雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(教案).

1、教案普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)選修2-12.3.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第一課時(shí)）教材的地位與作用本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了曲線與方程、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步通過(guò)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)研究雙曲線的幾何性質(zhì)。（可以類比橢圓的幾何性質(zhì)得到雙曲線的幾何性質(zhì)。）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生深刻理解雙曲線的幾何性質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的類比、聯(lián)想、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等思想方法。二、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能1 、了解雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率。2 、理解雙曲線的漸近線。（二）過(guò)程與方法通過(guò)聯(lián)想橢圓幾何性質(zhì)的推導(dǎo)方法， 用類比方法以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為工具推導(dǎo)雙曲線的幾何性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生的觀察

2、能力、聯(lián)想類比能力。（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀讓學(xué)生充分體驗(yàn)探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，深刻認(rèn)識(shí)“數(shù)”與“形”的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生勇于攀登科學(xué)高峰的精神。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)雙曲線的漸近線既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。四、教學(xué)過(guò)程( 一) 課題引入1、前面我們學(xué)習(xí)了橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，并由標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓的幾何性質(zhì)有哪些？ （教師用課件引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)，雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。）今天我們以標(biāo)準(zhǔn)方程為工具，研究雙曲線的幾何性質(zhì)?！景鍟浚弘p曲線 x2y 2 1(a 0, b 0) 的性質(zhì)a2b22、雙曲線有哪些性質(zhì)呢？（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線。）3、雙曲線的這些性質(zhì)具體是什么？如何推導(dǎo)？

3、請(qǐng)同學(xué)們對(duì)比橢圓的幾何性質(zhì)的推導(dǎo)方法，推導(dǎo)出雙曲線的幾何性質(zhì)。 （討論）（二）雙曲線的性質(zhì)1、范圍：把雙曲線方程 x 2y 21變形為 x2y2a 2b2a21 b2。因?yàn)?y20 ，因此 x21 ，即 x2a2，所以 xa或 x a 。b2a2又因?yàn)?y20 ，故 yR 。b2【板書】： 1、范圍： xa或 xa ， yR 。2、對(duì)稱性：下面我們來(lái)討論雙曲線的的對(duì)稱性，哪位同學(xué)能根據(jù)雙曲線x2y21 的標(biāo)準(zhǔn)方程，a2b2判斷 它的對(duì)稱性？在標(biāo)準(zhǔn)方程中，把 x 換成x ，或把 y 換成y ，或把 x ， y 同時(shí)換成x ，y 時(shí)，方程都不變，所以圖形關(guān)于y 軸、 x 軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的?！景鍟?/p>

4、】： 2、對(duì)稱性：雙曲線的對(duì)稱軸是x 軸、 y 軸，原點(diǎn)是它的對(duì)稱中心。3、頂點(diǎn)：提問(wèn)：（1）雙曲線有幾個(gè)頂點(diǎn)？頂點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？在標(biāo)準(zhǔn)方程 x2y21 中，令 y0得 xa ；令 x0 ，則 y 無(wú)解。a2b2這說(shuō)明雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)，A1 (a,0), A2 (a,0) 。yB2A1A2oxB1（ 2）如圖，對(duì)稱軸上位于兩頂點(diǎn)間的線段A1 A2叫做雙曲線 x 2y 21 的實(shí)軸，其長(zhǎng)度a2b2為 2a 。盡管此雙曲線與 y 軸無(wú)公共點(diǎn)，但 y 軸上的兩個(gè)特殊的點(diǎn) B1 (0, b), B2 (0,b) 。我們稱線段 B1 B2 為雙曲線的虛軸，其長(zhǎng)度為 2b ?！景鍟浚?、頂點(diǎn)：A1 (

5、a,0), A2 (a,0)，稱 A1A2 為實(shí)軸， B1 B2 為虛軸，其中 B1 (0, b), B2 (0,b) 。特別地，當(dāng) ab 時(shí)，雙曲線 x2y 21 的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等，稱其為等軸雙曲線a2b2x 2y 2a 2 。4、離心率【板書】：4、定義雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比ec ，叫做雙曲線的離心率。a提問(wèn)：（1）雙曲線的離心率與橢圓的離心率有什么不同？（ 2）雙曲線的形狀與離心率有什么關(guān)系？c2a2b2b22由等式 c2a 2b 2 ，可知： ec11baa2a 2a2a【板書】：雙曲線的離心率e1 且 e越大雙曲線的開口就越開闊。5、漸近線：提問(wèn)：（1）橢圓與雙曲線還有一個(gè)最大

6、的不同是曲線的范圍及其走向。曲線的范圍與走向是我們研究曲線性質(zhì)的一個(gè)重要方面，因?yàn)樗梢詾槲覀兝L制曲線的草圖提供依據(jù)，那么請(qǐng)大家想一想雙曲線的走向是什么樣的呢？誰(shuí)能比較準(zhǔn)確地畫出雙曲線？在第一象限內(nèi)雙曲線 x2y21 可以化為 ybx2a2，是增函數(shù)。a2b2a因?yàn)?x2a2x2 ，所以 ybx2a 2bx2b x ，即 yb x ，這個(gè)不等式意味著什aaaa么？（它表示直線 yb x 下方半個(gè)平面區(qū)域。）a（用剛才作矩形的方法畫出兩條直線yb x ，然后指出區(qū)域。）a由于雙曲線和直線 yb x 都關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，所以雙曲線（兩支）在直線yb x 之a(chǎn)a間，這樣，我們進(jìn)一步縮小了雙曲線所在區(qū)域

7、的范圍。提問(wèn)：（2）直線yb x與雙曲線x2y 21有什么聯(lián)系呢？aa2b2（用幾何畫板課件演示） ：隨著 x 無(wú)限增大時(shí)，點(diǎn) M ( x, y) 到直線 yb x 的距離就無(wú)限趨于零。a【板書】：5、漸近線：直線 yb x 叫做雙曲線 x2y21(a 0,b 0) 的漸近線；直線aa2b2ya x 叫做雙曲線 y 2x21( a 0, b 0) 的漸近線。ba2b2練習(xí)：求下列雙曲線的漸近線方程（寫成直線的一般式）。（ 1）429y236的漸近線方程是：2x 3 y0x（2）4 29y236 的漸近線方程是：2x3y0x（3） 2524y2100的漸近線方程是：5x 2y 0x（4） 252

8、4y2100 的漸近線方程是：5x2 y 0x可以發(fā)現(xiàn)，雙曲線方程與其漸近線之間似乎存在某種規(guī)律。（啟發(fā)學(xué)生討論，歸納） 。把雙曲線方程中的常數(shù)項(xiàng)改為零，會(huì)怎樣呢？x2y20 ，即xyxy，這就表示兩條漸近線a 2b2aba0bxy0或 xy0 。abab【板書】：結(jié)論：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中等號(hào)右邊的1 改成 0，然后變形，即可得其漸近線方程。（三）小結(jié)標(biāo)準(zhǔn)方程2y2y2x2x1(a 0, b 0)1( a 0, b 0)a 2b 2a2b2yyF2圖形焦點(diǎn)范圍對(duì)稱性性B2A2A1A2OxoxA1B1F1F（10）,(,0)F1( 0, c), F2 (0, c)c，F(xiàn)2cxa或 xa ， y

9、Ry a或y a, x R關(guān)于 x 軸， y 軸，原點(diǎn)都對(duì)稱頂點(diǎn)A1( a,0), A2 ( a,0)A1(0,a), A2 (0, a)質(zhì)離心率c1ea漸近線yb xya xab（四）典型例題與變式訓(xùn)練例 1、求雙曲線 9 y216x2144的半實(shí)軸長(zhǎng)和半虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。解：把方程 9 y 216x2144化為標(biāo)準(zhǔn)方程 y2x214232由此可知，半實(shí)軸長(zhǎng) a4，半虛軸長(zhǎng) b3 ；ca2b242325焦點(diǎn)坐標(biāo)是 (0, 5), (0,5)；離心率 ec5；漸近線方程為 y4 x 。a43歸納總結(jié)：首先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，看準(zhǔn)焦點(diǎn)在哪條軸上，得到a,b,c的值，再由雙曲線

10、的幾何性質(zhì)求解。【變式訓(xùn)練】：求雙曲線 9 y216x 2144 的半實(shí)軸長(zhǎng)和半虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。例 2、 求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（ 1） 頂點(diǎn)在 x 軸上，虛軸長(zhǎng)為 12，離心率為 5 ；4（ 2） 頂點(diǎn)間距離為 6，漸近線方程為 y3 x ；2解：（ 1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21 (a0,b0)。a2b2由題意知2b 12， c5 且 c2a 2b2 。a4 b 6, c10, a8,所求雙曲線方程為 x2y 21。6436（2）當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，由 b3 且 a3 ， b9 。a22所求雙曲線方程為 x24y 21981當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，由 a3

11、 且 a 3， b2 。b2所求雙曲線方程為 y 2x2194歸納總結(jié)：首先觀察條件能否確定焦點(diǎn)位置，再采用待定系數(shù)法設(shè)出所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，在由條件求出a,b,c即可?！咀兪接?xùn)練】：2、求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1） 頂點(diǎn)在 x 軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是8， e5 ；4（2） 焦距是 16， e4 。3（五）課堂總結(jié)橢圓雙曲線yy圖形F1oF2xB2A1A2oxB1標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21(ab 0)x 2y 21(a 0,b 0)a2b2a 2b2范圍a x a, b y bxa或 xa， y R對(duì)稱性關(guān)于 x 軸， y 軸，原點(diǎn)都對(duì)稱關(guān)于 x 軸， y 軸，原點(diǎn)都對(duì)稱頂點(diǎn)( a,0)

12、, (0,b)(a,0)離心率c1ec0 e1aa漸近線無(wú)yb xa（六）作業(yè)： 教材第 61 頁(yè)：習(xí)題 2.3 ，第 2、 3 兩題。五、板書設(shè)計(jì)2.3.2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線 x2y2 1( a0, b0) 的性質(zhì)5、結(jié)論：a2b21、范圍： xa或 xa ， yR 。例題2、對(duì)稱性：雙曲線的對(duì)稱軸是x 軸、 y 軸，課堂訓(xùn)練原點(diǎn)是它的對(duì)稱中心。3、頂點(diǎn)： A1 ( a,0), A2 (a,0) ，稱 A1 A2 為實(shí)軸， B1 B2 為虛軸，其中 B1(0,b), B2 (0,b) 。4、漸近線：直線 yb x 叫做 a六、課堂設(shè)計(jì)說(shuō)明1、本節(jié)課的內(nèi)容是通過(guò)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)研究雙曲線的幾何性質(zhì)，采用類比橢圓的幾何性質(zhì)的推導(dǎo)方法，讓學(xué)生自己推導(dǎo)出雙曲線的幾何性質(zhì)。在教學(xué)