帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析方法

1、一、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析方法1圓心的確定因?yàn)槁鍌惼澚指向圓心，根據(jù)Fv，畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中任意兩點(diǎn)（一般是射入和射出磁場(chǎng)兩點(diǎn)），先作出切線找出v的方向再確定F的方向，沿兩個(gè)洛倫茲力F的方向畫其延長(zhǎng)線，兩延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為圓心，或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上，作出圓心位置，如圖1所示。2半徑的確定和計(jì)算利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑（或圓心角），并注意以下兩個(gè)重要的幾何特點(diǎn)：粒子速度的偏向角等于轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，并等于AB弦與切線的夾角（弦切角）的2倍，如圖2所示，即=2。相對(duì)的弦切角相等，與相鄰的弦切角互補(bǔ)，即+=180°。3粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定若要計(jì)算轉(zhuǎn)

2、過(guò)任一段圓弧所用的時(shí)間，則必須確定粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓弧所對(duì)的圓心角，利用圓心角與弦切角的關(guān)系，或者利用四邊形內(nèi)角和等于360°計(jì)算出圓心角的大小，并由表達(dá)式，確定通過(guò)該段圓弧所用的時(shí)間，其中T即為該粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角越大，所用時(shí)間t越長(zhǎng)，注意t與運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。4帶電粒子在兩種典型有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況的分析穿過(guò)矩形磁場(chǎng)區(qū)：如圖3所示，一定要先畫好輔助線（半徑、速度及延長(zhǎng)線）。a、帶電粒子在穿過(guò)磁場(chǎng)時(shí)的偏向角由sin=L/R求出；（、L和R見圖標(biāo)）b、帶電粒子的側(cè)移由R2=L2-（R-y）2解出；（y見所圖標(biāo)）c、帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間由得出。穿過(guò)圓形磁場(chǎng)區(qū)：如圖4所示

3、，畫好輔助線（半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線）。a、帶電粒子在穿過(guò)磁場(chǎng)時(shí)的偏向角可由求出；（、r和R見圖標(biāo)）b、帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間由得出。二、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)類型的分析（一）軌跡的確定（1）確定入射速度的大小和方向，判定帶電粒子出射點(diǎn)或其它【例1】（2001年江蘇省高考試題）如圖5所示，在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一帶正電的粒子以速度v0從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為。若粒子射出磁場(chǎng)時(shí)的位置與O點(diǎn)的距離為l，求該粒子的電量和質(zhì)量之比q/m。解析：帶正電粒子射入磁場(chǎng)后，由于受到洛侖茲力的作用，

4、粒子將沿圖6所示的軌跡運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，O、A間的距離為l，射出時(shí)速度的大小仍為v0，射出方向與x軸的夾角仍為。由洛侖茲力公式和牛頓定律可得，（式中R為圓軌道的半徑）解得R=mv0/qB圓軌道的圓心位于OA的中垂線上，由幾何關(guān)系可得l/2=Rsin聯(lián)立、兩式，解得。點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，求該粒子的電量和質(zhì)量之比，也可以倒過(guò)來(lái)分析，求出射點(diǎn)的位置。在處理這類問(wèn)題時(shí)重點(diǎn)是畫出軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系確定軌跡半徑。（2）確定入射速度的方向，而大小變化，判定粒子的出射范圍【例2】如圖7所示，矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬為L(zhǎng)/2。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，質(zhì)量為m，電荷量為e 的

5、電子沿著矩形磁場(chǎng)的上方邊界射入磁場(chǎng)，欲使該電子由下方邊界穿出磁場(chǎng)，求：電子速率v 的取值范圍？解析：（1）帶電粒子射入磁場(chǎng)后，由于速率大小的變化，導(dǎo)致粒子軌跡半徑的改變，如圖所示。當(dāng)速率最小時(shí)，粒子恰好從d點(diǎn)射出，由圖可知其半徑R1=L/4，再由R1=mv1/eB，得當(dāng)速率最大時(shí)，粒子恰好從c點(diǎn)射出，由圖可知其半徑R2滿足，即R2=5L/4，再由R2=mv2/eB，得電子速率v的取值范圍為：。點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度的方向，由于入射速度的大小發(fā)生改變，從而改變了該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問(wèn)題時(shí)重點(diǎn)是畫出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，再根據(jù)幾何關(guān)

6、系確定對(duì)應(yīng)的軌跡半徑，最后求解臨界狀態(tài)的速率。（3）確定入射速度的大小，而方向變化，判定粒子的出射范圍【例3】（2004年廣東省高考試題）如圖8所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=060T，磁場(chǎng)內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場(chǎng)方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的放射源S，它向各個(gè)方向發(fā)射粒子，粒子的速度都是v=30×106m/s，已知粒子的電荷與質(zhì)量之比q/m=50×107C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的粒子，求ab上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度。解析：粒子帶正電，故在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，用R表示軌道半徑，有

7、qvB=mv2/R，由此得   R=mv/qB，代入數(shù)值得R=10cm?？梢姡?R>l>R，如圖9所示，因朝不同方向發(fā)射的粒子的圓軌跡都過(guò)S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P1就是粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)。為定出P1點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點(diǎn)，過(guò)Q作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P1。，再考慮N的右側(cè)。任何粒子在運(yùn)動(dòng)中離S的距離不可能超過(guò)2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)。由圖中幾何關(guān)系得，所求長(zhǎng)度為 P1P2=NP1+NP2，

8、代入數(shù)值得 P1P2=20cm。點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度的大小，其對(duì)應(yīng)的軌跡半徑也就確定了。但由于入射速度的方向發(fā)生改變，從而改變了該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問(wèn)題時(shí)重點(diǎn)是畫出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖（對(duì)應(yīng)的臨界狀態(tài)的速度的方向），再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的出射范圍。2給定動(dòng)態(tài)有界磁場(chǎng)（1）確定入射速度的大小和方向，判定粒子出射點(diǎn)的位置【例4】（2006年天津市理綜試題）在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖10所示。一個(gè)不計(jì)重力的帶電粒子從磁場(chǎng)邊界與x軸的交點(diǎn)A處以速度v

9、沿-x方向射入磁場(chǎng)，恰好從磁場(chǎng)邊界與y軸的交點(diǎn)C處沿+y方向飛出。（1）請(qǐng)判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷q/m；（2）若磁場(chǎng)的方向和所在空間范圍不變，而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場(chǎng)，但飛出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相對(duì)于入射方向改變了60°角，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B多大？此次粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間t是多少？解析：（1）由粒子的飛行軌跡，利用左手定則可知，該粒子帶負(fù)電荷。如圖11所示，粒子由A點(diǎn)射入，由C點(diǎn)飛出，其速度方向改變了90°，則粒子軌跡半徑 r=R，又，則粒子的荷質(zhì)比為  。（2）粒子從D點(diǎn)飛出磁場(chǎng)速度方向改變了60°角，故AD

10、弧所對(duì)圓心角60°，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，又，所以 ，粒子在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間：。點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度的大小和方向，但由于有界磁場(chǎng)發(fā)生改變（包括磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小或方向的改變），從而改變了該粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問(wèn)題時(shí)重點(diǎn)是畫出磁場(chǎng)發(fā)生改變后粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的出射點(diǎn)的位置。（二）已知入射速度和出射速度，判定動(dòng)態(tài)有界磁場(chǎng)的邊界位置【例5】（1994年全國(guó)高考試題）如圖12所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點(diǎn)能從

11、x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計(jì)。解析：質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，qvB=（Mv2）/R，得R=（MV）/（qB）。根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周，這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切。如圖13所示，過(guò)a點(diǎn)作平行于x軸的直線，過(guò)b點(diǎn)作平行于y軸的直線，則與這兩直線均相距R的O點(diǎn)就是圓周的圓心。質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道就是以O(shè)為圓心、R為半徑的圓（圖中虛線圓）上的圓弧MN，M點(diǎn)和N點(diǎn)應(yīng)在所求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的邊

12、界上。在通過(guò)M、N兩點(diǎn)的不同的圓周中，最小的一個(gè)是以MN連線為直徑的圓周。所以本題所求的圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為：，所求磁場(chǎng)區(qū)域如圖13所示中實(shí)線圓所示。點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度和出射速度的大小和方向，但由于有界磁場(chǎng)發(fā)生改變（磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，但磁場(chǎng)區(qū)域在改變），從而改變了該粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問(wèn)題時(shí)重點(diǎn)是畫出磁場(chǎng)發(fā)生改變后粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，確定臨界狀態(tài)的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)區(qū)域的位置。綜上所述，運(yùn)動(dòng)的帶電粒子垂直進(jìn)入有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若僅受洛侖茲力作用時(shí)，它一定做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這類問(wèn)題雖然比較

13、復(fù)雜，但只要準(zhǔn)確地畫出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，并靈活運(yùn)用幾何知識(shí)和物理規(guī)律，找到已知量與軌道半徑R、周期T的關(guān)系，求出粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度或距離以及運(yùn)動(dòng)時(shí)間不太難。3（2007年武漢市理綜模擬試題）如圖16所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為e的電子從y軸上的P（0，a）點(diǎn)以初速度v0平行于x軸射出，為了使電子能夠經(jīng)過(guò)x軸上的Q（b，0）點(diǎn)，可在y軸右側(cè)加一垂直于xoy平面向里、寬度為L(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，該磁場(chǎng)左、右邊界與y軸平行，上、下足夠?qū)挘▓D中未畫出）。已知，Lb。試求磁場(chǎng)的左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的可能距離。（結(jié)果可用反三角函數(shù)表示）答案：當(dāng)r>L時(shí)（r為電子的軌跡半徑），磁場(chǎng)左邊界距坐標(biāo)原

14、點(diǎn)的距離為：（其中）；（2）當(dāng)rL時(shí)，磁場(chǎng)左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為：。最小磁場(chǎng)面積1、磁場(chǎng)范圍為圓形例1一質(zhì)量為、帶電量為的粒子以速度從O點(diǎn)沿軸正方向射入磁感強(qiáng)度為的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)后，從處穿過(guò)軸，速度方向與軸正向夾角為30°，如圖1所示（粒子重力忽略不計(jì)）。試求：（1）圓形磁場(chǎng)區(qū)的最小面積；（2）粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（1）由題可知，粒子不可能直接由點(diǎn)經(jīng)半個(gè)圓周偏轉(zhuǎn)到點(diǎn)，其必在圓周運(yùn)動(dòng)不到半圈時(shí)離開磁場(chǎng)區(qū)域后沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)?？芍?，其離開磁場(chǎng)時(shí)的臨界點(diǎn)與點(diǎn)都在圓周上，到圓心的距離必相等。如圖2，過(guò)點(diǎn)逆著速度

15、的方向作虛線，與軸相交，由于粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的半徑一定，且圓心位于軸上，距O點(diǎn)距離和到虛線上點(diǎn)垂直距離相等的點(diǎn)即為圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，圓的半徑。由 ，得。弦長(zhǎng)為：，要使圓形磁場(chǎng)區(qū)域面積最小，半徑應(yīng)為的一半，即：，面積（2）粒子運(yùn)動(dòng)的圓心角為1200，時(shí)間。（3）距離 ，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）。點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是要找到圓心和粒子射入、射出磁場(chǎng)邊界的臨界點(diǎn)，注意圓心必在兩臨界點(diǎn)速度垂線的交點(diǎn)上且圓心到這兩臨界點(diǎn)的距離相等；還要明確所求最小圓形磁場(chǎng)的直徑等于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的弦長(zhǎng)。2、磁場(chǎng)范圍為矩形例2如圖3所示，直角坐標(biāo)系第一象限的區(qū)域存在沿軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為，電量為的電子從第一象限的某點(diǎn)（，）

16、以初速度沿軸的負(fù)方向開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn)（，0）進(jìn)入第四象限，先做勻速直線運(yùn)動(dòng)然后進(jìn)入垂直紙面的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)左邊界和上邊界分別與軸、軸重合，電子偏轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，并沿軸的正方向運(yùn)動(dòng)，不計(jì)電子的重力。求（1）電子經(jīng)過(guò)點(diǎn)的速度；（2）該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)的最小面積。解析：（1）電子從點(diǎn)開始在電場(chǎng)力作用下作類平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，可知豎直方向：，水平方向：。解得。而，所以電子經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的速度為：，設(shè)與方向的夾角為，可知，所以300。（2）如圖4，電子以與成30°進(jìn)入第四象限后先沿做勻速直線運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)恰好以沿軸向上的速度經(jīng)過(guò)點(diǎn)?？芍獔A周運(yùn)動(dòng)

17、的圓心一定在軸上，且點(diǎn)到O點(diǎn)的距離與到直線上M點(diǎn)（M點(diǎn)即為磁場(chǎng)的邊界點(diǎn)）的垂直距離相等，找出點(diǎn)，畫出其運(yùn)動(dòng)的部分軌跡為弧MNO，所以磁場(chǎng)的右邊界和下邊界就確定了。設(shè)偏轉(zhuǎn)半徑為，由圖知，解得，方向垂直紙面向里。矩形磁場(chǎng)的長(zhǎng)度，寬度。矩形磁場(chǎng)的最小面積為：點(diǎn)評(píng)：此題中粒子進(jìn)入第四象限后的運(yùn)動(dòng)即為例1中運(yùn)動(dòng)的逆過(guò)程，解題思路相似，關(guān)鍵要注意矩形磁場(chǎng)邊界的確定。3、磁場(chǎng)范圍為三角形例3如圖5，一個(gè)質(zhì)量為，帶電量的粒子在BC邊上的M點(diǎn)以速度垂直于BC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點(diǎn)（CMCN）垂真于AC邊飛出ABC，可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋€(gè)垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁

18、場(chǎng)僅分布在一個(gè)也是正三角形的區(qū)域內(nèi)，且不計(jì)粒子的重力。試求：（1）粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的軌道半徑及周期T；（2）該粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；（3）該正三角形區(qū)域磁場(chǎng)的最小邊長(zhǎng)；解析：（1）由和，得：    ，     （2）由題意可知，粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)應(yīng)該先向左偏轉(zhuǎn)，不可能直接在磁場(chǎng)中由M點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，當(dāng)粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)和剛離開磁場(chǎng)時(shí)，其速度方向應(yīng)該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑，如圖6作出圓O，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧GDEF，圓弧在點(diǎn)與初速度方向相切，在F點(diǎn)與出射速度相切。畫出三角形，其與圓弧在D、E兩點(diǎn)相切，并與圓交于F、G

19、兩點(diǎn)，此為符合題意的最小磁場(chǎng)區(qū)域。由數(shù)學(xué)知識(shí)可知FOG600，所以粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角為3000，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間   （3）連接并延長(zhǎng)與交與點(diǎn)，由圖可知，點(diǎn)評(píng)：這道題中粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)邊界臨界點(diǎn)的確定比較困難，必須將射入速度與從AC邊射出速度的反向延長(zhǎng)線相交后根據(jù)運(yùn)動(dòng)半徑已知的特點(diǎn)，結(jié)合幾何知識(shí)才能確定。另外，在計(jì)算最小邊長(zhǎng)時(shí)一定要注意圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡并不是三角形磁場(chǎng)的內(nèi)切圓。4、磁場(chǎng)范圍為樹葉形例4在平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為、電量為），從坐標(biāo)O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖7所示?，F(xiàn)加一個(gè)垂直于平面向內(nèi)、磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能平行于軸向正方向

20、運(yùn)動(dòng)，求符合該條件磁場(chǎng)的最小面積。解析：電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑是確定的，設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動(dòng)軌道如圖8所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，其中圓O1和圓O2為從圓點(diǎn)射出，經(jīng)第一象限的所有圓中的最低和最高位置的兩個(gè)圓。圓O2在軸上方的個(gè)圓弧odb就是磁場(chǎng)的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點(diǎn)O為圓心，以R為半徑的圓弧O1OmO2 。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場(chǎng)，故由幾何知識(shí)知電子的飛出點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)?？勺C明，磁場(chǎng)下邊界為一段圓弧，只需將這些圓心連線（圖中虛線O1O2）向上平移一段長(zhǎng)度為的距離即圖9中的弧ocb就是這些圓的最高點(diǎn)的連線，即為磁場(chǎng)區(qū)域

21、的下邊界。兩邊界之間圖形的陰影區(qū)域面積即為所求磁場(chǎng)區(qū)域面積：。還可根據(jù)圓的知識(shí)求出磁場(chǎng)的下邊界。設(shè)某電子的速度V0與x軸夾角為，若離開磁場(chǎng)速度變?yōu)樗椒较驎r(shí)，其射出點(diǎn)也就是軌跡與磁場(chǎng)邊界的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），從圖10中看出，即（x0，y0），這是個(gè)圓方程，圓心在（0，R）處，圓的 圓弧部分即為磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。點(diǎn)評(píng)：這道題與前三題的區(qū)別在于要求學(xué)生通過(guò)分析確定磁場(chǎng)的形狀和范圍，磁場(chǎng)下邊界的處理對(duì)學(xué)生的數(shù)理結(jié)合能力和分析能力要求較高。由以上題目分析可知，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)題意，分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和運(yùn)動(dòng)形式，扣住運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界點(diǎn)，應(yīng)用幾何知識(shí)，找出運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的部分軌跡，

22、確定半徑，再用題目中規(guī)定形狀的最小磁場(chǎng)覆蓋粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)工具和相應(yīng)物理規(guī)律分析解出所求的最小面積即可。（三）動(dòng)態(tài)圓法巧解帶電粒子運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 帶電粒子在垂直于磁場(chǎng)方向的平面上受洛倫茲力做圓周運(yùn)動(dòng)，以恒定的速率從某點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)，隨方向不同，軌跡不同。但無(wú)論方向向哪里，所有軌跡一定會(huì)過(guò)定點(diǎn)A，并且所有軌跡的半徑相等，A點(diǎn)是帶電粒子在磁場(chǎng)中所有圓周運(yùn)動(dòng)的公共點(diǎn)，如圖1所示。利用這一個(gè)規(guī)律，可以幫助同學(xué)們分析解決帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，可以化難為易，直觀、形象、簡(jiǎn)捷。解題時(shí)只需將圓一轉(zhuǎn)，思路即出?；驹恚簬щ娏Ｗ釉诖怪庇诖艌?chǎng)的平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)半徑為的圓，帶電粒子可能到達(dá)

23、的地方就在半徑為的圓繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)所掃過(guò)的面積范圍內(nèi)。例1. 如圖2所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于圖中紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B0.6T。磁場(chǎng)內(nèi)有一塊平面感光平板ab，板面與磁場(chǎng)方向平行。在距ab的距離為L(zhǎng)16cm處。有一個(gè)點(diǎn)狀的粒子放射源S，它向各個(gè)方向發(fā)射粒子，粒子的速度都是。已知粒子的電荷與質(zhì)量之比?，F(xiàn)在只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的粒子，求ab上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度。解析：粒子帶正電，故在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，用R表示軌道半徑，有：由此得，代入數(shù)據(jù)得R10cm。可見，。因向不同的方向發(fā)射粒子的圓軌跡都經(jīng)過(guò)了S，由此可知，將通過(guò)S點(diǎn)半徑為R的圓，繞S點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，此

24、圓就會(huì)與ab直線相交，其相交部分就是題里要求的ab直線上粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度。其中圓與ab右側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)相交于點(diǎn)，且，繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)圓，此圓會(huì)與ab線相交于許多點(diǎn)，構(gòu)成線段，圓與ab直線上最左邊的交點(diǎn)為圓與ab的切點(diǎn)，即為ab直線上粒子打中區(qū)域的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)，如圖3所示。作SNab，由幾何知識(shí)得由圖中的幾何關(guān)系得：所求的寬度為：即ab上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度為：例2. 如圖4所示，在xOy平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為m，電量為e），從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷的以相同大小的速度沿不同方向射入I象限，現(xiàn)加一個(gè)垂直于xOy平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過(guò)該磁場(chǎng)后都能平行于x軸向x方向運(yùn)動(dòng)，試求符合該

25、條件的磁場(chǎng)的最小面積。解析：設(shè)磁場(chǎng)B的方向垂直紙面向里，當(dāng)電子以與x軸成角從O點(diǎn)進(jìn)入B中做圓周運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)出磁場(chǎng)時(shí)其速度方向平行于x軸，也就是圓弧在y軸正向的最高點(diǎn)，如圖5所示，所有滿足題意的點(diǎn)可看作是過(guò)定點(diǎn)O，以半徑為的圓在紙面內(nèi)繞O轉(zhuǎn)動(dòng)90°角過(guò)程中圓弧最高點(diǎn)的集合，如圖5所示。（A為其上一點(diǎn)）。設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），對(duì)應(yīng)于圓心為，由幾何關(guān)系知：可得由圓的知識(shí)得，滿足題意要求的磁場(chǎng)區(qū)域邊界是一段圓弧，對(duì)應(yīng)圓心為，坐標(biāo)（O，R）。最小磁場(chǎng)區(qū)域的面積即為圖中陰影部分面積，由幾何關(guān)系得：點(diǎn)評(píng)：解本類題的關(guān)鍵就是弄清楚題目設(shè)立的情景，而這種情景比較抽象，學(xué)生不易理解。教師講解時(shí)可用硬紙

26、板提前制作一個(gè)圓（學(xué)生解題時(shí)也可以自己簡(jiǎn)單的做一個(gè)圓），分析例1時(shí)讓圓繞S點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，與ab依次相交于、還有其他許多點(diǎn)最后是圓與ab相切，切點(diǎn)為，線段即為帶電粒子與ab交點(diǎn)的集合；分析例2時(shí)，也是將圓繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中將圓的最頂端（切點(diǎn)）依次描下來(lái)即為所求軌跡。用此法可以使抽象問(wèn)題形象化，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和分析問(wèn)題的能力。例3、（11廣東）如圖19（a）所示，在以O(shè)為圓心，內(nèi)外半徑分別為和的圓環(huán)區(qū)域內(nèi)，存在輻射狀電場(chǎng)和垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，內(nèi)外圓間的電勢(shì)差U為常量，,一電荷量為+q，質(zhì)量為m的粒子從內(nèi)圓上的A點(diǎn)進(jìn)入該區(qū)域，不計(jì)重力（1）已知粒子從外圓上以速度射出，求粒子在A點(diǎn)的初速

27、度的大?。?）若撤去電場(chǎng)，如圖19（b）,已知粒子從OA延長(zhǎng)線與外圓的交點(diǎn)C以速度射出，方向與OA延長(zhǎng)線成45°角，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（3）在圖19（b）中，若粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，速度大小為，方向不確定，要使粒子一定能夠從外圓射出，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)小于多少？【解析】(1)根據(jù)動(dòng)能定理，qUmvmv，所以v0 .(2)如圖所示，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由幾何知識(shí)可知R2R2(R2R1)2，解得RR0.根據(jù)洛倫茲力公式qv2Bm，解得B.根據(jù)公式，2Rv2T，qv2Bm，解得t.(3)考慮臨界情況，如圖所示qv3B1m，解得B1，qv3B2m，解得B2

28、，綜合得：B<.【例1】如圖1所示，經(jīng)X軸的上方（）存在著垂直紙面向外的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在原點(diǎn)O處有一離子源向X軸上方任意方向發(fā)射質(zhì)量為m，電量為q的正離子，速率都為V。對(duì)那些在XOY平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的離子，在磁場(chǎng)中可能達(dá)到的最大位移X= ，最大位移Y= 。（重力不計(jì)）圖2圖1【分析與解答】x············yBO·yxBACDOQP由于離子在O點(diǎn)向X軸上方任意方向以相同的速率V發(fā)射，很容易確定全部離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)圓的圓心，都 在以O(shè)為圓心

29、、半徑為的半圓周ADC弧上，如左圖。很顯然，沿Y軸入射以D為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)的離子將在X軸上有最大位移X，且X=OP=2；同理沿X軸負(fù)方向入射的離子，在Y軸上有最大的位移Y，且Y=OQ=2。【點(diǎn)評(píng)】離子以相同的速率、不同方向射入磁場(chǎng)，動(dòng)態(tài)圓的圓心在半個(gè)圓周上?！纠?】如圖,在邊界為AA/、DD/狹長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，磁場(chǎng)區(qū)域?qū)挾葹閐。電子以不同的速率V從邊界AA/的S處沿垂直于磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，入射方向跟AA/的夾角為.已知電子的質(zhì)量為m，帶電量為e。為使電子能從另一邊界DD/射出，問(wèn)電子的速率應(yīng)滿中足什么條件？（重力不計(jì)）DD/××

30、5;×××××××××AA/SV【分析與解答】由，得：圖3圖4不同速率的電子以相同的方向射入磁場(chǎng)后，做半徑不同的圓周運(yùn)動(dòng)。由左手定則決定的這些動(dòng)態(tài)圓的圓心都 在與V方向垂直的射線SP上，如圖A所示。圖中沿1、2軌跡運(yùn)動(dòng)的電子均從AA/射出，而沿4、5軌跡運(yùn)動(dòng)的電子均從DD/射出。于是動(dòng)態(tài)圓由1、2向4、5漸變過(guò)程中，總存在一個(gè)臨界圓，相應(yīng)的臨界半徑為r0,如圖4中軌跡3所示。當(dāng)r<r0jf ,電子從AA/射出；當(dāng)r>r0時(shí)，電子從DD/射出。因此，該臨界圓心與DD/相切。由幾何關(guān)系得：將代入上

31、式求解，得臨界速率為：故當(dāng)時(shí)，電子俑從另一邊界DD/射出?！军c(diǎn)評(píng)】電子以相同方向不同大小的速率由同一點(diǎn)射入磁場(chǎng)，動(dòng)態(tài)圓的半徑不同，但其圓心都在過(guò)入射點(diǎn)且與初速度方向垂直的射線上?！纠?】如圖5，在邊界AA/、DD/狹長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向街紙面向里，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d。電子槍S發(fā)射質(zhì)量為m、電量為e的電子，當(dāng)電子槍水平發(fā)射時(shí)；在DD/右側(cè)發(fā)現(xiàn)了電子當(dāng)電子槍在豎直平面內(nèi)發(fā)射時(shí)，剛剛在AA/左側(cè)發(fā)現(xiàn)了電子，試畫出電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，并計(jì)算該電子在邊界AA/的射入點(diǎn)和射出點(diǎn)間的距離（電子射入的速度始終為V0）【分析解答】在0-范圍內(nèi)由電子槍S射入磁場(chǎng)的電子，其動(dòng)態(tài)圓的圓心都 在

32、以S為圓心，半徑為r的圓周EOF上，如圖5中的紅線所示，當(dāng)電子水平發(fā)射時(shí)，在DD/的右側(cè)發(fā)DD/××××××××××××AA/SV圖5CSrEFOQBdV現(xiàn)電子，由得到一隱含的重要的約束條件：。因此。只有圓心在O，動(dòng)態(tài)圓剛好與DD/相切所對(duì)應(yīng)的電子才能從AA/邊界射出，所以該電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧線SQC，由幾何關(guān)系，得：AA/DD/V0OrCSBB圖6【點(diǎn)評(píng)】很多同學(xué)求解的結(jié)果看似正確，但卻畫出了如圖6所示的錯(cuò)誤軌跡圖，其原因在于忽略了r>d這一隱含約束條件。如果

33、能從動(dòng)態(tài)圓這一思維過(guò)程考慮，就能有效地避免錯(cuò)誤。××××××××××××××××××××××××××××MNSB圖7【例4】如圖7所示，點(diǎn)S為一電子源，它可以在紙面內(nèi)的3600的范圍內(nèi)發(fā)射速率相同、質(zhì)量為m，電量為e的電子、M慢一塊足夠在的擋板，與點(diǎn)S的距離OS=L。擋板下面即電子源一側(cè)充滿垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁

34、感應(yīng)強(qiáng)度為B，問(wèn)：（1） 若使電子源發(fā)射的電子有可能到達(dá)擋板，則發(fā)射的電子速率至少是多大？發(fā)射方向如何？（2） 若發(fā)射的電子的速率為（1）中所求的速率的2倍，則擋板被電子擊中的區(qū)域范圍有多大？發(fā)射方向的范圍如何？【分析與解答】（1）由：evB=mv2/r,得：MNObvb/PQaBACSB圖8因此，欲使電子能到達(dá)擋板，且速率最小的條件是r0=L/2，其電電子的最小速率為：，由左手定則，電子應(yīng)平行于MN板水平向左發(fā)射。（3） 當(dāng)V=2V0時(shí)，電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=2r0=L在由左手定則所確定的所有動(dòng)態(tài)圓中，其圓心都應(yīng)在以S為圓心、半徑為L(zhǎng)的圓周上，如圖8所示。在這個(gè)圓周上，只有以上半圓

35、周上各點(diǎn)為圓心的動(dòng)態(tài)圓上的電子才能擊中擋板。因此，電子發(fā)射方向只能在沿SO和SA發(fā)射方向左側(cè)的0-范圍內(nèi)，如圖8所示的箭頭所示的角度范圍內(nèi)。在如圖8所示中，由SA方向順時(shí)針?lè)较蛑罶P方向發(fā)射的電子，其圓心在相應(yīng)的弧OQ上，打在板上的點(diǎn)b/ 到點(diǎn)b上，與最遠(yuǎn)點(diǎn)b對(duì)應(yīng)的圓心為點(diǎn)Q，發(fā)射方向?yàn)镾O，由幾何關(guān)系，得Ob=L,所以板MN上被 電子打中的范圍為線段ab，則：ab=oa+ob=【點(diǎn)評(píng)】確定動(dòng)態(tài)圓圓心的軌跡考慮電子在磁場(chǎng)中順時(shí)針運(yùn)動(dòng)才能擊中板的約束條件，進(jìn)一步確定電子發(fā)射方向的范圍，再由動(dòng)態(tài)圓的漸變到突變，在臨界狀態(tài)通過(guò)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系求解極值，是解決這類問(wèn)題的有效方法。如果能用動(dòng)態(tài)圓

36、模型（紙板）直觀教學(xué)和練習(xí)，學(xué)生更是一目了然。常見題型1、帶電粒子速度大小相同，方向不同旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)圓例1（全國(guó)I卷第26題）如圖1所示，在0區(qū)域內(nèi)存在與平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。在時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0180°范圍內(nèi)。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界上點(diǎn)離開磁場(chǎng)。求：(1)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷；(2)此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與軸正方向夾角的取值范圍； (3)從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間?！窘馕觥?1)具體思路是做出從P點(diǎn)

37、離開磁場(chǎng)的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖2所示，由幾何關(guān)系求出半徑，對(duì)應(yīng)的圓心角為，周期，在由周期得，也容易得弦OP與y軸正方向夾角為60°。 (2)下面重點(diǎn)分析此問(wèn)，由于帶電粒子的初速度大小相同，可見半徑R相同，做出從不同方向射出的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，其動(dòng)態(tài)圓如圖3所示的。結(jié)合帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周速度的特點(diǎn)，可知同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)內(nèi)的粒子到O點(diǎn)距離相同。在時(shí)刻仍在磁場(chǎng)內(nèi)的粒子應(yīng)位于以O(shè)點(diǎn)為圓心、OP為半徑的圓弧上，如圖4所示。設(shè)此時(shí)位于P、M、N三點(diǎn)的粒子初速度分別為、。由幾何關(guān)系可知，與OP、與OM、與ON的夾角均為60°，故所求答案為60°120°。(3

38、)由上面的分析也易得在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)與磁場(chǎng)右邊界相切，如圖5所示，由幾何關(guān)系可知OP=OM=MF，運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為240°，故所求答案為。需要說(shuō)明的是求R還要其他數(shù)學(xué)方法，本文不做一一分析。例2（全國(guó)新課標(biāo)卷第25題）如圖6所示，在0、0范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在090°范圍內(nèi)。己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于到之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁

39、場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。求最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的(1)速度大小；(2)速度方向與y軸正方向夾角正弦?！窘馕觥颗c上題分析類似，做出從不同方向射出的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，動(dòng)態(tài)圓如圖7所示的。設(shè)初速度與y軸正向的夾角為，當(dāng)較小時(shí)，粒子從磁場(chǎng)上邊界離開，越大，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)；當(dāng)較大時(shí)，粒子從磁場(chǎng)右邊界或x軸正向離開，越大，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短。可見最后離開磁場(chǎng)的粒子即在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其軌跡圓應(yīng)與磁場(chǎng)的上邊界相切，如圖8所示。具體的求解是設(shè)粒子的發(fā)射速度大小為，則做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由該粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為T/4得：OCA=90°由幾何關(guān)系可得：又聯(lián)立

40、解得：、。 2、帶電粒子速度方向相同，大小不同膨脹的動(dòng)態(tài)圓例3（全國(guó)II卷第26題）如圖9所示左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板相距為d，電壓為U；兩板之間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力。(1)已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場(chǎng)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量；(2)已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)(圖中未畫出)穿出磁場(chǎng)，且GI長(zhǎng)為3a/4，求離子乙的質(zhì)量；(3)若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問(wèn)磁場(chǎng)邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)？【解析】由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有，解得粒子速度（為一定數(shù)值）本題雖然速度大小不變，但質(zhì)量m變，結(jié)合帶電粒子