc D04如圖，在ABC中，A60，A的平分線交BC于D，若AB4，且 (R)，則AD的長(zhǎng)為()A2 B3 C4 D55在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點(diǎn)，則_(用a，b表示)6設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，216，|，則|_.例5 例6解(1)證明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共線，又它們有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線(2)kab與akb共線，存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，kk10，k2

6、10.k1.C B D B ab 24向量的中線公式: 若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則()5三點(diǎn)共線等價(jià)關(guān)系A(chǔ)，P，B三點(diǎn)共線 (0)(1t)t (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，tR)xy (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，xR，yR，xy1)第二節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a

7、b(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法：若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.例7若A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，則2_例8.已知點(diǎn)M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A(2,0)B(3,6) C(6,2) D(2,0)例9已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)

8、m，n.鞏固練習(xí)：1若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，則c() A3ab B3ab Ca3b Da3b2已知向量a(x，y)，b(1,2)，且ab(1,3)，則|a|等于() A. B. C. D.3已知向量a(3,2)，b(x，4)，若ab，則x() A4 B5 C6 D74設(shè)點(diǎn)A(2,0)，B(4,2)，若點(diǎn)P在直線AB上，且|2|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(3,1) B(1，1) C(3,1)或(1，1) D無數(shù)多個(gè)5已知a(1,2)，b(3,2)，當(dāng)kab與a3b平行時(shí)，k() A. B C D.6已知向量a(cos，sin)，向量b(，1)，則|2ab|的最大值、最小值分別

9、是()DA4 ，0 B4 ，4 C16,0 D4,07已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(4,1)，若用a和b表示c，則c_.8已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，則k_.例7(3，3) 例8.A 例9解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得 B C C C C D 2ab 5平面向量基本定理及其應(yīng)用：如果，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一組基底特別注意：若e1，e2是

10、同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量， 1e12e2，則例10：（1）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|1，|2，若(，R)，則的值為_（2）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_（3）如圖，已知C為邊AB上一點(diǎn)，且,則=_變式訓(xùn)練：1.在中,已知是邊上一點(diǎn),若,則（）AABCD2.設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_3.若為內(nèi)一點(diǎn),且滿足,則與的面積之比為_. 4.若點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足53，則ABM與ABC的面積比為() CA. B. C. D.例10：6 A 1:4 C 平面向量

11、共線的坐標(biāo)表示例11已知a(1,2)，b(3,2)，當(dāng)實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，ka2b與2a4b平行？練習(xí)：1已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，則等于()CA2 B2 C D.2已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)3平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k；例11解法一：2a4b0，存在唯一實(shí)數(shù)，使ka2b(2a4b)將a，b的坐標(biāo)代入上式，得(k6,2k4)(14，4)，得k614且2k44，解得k1.解

12、法二：同法一有ka2b(2a4b)，即(k2)a(24)b0.a與b不共線，k1.1C 2解：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三點(diǎn)共線，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，3)3解(1)由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由題意得2(34k)(5)(2k)0.k平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用知識(shí)梳理1兩個(gè)向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)_向量a和b，作a，b，則_稱作向量a與向量b的夾角，記作a，b(2)范圍：向量夾角a，b的范圍是_，且_b，a(3)向量垂直：如果

13、a，b_，則a與b垂直，記作_2平面向量的數(shù)量積(1)平面向量的數(shù)量積的定義：_叫作向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab_.可見，ab是實(shí)數(shù)，可以等于正數(shù)、負(fù)數(shù)、零其中|a|cos (|b|cos )叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算律ab_(交換律) (ab)c_(分配律) (a)b_a(b)(數(shù)乘結(jié)合律)3平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2)性質(zhì)幾何表示坐標(biāo)表示定義ab|a|b|cosa，baba1b1a2b2模aa|a|2或|a|若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)ab的等價(jià)條件ab0a1b1a2b

14、20夾角cosa，b(|a|b|0)cosa，b|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|一、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例1(1)在等邊三角形ABC中，D為AB的中點(diǎn)，AB5，求，；(2)若a(3，4)，b(2,1)，求(a2b)(2a3b)和|a2b|.變式訓(xùn)練1已知下列各式：|a|2a2；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2，其中正確的有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)2.下列命題中： ； ； ； 若，則或； 若則； 其中正確的是_（答：）3.4.已知，與的夾角為，求。5已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，則(bc)a等于()A(26，78) B(28，42) C52 D78

15、二、求平面向量的模例2（1）設(shè)向量滿足及，求的值 （2）設(shè)平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，則|3ab|等于()A B C D變式訓(xùn)練1已知|=2,|=5,=-3,則|+|= ,|-|= 2. 若向量a，b滿足|a|1，|b|2且a與b的夾角為，則|ab|_.3.ABC中，則_（答：9）；4.已知向量a，b，且x.(1) 求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值三、求夾角例3已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a與b的夾角；變式訓(xùn)練：1. 2若是非零向量且滿足， ，則與的夾角（ ）A. B. C. D. 3.已知是兩個(gè)非零向量

16、，且，則的夾角為_（答：）4、已知，則與的夾角為（ ） A、 B、 C、 D、5.已知，與的夾角為，則等于_（答：1）；6.已知，且，則向量在向量上的投影為_（答：）四。利用數(shù)量積解決垂直問題例4 若非零向量、滿足，證明:變式訓(xùn)練： 1.已知，若，則 （答：）；2.以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_ （答：(1,3)或（3，1）；3.已知向量，且，則的坐標(biāo)是_ （答：）4已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)(bc)0，則|c|的最大值是() 答案：BA. B. C. D.5.在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角， 求k值五：求夾角范圍例5 （1）已知,且關(guān)