初高中數(shù)學(xué)銜接教材(已整理).

1、目錄第一章數(shù)與式1.1數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1絕對(duì)值1.1.2乘法公式1.1.3二次根式1.1.4分式1.2分解因式第二章二次方程與二次不等式2.1一元二次方程2.1.1根的判別式2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系2.2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖像和性質(zhì)2.2.2二次函數(shù)的三種表達(dá)方式2.2.3二次函數(shù)的應(yīng)用2.3方程與不等式2.3.1二元二次方程組的解法第三章相似形、三角形、圓3.1相似形3.1.1平行線分線段成比例定理3.1.2相似三角形形的性質(zhì)與判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：鈍角三角函數(shù)、正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用3.3圓3.3.1直線與圓、圓

2、與圓的位置關(guān)系：圓冪定理3.3.2點(diǎn)的軌跡3.3.3四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與判定3.3.4直線和圓的方程（選學(xué)）1.1 數(shù)與式的運(yùn)算1.1絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義 ：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零即a,a0,| a |0,a0,a, a0.絕對(duì)值的幾何意義 ：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義 ： a b 表示在數(shù)軸上，數(shù) a 和數(shù) b 之間的距離例 1 解不等式： x 1 x3 4解法一 ：由 x 1 0 ，得 x1；由 x30 ，得 x3 ；若 x 1，不等式可變?yōu)? x 1) ( x3)4 ，即 2x 4 4，解得 x0，

3、又 x1， x0；若 1x2 ，不等式可變?yōu)? x1)( x3)4 ，即 14，不存在滿足條件的 x；若 x3 ，不等式可變?yōu)? x1)( x3)4 ，即 2x 4 4， 解得 x4又 x3， x4綜上所述，原不等式的解為x0，或 x4解法二： 如圖 111， x1 表示 x 軸上坐標(biāo)為 x 的點(diǎn) P 到坐標(biāo)為 1 的點(diǎn) A之間的距離 |PA|，即|PA|x1|；|x3|表示 x 軸上點(diǎn) P 到坐標(biāo)為 2 的點(diǎn) B 之間的距離 |PB|，即 |PB|x3|x3|所以，不等式 x1x3 4 的幾何意義即為|PA|PB|4由 |AB|2，可知點(diǎn) P 在點(diǎn) C(坐標(biāo)為 0)的左側(cè)、或點(diǎn) P 在點(diǎn)D(

4、坐標(biāo)為 4)的右側(cè)x0，或 x4練 習(xí)1填空：PCABDx0134x|x 1|圖 1 11（1）若 x5 ，則 x=_；若 x4 ，則 x=_.（2）如果ab5，且 a1，則 b_；若1 c，則 c_.22選擇題：下列敘述正確的是（）（ A）若 ab ，則 a b（B）若 ab ，則 a b（ C）若 ab ，則 a b（D）若 ab ，則 ab3化簡(jiǎn)： |x5|2x13|（x5）1.1.2. 乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：（1）平方差公式(ab)( ab)a2b2 ；（2）完全平方公式(ab)2a22ab b2 我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式(ab

5、)( a2abb2 )a3b3 ；（2）立方差公式(ab)(a2abb2 )a3b3 ；（3）三數(shù)和平方公式(abc)2a 2 b2c22(abbc ac) ；（4）兩數(shù)和立方公式(a332b 32b)a3 aa b ；b（5）兩數(shù)差立方公式(ab)3a33a2b3ab2b3 對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明例 1計(jì)算： (x1)(x1)(x2x1)(x2x1) 解法一： 原式 = ( x21) ( x21)2x2= (x21)(x4x21)= x61解法二： 原式 = (x1)(x2x1)(x1)(x2x1)= (x31)(x31)例 2= x61已知 abc4， abbc

6、ac4 ，求 a2b2c2 的值解： a2b2c2(abc) 22( abbcac)8 練習(xí)1填空：（1） 1 a21 b2( 1 b1 a) （）；9423（2） (4m)216m24m() ；(3 )(a 2b c)2a 24b2c2() 2選擇題：（ 1 ） 若 x21m x 是k 一 個(gè) 完 全 平 方 式 ， 則 k等 于2（）（A）2（B） 12（）12（D）1 2m4mCmm（2）不論316ab2b22a4b8 的值（）， 為何實(shí)數(shù)，a（A ）總是正數(shù)（B）總是負(fù)數(shù)（C）可以是零（D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.1.3二次根式一般地，形如a (a0) 的代數(shù)式叫做 二次根式 根號(hào)下

7、含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子稱為無(wú)理式 . 例如3a a2 b 2b， a2b2 等是無(wú)理式，而2x22 x 1， x22xyy2 ， a2等是有理式21分母（子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化 為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式 ，例如 2 與2，3a 與 a ，36與36，2332與2332 ，等等 一般地， a x與x ， a x b y與 axby， axb 與 a x b 互為有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根

8、號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式 a b ab( a 0,b 0) ；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式2二次根式a2 的意義a2aa, a0,a, a0.例1將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：（1） 12b ；（2）a2b ( a 0) ；（ ） 4x6 y( x 0)3解： （1） 12b 23b；（2） a2b ab a b(a 0) ；（3） 4x

9、6 y 2 x3y2x3 y ( x 0) 例 2計(jì)算： 3 (33) 解法一：3(33)3333(33)(33)(33)33393 3(31) 6 3 1 2解法二 ：3 ( 3331313 )3( 31)31(31)(31)333 12例 3 試比較下列各組數(shù)的大?。海?） 1211和 1110 ； （2）2和2 2 6.64解： （1） 121211(1211)(1211)111121112111111110(1110)(1110)110111011101，又12 111110 ， 12 11 1110 26(26)(22+6)2（2）22,2261+226262又 42 2， 64 6

10、2 2，2 22 6.6例 44化簡(jiǎn)： (32) 2004(32) 2005 解： (32) 2004(32) 2005 (32) 2004(32) 2004 (32) (32)( 32004(32)2)12004 ( 32) 32 例 5化簡(jiǎn)：（1） 945；（2） x212(0 x1)x2解：（1）原式54 54(5) 2225 22(25) 2255 2 （2）原式 = ( x1 )2x1 ，xx0x1， 11x ，所以，原式 1x xx例 6已知 x32, y32 ，求 3x25xy3y2 的值 3232解： x y3232( 32) 2( 32) 210 ，3232xy32321 ，

11、3232 3x25xy3y23(xy)211xy3102 11289 練習(xí)1填空：（1） 13_；13（2）若 (5x)( x3) 2( x3) 5x ，則x的取值范圍是_ _；_（3） 4246 543962 150_；（4）若 x5 ，則 x 1x 1x 1x 1_2x 1x 1x 1x 1_2選擇題：等式xx成立的條件是x 2x 2（）（A ） x 2（B） x 0（C） x 2（D） 0 x 23若 ba2 11 a2，求 ab 的值a14比較大?。?2 35 4（填 “”，或 “ ”）1.1.分式1分式的意義形如 A 的式子，若 B 中含有字母，且 B0 ，則稱 ABB式 A 具有下

12、列性質(zhì)：B為分式 當(dāng) M0時(shí)，分AAM ；AAMBBMBBM上述性質(zhì)被稱為 分式的基本性質(zhì) 2繁分式a， mnp 這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做像 b繁分式cd2mn p例 1若 5x4AB，求常數(shù) A, B 的值x( x2)xx2解： AxBA(x 2) Bx ( A B)x 2 A5x 4 ，x2x( x2)x(x2)x(x 2) AB5,解得A 2,B32A4,例 2 （1）試證：（ 2）計(jì)算：1 1 1 （其中 n 是正整數(shù)）；n(n 1)nn 1111；1223910（3）證明：對(duì)任意大于 1 的正整數(shù) n， 有 1111)1 2 33 4n(n2（1）證明： 11( n1)

13、n1，nn 1n(n1)n(n1)111（其中 n 是正整數(shù)）成立n( n1)nn1（2）解：由（ 1）可知111391(1 1) (1 1)(11)11 922102239101010（3）證明： 111( 11)( 11 )( 11 )11 ，2334n( n 1)2 33 4n n 12 n 11又 n2，且 n 是正整數(shù)， n1一定為正數(shù)，11112334n(n 1) 2 例 3 設(shè) ec ，且 ，25ac2a20，求 e 的值ae 12c解：在 2c25ac2a20 兩邊同除以 a2，得2e25e20，(2e1)(e2)0，1e21，舍去；或 e2e2練習(xí)1填空題：對(duì)任意的正整數(shù)n，

14、1( 11)；n( n2)nn22選擇題：若（）2xy2，則xxy3y（A）（B） 5（C） 4（D） 64553正數(shù) x, y 滿足 x2y22xy ，求 xy 的值xy4計(jì)算 122131.113499100習(xí)題 11A 組1解不等式：(1)(3)x 1；(2)x 3x 2 7；3x 1x 16 已知 xy1，求 x3y33xy 的值3填空：（1） (23)18 (23)19 ；（2）若 (1a)2a)2_；(12 ，則 a 的取值范圍是_（3）111111223344556_1填空：（1） a1 ， b1 ，則3a23a2ab235ab 2b2B 組_；（2）若 x2xy2y 20，則

15、x23xyy2_；x2y2_2已知： x1 , y1 ，求yy的值xyx23y1選擇題：C組1（）若a2ba，則bb（）（A） a b（B） a b（C） a b 0（D） b a 0（2）計(jì)算1等于aa（）（A） a（B） a（ C）a（D） a2解方程 2( x212 )3( x1) 10xx3計(jì)算： 121151134391114試證：對(duì)任意的正整數(shù)n，有1111232 34n( n 1)(n2)4 1.2 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法1十字相乘法例 1分解因式：（ ） 23x2；（2）x24x12；1 x（3

16、） x2(a b) xyaby2 ；（4） xy 1xy 解：（）如圖 ，將二次項(xiàng)2分解成圖中的兩個(gè) x 的積，再將常數(shù)項(xiàng)11 1 1x2 分解成 1 與 2 的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為3x，就是x23x2 中的一次項(xiàng)，所以，有x23x2(x1)(x2)x 11 11 2x ayx 21 216x by圖 111圖 1 12圖 113圖 114說(shuō)明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖的兩個(gè) x 用 1 來(lái)表示（如圖 112 所示）（2）由圖 113，得x24x12(x2)(x6)（3）由圖 114，得x2( ab) xy aby2 ( x ay)( x by)x

17、1（4） xy 1 xy xy(xy)1y1(x1) (y+1) （如圖 115 所示）圖 115課堂練習(xí)一、填空題：1、把下列各式分解因式：（ 1） x2 5x 6（ 2） x2 5x 6（ 3） x2 5x 6（ 4） x2 5x 6（5） x2a1 xa（ 6） x2 11x 18（ 7） 6x2 7x 2（ 8） 4m2 12m 9（ 9） 5 7 x 6x2（ 10）12x 2 xy 6 y22、 x24xx3 x3、若 x2axbx2 x4 則 a， b。111 中。二、選擇題：（每小題四個(gè)答案中只有一個(gè)是正確的）1、在多項(xiàng)式（ 1） x27x6 （2） x24x 3 （3） x2

18、6x 8 （4） x27x 10（5） x215 x44 中，有相同因式的是（）A 、只有（ 1）（2）B、只有（ 3）（4）C、只有（ 3）（5）D、（1）和（ 2）；（3）和（ 4）；（3）和（ 5）2、分解因式 a28ab33b2 得（）A 、 a11a3B、 a11b a3bC、 a 11ba 3bD、 a11b a 3b3、 ab 28 a b20分解因式得（）A 、 a b 10 a b 2B、 a b 5 a b 4C、 a b 2 a b 10D、 a b 4 a b 54、若多項(xiàng)式 x23x a 可分解為 x5x b ，則 a 、 b 的值是（），A 、，B、，2C、a10，

19、b2D、aa 10 b 2a 10 b10 b 25、若 x2mx10xa xb 其中 a 、b 為整數(shù)，則 m的值為（）A、3或 9B、 3C、 9D、3或9三、把下列各式分解因式1、 6 2 pq 211 q 2 p32、 a35a2 b6ab 23、 2 y 24 y64、 b42b282提取公因式法例 2 分解因式：（1）a2b 5 a 5 b（2） x39 3x23x解： （1） a 2 b 5 a 5 b = a(b 5)( a 1)（2） x393x23x = ( x3 3x2 )(3x 9) = x2 ( x3) 3(x3)= ( x3)(x23) 或x39 3x23x ( x

20、33x23x 1) 8 (x1)38 ( x 1)323 ( x1)2( x1)2( x1) 2 22 ( x3)(x23)課堂練習(xí)：一、填空題：1、多項(xiàng)式 6x2 y2xy 24 xyz中各項(xiàng)的公因式是 _。2、 m xyn yxxy_。3、 m xy2n yx2xy2_。4、 m xyzn yzxxyz_。5、 m xyzxyzxyz_。6、 13ab 2 x639a3b2 x 5 分解因式得 _。7計(jì)算 99 299 =二、判斷題：（正確的打上“” ，錯(cuò)誤的打上“×”）1 、2a2 b4ab22ab ab ,（）2 、 ambm mm ab ,（）3 、 3x36x215x3x

21、 x22 x5 , , ,（）4、 x nx n 1x n1 x1,（）3：公式法例 3 分解因式：（ 1） a 416（2）3x2x22 yy解： (1)a416=42(a2 )2(4a2 )(4a2 )( 4a2 )(2a)(2a)(2) 3x2 y 2xy 2 = (3x2 yxy)(3x2 yxy)( 4xy)(2x 3 y)課堂練習(xí)一、 a 22abb2 ， a2b2 ， a3b3 的公因式是。二、判斷題：（正確的打上“” ，錯(cuò)誤的打上“×”）21、 4 x20.012 x0.122 x0.12 x0.1,（）93332 、 9a28b23a 24b 23a 4b 3a 4

22、b,（）3 、 25a216b5a4b5a4b, ,（）4 、 x2y 2x 2y2x y x y, ,（）5 、 a2b c 2a b c a b c ,（）五、把下列各式分解1、 9 m n 2m n 22、 3x21324、 x42x213、 4 x2 4x 24分組分解法例 4（1） x2xy 3 y 3x（2） 2 x2xy y24x 5 y6 （2） 2x2xy y24x 5y 6= 2x2( y 4)x y25 y 6= 2x2( y4)x( y2)( y3) = (2 xy2)( xy3) 或2x2xyy24 x5y 6 = (2x2xyy 2 ) (4 x5y)6= (2 x

23、y)( xy)(4 x 5 y)6= (2 xy 2)( xy3) 課堂練習(xí)：用分組分解法分解多項(xiàng)式（1） x2y2a2b22ax2by（2） a24ab4b26a 12 b 95關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式 ax2+bx+c(a0)的因式分解若關(guān)于 x的方程 ax2bx c0(a0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1 、 x2 ，則二次三項(xiàng)式ax2bx c(a0)就可分解為 a( xx1 )(xx2 ) .例 5把下列關(guān)于 x 的二次多項(xiàng)式分解因式：（1） x22x1；（2） x24xy 4 y2 解： （1）令 x22x 1=0，則解得 x112 ， x212 ， x22x 1= x ( 12) x ( 12)

24、= (x12)( x12) （2）令 x24 xy 4y2 =0，則解得 x1(22 2) y ， x1 (2 22) y ， x24xy4 y2 = x2(12) y x2(12) y 練習(xí)1選擇題：多項(xiàng)式2x2xy15y2 的一個(gè)因式為（）（A） 2x 5 y（B） x 3 y（C） x 3y（D） x 5y2分解因式：（1）x26x8；（2）8a3b3；（3）x22x1；（4） 4( x y 1) y( y 2x) 習(xí)題 121分解因式：（1） a31；（2） 4x413x29 ；9y 4 （3） b2c22ab 2ac 2bc ；（ ） 3x25xy2 y2x42在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（ ）；（1） x25x3 ；x222x 3（3） 3x24xyy2 ；22x)12 （ ） ( x22x) 27( x243 ABC 三邊 a ， b ， c 滿足 a2b2c2ab bc ca ，試判定ABC 的形狀分解因式：2x(a2a)4x5.（嘗試題）已知，a2+b2+c2=，求1+1+1的abc=1 a+b+c=2abc - 1bca -1cab - 1值.2.1一元二次方程2.1.1 根的判別式情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例探索二次方程的根的求法，如求方程的根（ 1） x22x30 (2)x22x10(3) x22x30我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2bxc0（a0