初中函數(shù)概念大全.

1、函數(shù)及其相關(guān)概念1、變量與常量在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過程中有兩個變量 x 與 y，如果對于 x 的每一個值， y 都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說 x 是自變量， y 是 x 的函數(shù)。2、函數(shù)解析式用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)（ 1）解析法兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運(yùn)算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。（ 2）列表法把自變量x 的一系列值和函數(shù)y 的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，

2、這種表示法叫做列表法。（ 3）圖像法用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟（ 1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值（ 2）描點(diǎn)：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)（ 3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來。一次函數(shù)和正比例函數(shù)1、一次函數(shù)的概念：一般地，如果ykxb （k， b 是常數(shù)， k0），那么 y 叫做 x 的一次函數(shù)。特別地，當(dāng)一次函數(shù)ykxb 中的 b 為 0 時， ykx （ k 為常數(shù)， k0）。這時， y 叫做 x 的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)、正比例函數(shù)的圖像所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線一次函數(shù)

3、 y kxb( k 0) 的圖像是經(jīng)過點(diǎn)（0， b）的直線 ( b 是直線與 y 軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即一次函數(shù)在y 軸上的截距 ) ；正比例函數(shù)ykx 的圖像是經(jīng)過原點(diǎn)（0， 0）的直線。3、斜率：y2y1ktanx1x2直線的斜截式方程，簡稱斜截式:ykx ( 0)b k由直線上兩點(diǎn)確定的直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式:yA( x1,y1)P(x0 y0)y=kx+bdB( x2,y2)by kx b (tan ) x by2y1 x(xx1 )y1ax2x10x由直線在 x 軸和 y 軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：xy1ab設(shè)兩條直線分別為， l1 ： yk1 x b1l2

4、： yk 2 xb2 若l1l 2k1k 21若 l 1 / l 2 ，則有 l1 / l 2k1k2 且 b1b2 。YA點(diǎn) P（ x0，y0）到直線 y=kx+b( 即： kx-y+b=0)的距離 :kx 0y0bkx0y0bd1) 2k 2k 2(14、兩點(diǎn)間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）XB如圖：點(diǎn) A 坐標(biāo)為（ x1， y1）點(diǎn) B 坐標(biāo)為（ x2， y2 ）則 AB 間的距離，即線段AB 的長度為x122x2y1 y25、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)kx （ k0）中的常數(shù)k。確定一個一次函數(shù)

5、，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)kxb （ k0）中的常數(shù)k 和 b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。6、（1）一次函數(shù)圖象是過兩點(diǎn)的一條直線，|k|的值越大，圖象越靠近于y 軸。（2）當(dāng) k>0 時，圖象過一、三象限，y 隨 x 的增大而增大；從左至右圖象是上升的（左低右高）；（3）當(dāng) k<0 時，圖象過二、四象限，y 隨 x 的增大而減小。從左至右圖象是下降的（左高右低）；（4）當(dāng) b>0 時，與 y 軸的交點(diǎn)（ 0， b）在正半軸；當(dāng)b<0 時，與 y 軸的交點(diǎn) (0,b)在負(fù)半軸。當(dāng)b 0 時，一次函數(shù)就是正比例函數(shù)，圖象是過原點(diǎn)的一條直線（5）幾條直線互相平行時，

6、 k 值相等而b 不相等。反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)yk （ k 是常數(shù)， k 0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成ykx 1 的形式。自變x量 x 的取值范圍是x0 的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)，也可寫成xy=k(k 是常數(shù)， k0)反比例函數(shù)中，兩個變量成反比例關(guān)系：由xy=k ，因?yàn)?k 為常數(shù)， k0，兩個變量的積是定值，所以y 與 x 成反比變化，而正比例函數(shù)y=kx(k 0) 是正比例關(guān)系：由y =k (k 0) ，因?yàn)?k 為不等于零的常數(shù)，兩個變量的商是定值。x2、反比例函數(shù)y= k (k 0) 的圖象的畫法畫圖方法：描點(diǎn)法。x由于雙曲

7、線的圖象有關(guān)于原點(diǎn)對稱的性質(zhì)，所以只要描出它在一個象限內(nèi)的分支，再對稱地畫出另一分支。一定要注意： k>0，雙曲線兩分支分別在第一、三象限。k<0，雙曲線兩分支分別在第二、四象限。( 在每一象限內(nèi)，從左向右上升 ) 因此，它的增減性與一次函數(shù)相反反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。特點(diǎn)： y= k =kx- 1(k 0) 中， x0，y0，則有雙曲線不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸永不相交。但無限靠近x 軸、 yx軸。畫圖時圖象要體現(xiàn)這種性質(zhì)，千萬注意不要將兩個分支連起來。3、反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖像反比例k ( k 0)y函數(shù)xk 的符k>0k<0號yy圖像OxOx x 的取

8、值范圍是x0， x 的取值范圍是x0，y 的取值范圍是y0；y 的取值范圍是y0；性質(zhì)當(dāng) k>0 時，函數(shù)圖像的兩個分支分別當(dāng) k<0 時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y隨 x 的增大而減小。隨 x 的增大而增大。4、反比例函數(shù)解析式的確定k確定的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖像上的x一個點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k 的值，從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何的意義如下圖，過反比例函數(shù)yk (k 0) 圖像上任一點(diǎn) P 作 x 軸、 y 軸的垂線 PM， PN，則所得

9、的矩形 PMON 的面積xS=PM PN= y xxyyk ,xyk , Skx二次函數(shù)1、二次函數(shù)的概念：一般地，如果y ax2bxc(a, b, c是常數(shù)， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函數(shù)。y ax 2bxc(a,b,c是常數(shù)， a0) 叫做二次函數(shù)的一般式。b2、二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于x對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。2a3、二次函數(shù)圖像的畫法五點(diǎn)法：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M ，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線yax2bxc 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：當(dāng)拋物線與x 軸有兩個交點(diǎn)時，描出這兩個交點(diǎn)A,B 及拋物線與點(diǎn)按從左到右的順序

10、連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x 軸只有一個或無交點(diǎn)時，描出拋物線與y 軸的交點(diǎn)次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點(diǎn)4. 求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法y 軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C 的對稱點(diǎn) D 。將這五個C 及對稱點(diǎn) D。由 C、M 、 D 三點(diǎn)可粗略地畫出二 A 、 B ，然后順次連接五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖像b22b4ac b2b（ 1）公式法：24ac by ax bx ca x，頂點(diǎn)是（，）x2a4a2a4a，對稱軸是直線2a（ 2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為ya xh 2k 的形式，得到頂點(diǎn)為( h , k ) ，對

11、稱軸是直線xh .（ 3）運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。若已知拋物線上兩點(diǎn) ( x1 , y)、(x2 , y) （及 y 值相同），則對稱軸方程可以表示為：x1 x2x25. 拋物線 y ax2bx c 中， a, b, c 的作用（ 1） a 決定開口方向及開口大小當(dāng)a 0 時，拋物線開口向上，頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)a 0 時，拋物線開口向下；頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)。a 相等，拋物線的開口大小、形狀相同. a 越大，圖像開口越小，a 越小，圖像開口越大。 平行于 y 軸（或重合）的直線記作x h . 特別地，y 軸記作直線 x0 .（ 2） b

12、和 a 共同決定拋物線對稱軸的位置. 由于拋物線故： b0 時，對稱軸為y 軸；yax2bx c 的對稱軸是直線 xb，b2a（即 a 、 b 同號）時，對稱軸在y 軸左側(cè)；0a b0 （即 a 、 b 異號）時，對稱軸在 y 軸右側(cè) .a（ 3） c 的大小決定拋物線 y ax 2bxc 與 y 軸交點(diǎn)的位置 . 當(dāng) x 0 時， yc ，拋物線 y ax 2bx c 與 y 軸有且只有一個交點(diǎn)（0， c ）： c0 ，拋物線經(jīng)過原點(diǎn) ; c0 , 與 y 軸交于正半軸； c0 , 與 y 軸交于負(fù)半軸 .以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立. 如拋物線的對稱軸在y 軸右側(cè)，則b0.a6、

13、二次函數(shù)的解析式有三種形式：（ 1）一般式：（ 2）頂點(diǎn)式：yax2bx(,是常數(shù)，a0)c a b cy() 2( , ,是常數(shù)，a0)a xhk a h k（3）交點(diǎn)式：當(dāng)拋物線 y ax2bxc與 x 軸有交點(diǎn)時，即對應(yīng)二次好方程ax 2bxc 0有實(shí)根 x1 和 x2 存在時 ， 根 據(jù) 二 次 三 項(xiàng) 式 的 分 解 因 式 ax2bxc a( x x1 )( x x2 ) ， 二 次 函數(shù) yax2bx c 可 轉(zhuǎn) 化 為 兩 根 式y(tǒng) a( x x1 )( x x2 ) 。如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示。幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)yax2x0

14、 （ y 軸）（0,0）當(dāng) a0 時yax2k開口向上x0 （ y 軸）(0,k )當(dāng) a0 時ya x2開口向下x h(h ,0)hy a x h 2kx h(h ,k )yax2bxcxb(b4acb22a，)yb)2 4acb22a4aa( x4a2a7、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值 （或最小值），即當(dāng) xb時，y最值4ac b2。2a4a如果自變量的取值范圍是x1xx2 ，那么， 首先要看bx1xx2 內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，是否在自變量取值范圍2a則當(dāng) x=b時， y最值4ac b 2；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1x x2 范圍內(nèi)的增減性

15、，如果在此范圍2a4a內(nèi)， y 隨 x 的增大而增大，則當(dāng)xx2 時， y最大ax22bx2c ，當(dāng) xx1 時， y最小ax12bx1c ；如果在此范圍內(nèi)， y 隨 x 的增大而減小，則當(dāng)xx1 時， y最大ax12bx1c ，當(dāng) xx2 時， y最小ax22bx2c 。8、二次函數(shù)的圖象函數(shù)二次函數(shù)2(,是常數(shù)，0)yaxabx c a b ca>0a<0yy圖像0x0x1（ 1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（ 1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（ 2）對稱軸是 x=b（ 2）對稱軸是 x=b，2a2a頂點(diǎn)坐標(biāo)是（b4acb2）；頂點(diǎn)坐標(biāo)是（b4acb22a，2a，4a）

16、；4a（ 3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<b（ 3）在對稱軸的左側(cè)， 即當(dāng) x<b時， y 隨 x時， y 隨 x2a2a性質(zhì)的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)?shù)脑龃蠖龃?；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)b時， y 隨 x 的增大而增大，簡記左減bx>x>時， y 隨 x 的增大而減小，簡記左2a2a右增；增右減；（ 4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=b（ 4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=b時， y 有最小時， y 有最2a2a值， y最小值4ac b 2大值， y最大值4acb 24a4a9. 拋物線的交點(diǎn)（ 1） y 軸與拋物線 yax 2bxc 得交點(diǎn)為 (0,c ).（ 2）拋物線與 x

17、軸的交點(diǎn)：二次函數(shù)y ax 2bx c 的圖像與 x 軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、 x2 ，是對應(yīng)一元二次方程 ax 2bx c0 的 兩 個 實(shí) 數(shù) 根 . 拋 物 線 與 x 軸 的 交點(diǎn) 情 況 可 以 由 對 應(yīng) 的一 元 二 次 方 程 的 根 的 判 別 式b24ac 判定：有兩個交點(diǎn)(0 )拋物線與 x 軸相交；有一個交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x 軸上）(0 )拋物線與 x 軸相切；沒有交點(diǎn)(0 )拋物線與 x 軸相離 .（ 3）平行于 x 軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同（ 2）一樣可能有0 個交點(diǎn)、 1 個交點(diǎn)、 2 個交點(diǎn) . 當(dāng)有 2 個交點(diǎn)時，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k ，則橫坐標(biāo)是 ax 2bxck 的兩個實(shí)數(shù)根 .（ 4 ） 一 次 函 數(shù) ykx n k 0 的 圖 像 l 與 二 次 函 數(shù) yax2bx c a0的圖像G 的交點(diǎn)，由方程組ykxn的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時l 與 G 有兩個交點(diǎn) ;方程組