5-1向量的內(nèi)積、長度及正交性ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 向量的內(nèi)積、長度及正交性向量的內(nèi)積、長度及正交性相似矩陣及二次型一、向量的內(nèi)積及其性質(zhì)一、向量的內(nèi)積及其性質(zhì)二、正交向量組、規(guī)范正交基二、正交向量組、規(guī)范正交基三、正交矩陣、正交變換三、正交矩陣、正交變換四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題一、向量的內(nèi)積一、向量的內(nèi)積1. 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積規(guī)定規(guī)定 和和 的內(nèi)積為的內(nèi)積為定義定義 1 設(shè)兩個設(shè)兩個 n 維向量維向量 ， nnbbbaaa2121 , nnbababa 2211, n 維向量的內(nèi)積是維向量的內(nèi)積是 幾何向量內(nèi)積幾何向量內(nèi)積(也稱為點(diǎn)積、點(diǎn)乘、也稱為點(diǎn)積、點(diǎn)乘、數(shù)量積、標(biāo)量積數(shù)量積、標(biāo)量積)的推廣的推廣.(即，對應(yīng)分量的

2、乘積之和即，對應(yīng)分量的乘積之和)闡明闡明nnbababa 2211 TT ,那么，內(nèi)積可用矩陣記號表示為那么，內(nèi)積可用矩陣記號表示為 nnTbbbaaa2121),( (1) 當(dāng)當(dāng) 和和 都為列向量時(shí)都為列向量時(shí)(一般做法一般做法)， nnTaaabbb2121),( nnbababa 22110, 0 ，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立當(dāng)且僅當(dāng) . ； , (交換律交換律) ； , kk (結(jié)合律結(jié)合律) ； , (分配律分配律)根據(jù)定義，容易證明內(nèi)積具有如下運(yùn)算性質(zhì)：根據(jù)定義，容易證明內(nèi)積具有如下運(yùn)算性質(zhì)：(設(shè)設(shè), , 為為 n 維實(shí)向量，維實(shí)向量，k 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)) ,(2) 若已知若已知 是

3、行向量，是行向量， 為列向量，則內(nèi)積應(yīng)為為列向量，則內(nèi)積應(yīng)為2. 向量的長度向量的長度(2) 任意非零向量任意非零向量 ，可通過長度進(jìn)行單位化，可通過長度進(jìn)行單位化， 是單位向量是單位向量.即，即，定義定義 2 設(shè)設(shè) n 維向量維向量22221,naaa 規(guī)定規(guī)定 的長度的長度(或范數(shù)或范數(shù))為為,21 naaa (1) 假設(shè)假設(shè) ，則稱向量，則稱向量 為單位向量為單位向量.1 闡明闡明例例 1 1 知知,0132 ,0121 解解60)1(212222 計(jì)算兩個向量單位化后的內(nèi)積計(jì)算兩個向量單位化后的內(nèi)積.14 ,2125 146001)1()3(221 ,證證 參見參見 .定理定理 1 向

4、量的內(nèi)積滿足向量的內(nèi)積滿足 222, 即即 ,2 (稱為稱為Cauchy-Schwarz不等式不等式)向量長度的性質(zhì)：向量長度的性質(zhì)：； kk(齊次性齊次性) (三角不等式三角不等式)性質(zhì)性質(zhì)顯然成立，性質(zhì)顯然成立，性質(zhì)的證明參見的證明參見 . .附錄附錄 1附錄附錄 2, 0 等號成立當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?dāng)且僅當(dāng) ；(非負(fù)性非負(fù)性) O 根據(jù)定義，如果非零向量根據(jù)定義，如果非零向量 , 的內(nèi)積的內(nèi)積 ，則，則夾角夾角 = 90o ；反之亦然；反之亦然.0, 3. 向量的夾角向量的夾角定義定義 3 規(guī)定規(guī)定 n 維向量維向量 和和 的夾角為的夾角為 ,arccos定理定理 2 非零向量非零向量 ,

5、 正交正交(或垂直或垂直)的充要條件是的充要條件是0, 闡明闡明 由于零向量與任何向量的內(nèi)積為零，因此，也由于零向量與任何向量的內(nèi)積為零，因此，也可以說零向量與任何向量正交可以說零向量與任何向量正交.因此因此對于齊次線性方程組對于齊次線性方程組 Amn x=O，即，即 00021212222211211nmnmmnnxxxaaaaaaaaaAx=O 的每個解向量都和矩陣的每個解向量都和矩陣 A 的每個行向量正交的每個行向量正交.因此，因此，Ax=O 的解集的解集(即解空間即解空間)就是與就是與 A 的行向量都的行向量都正交的全部向量的集合正交的全部向量的集合. 這是這是Ax=O 的解空間的一個

6、基本性質(zhì)的解空間的一個基本性質(zhì).例例 2 2 知知 R3 R3 中的兩個向量中的兩個向量 正交，正交， 121 ,11121 求一個非零向量求一個非零向量 3，使得，使得1, 2, 3 兩兩正交兩兩正交.分析分析 知知1, 2 相互正交，故只需求出與相互正交，故只需求出與1, 2 都都正交的一個向量正交的一個向量.以以 作為行向量構(gòu)成矩陣作為行向量構(gòu)成矩陣 ， ATT21, T1 T2 11112 1那么那么 Ax=O 的解和的解和 正交正交 (亦和亦和 1, 2 正正交交).TT21, 令令 12111121TTA 建立齊次線性方程組建立齊次線性方程組 Ax=O，解方程組解方程組(過程略過程

7、略)，可得基礎(chǔ)解系，可得基礎(chǔ)解系 101 解解于是，和于是，和 1, 2 都正交的非零向量都正交的非零向量 3 可表可表示為示為( k 為非零實(shí)數(shù)為非零實(shí)數(shù)) k 3 00121111321xxx即即二、正交向量組、規(guī)范正交基二、正交向量組、規(guī)范正交基設(shè)設(shè) 是非零正交向量組，是非零正交向量組，s 21，1. 正交向量組正交向量組 0 iTiii ， )( 0 jijTiji ，), 2 , 1,(sji 即即(非零非零)(正交正交)一組兩兩正交且不含零向量的向量組，一組兩兩正交且不含零向量的向量組，稱為非零正交向量組稱為非零正交向量組.定理定理 3 非零正交向量組是線性無關(guān)的非零正交向量組是線

8、性無關(guān)的.證證設(shè)設(shè) (*)Okkkss 2211對對(*) 式兩端同時(shí)左乘式兩端同時(shí)左乘 ，得，得0 2211 sskkk T1 T1 T1 T1 由于各向量兩兩正交，故由于各向量兩兩正交，故00 0 11 kT1 其中其中 ，因此，必有，因此，必有 .0 1 T1 01 k同理，對同理，對(*) 式兩端同時(shí)左乘式兩端同時(shí)左乘 ，可得，可得 .Ti 0 ik證畢證畢證明證明 線性無關(guān)，就是要證明上式中的組線性無關(guān)，就是要證明上式中的組合系數(shù)合系數(shù)), 2 , 1( siki s 21，必須全為零必須全為零.2. 規(guī)范正交基規(guī)范正交基例如，例如， 是是 R2 的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基.

9、3/13/2 3/23/1，是正交單位向量組，則稱是正交單位向量組，則稱定義定義 4 設(shè)設(shè) 是是 r 維向量空間維向量空間 V 的一組基的一組基.r 21，r 21， 假設(shè)假設(shè)r 21， 是是 V 的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基.一組兩兩正交的單位向量，稱為正交單位向量組，一組兩兩正交的單位向量，稱為正交單位向量組， , 0 , 1 jijiji若若若若， 即即設(shè)設(shè) 是向量空間是向量空間 V 的一組規(guī)范正交基，的一組規(guī)范正交基，r 21，rxxx 22211 設(shè)設(shè)) (21r ， rxxx21 , , ,2211jrrjjxxx ,j 證證 , , 22211jrjxxx 那么那么00 ,0

10、00 jjjx jx ), 2 , 1(rj 則向量則向量 在這組基下的坐標(biāo)向量的第在這組基下的坐標(biāo)向量的第 j 個分量為個分量為基基坐標(biāo)向量坐標(biāo)向量3. 施密特施密特(Schimidt)正交化方法正交化方法施密特正交化方法：施密特正交化方法：一組線性無關(guān)的非零向量一組線性無關(guān)的非零向量與與 等價(jià)的正交單位向量組等價(jià)的正交單位向量組r 21，作特定的線性運(yùn)算作特定的線性運(yùn)算r 21，施密特正交化方法的基本步驟和思路：施密特正交化方法的基本步驟和思路：設(shè)設(shè) 是一組線性無關(guān)的非零向量是一組線性無關(guān)的非零向量.r 21， 取取122 21k求求 ，使得，使得 ，即，即 2 和和 1正交正交. 0,1

11、2 21k 11212 , , 21k 1112, , 21k0 取取11 1112, 21k得得 取取2133 31k32k令令 ， ，可得，可得 0,13 0,23 1113, 31k 2223, 32k于是，于是， 222231111333, 于是于是 1111222, 不斷重復(fù)以上步驟，直到最后有不斷重復(fù)以上步驟，直到最后有 111122221111, rrrrrrrrr 經(jīng)過經(jīng)過的正交化步驟，得到正交向量組：的正交化步驟，得到正交向量組：r 21，), 2 , 1( rjjjj 即即(作為練習(xí)，證明作為練習(xí)，證明 都是非零向量都是非零向量)r 21，最后，再將最后，再將 單位化為單位

12、化為 ，r 21，r 21，施密特正交化步驟施密特正交化步驟 小結(jié)小結(jié) ：首先將線性無關(guān)的非零向量組首先將線性無關(guān)的非零向量組 正交化：正交化：r 21，令令11 1111222, 222231111333, 111122221111, rrrrrrrrr r 21，再將得到的正交向量組再將得到的正交向量組 單位化：單位化：, , 111 , 222 rrr 這是因?yàn)椋簩σ唤M線性無關(guān)的單位向量正交化后這是因?yàn)椋簩σ唤M線性無關(guān)的單位向量正交化后, ,可能不再是單位向量可能不再是單位向量. .闡明闡明(1) 正確的順序是先正交化，再單位化正確的順序是先正交化，再單位化.(2) 向量空間的基一般不是

13、規(guī)范正交基，但是可以通向量空間的基一般不是規(guī)范正交基，但是可以通過施密特正交化步驟，構(gòu)造出一組規(guī)范正交基，這過施密特正交化步驟，構(gòu)造出一組規(guī)范正交基，這稱為：對基進(jìn)行規(guī)范正交化稱為：對基進(jìn)行規(guī)范正交化. 12164131;3/53/53/5 例例 3 3 014 ,131 ,121321 解解用施密特正交化方法將這組基規(guī)范正交化用施密特正交化方法將這組基規(guī)范正交化.設(shè)設(shè) R3 的一組基為的一組基為;11 1111222, 取取222231111333, 首先將首先將 正交化：正交化：321, 3/53/53/53/253/25121620143 202再把再把 單位化，單位化，321, ,6/

14、16/26/1 61 111 222 333 83 2/102/1,3/ 13/ 13/ 1 3/252 例例 4 4 知知,111 解解 令矩陣令矩陣 ，)1 , 1 , 1( TA ( ( 的解與的解與 A A 的行向量的行向量 正交，亦即與正交，亦即與 正交正交) )OAx T 求兩個向量，與求兩個向量，與 共同構(gòu)成非零正交向量組共同構(gòu)成非零正交向量組. . . 0)1 , 1 , 1( 321 xxxOAx 即即建立方程組建立方程組 ， 1, 2 線性無關(guān)，且都與線性無關(guān)，且都與 正交正交.再將再將1, 2 正交化：正交化：1111222, 11 取取,101 2/112/1于是，于是

15、， 是一個非零正交向量組是一個非零正交向量組.21 , , .110 ,10121 解解 Ax=O，得基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系三、正交矩陣、正交變換三、正交矩陣、正交變換1. 正交矩陣正交矩陣定義定義 5 假設(shè)假設(shè) n 階方陣階方陣 A 滿足滿足 ATA=E，那么，那么 A 為正交為正交矩陣矩陣.根據(jù)定義，容易證明如下正交矩陣的性質(zhì)：根據(jù)定義，容易證明如下正交矩陣的性質(zhì)：設(shè)設(shè) A, B 皆為皆為 n 階正交矩陣，那么階正交矩陣，那么 (即即 ) 也是正交矩陣；也是正交矩陣； AB 也是正交矩陣；也是正交矩陣；; 1TAA 1 ATA; 1 1 或或A按列分塊為按列分塊為), , , ,(21n 設(shè)

16、設(shè) ， nnnnnnaaaaaaaaaA212222211211證證定理定理 4 A為為 n 階正交矩陣的充要條件是：階正交矩陣的充要條件是：A 的列向的列向量組是正交單位向量組量組是正交單位向量組.) , , ,(2121nTnTTTAA 21212121 TnTnnTTnTT11 TnTn 22 T闡明闡明Rn 的規(guī)范正交基是的規(guī)范正交基是“(含含 n 個個 n 維向量的維向量的)正交單位正交單位向量組向量組”.因此，定理因此，定理 4 亦可表述為亦可表述為A為為n 階正交矩陣的充要條件是：階正交矩陣的充要條件是： A 的列向量組是的列向量組是 Rn 的一組規(guī)范正交基的一組規(guī)范正交基”.因

17、此，因此， 的充要條件是：的充要條件是：EAAT 1, ii iTi )( 0,jijijTi ), 2 , 1,(nji 證畢證畢 2121000021212121212121212121AA 的列向量都是單位向量，且兩兩正交，的列向量都是單位向量，且兩兩正交，例例 4 4 驗(yàn)證驗(yàn)證是正交矩陣是正交矩陣. .解解故故 A 是正交矩陣是正交矩陣.2. 正交變換正交變換【回想】從變量【回想】從變量 x1, x2, , xn 到變量到變量 y1, y2, , ym的的 “線性變換可表示線性變換可表示為為 . ,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxay

18、xaxaxay mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 nxxx21 myyy21即即 ,記作記作 y=Ax.定義定義 6假設(shè)假設(shè) A 為正交矩陣，則線性變換為正交矩陣，則線性變換 y=Ax 稱為正交變換稱為正交變換. ； , AA； A ,arccos,arccosAAAA即即正交變換的性質(zhì)正交變換的性質(zhì)設(shè)：設(shè)： n 維列向量維列向量 , A , A (A為正交矩陣為正交矩陣)，則向量的內(nèi)積與長度以及向量間的夾角都保持不變則向量的內(nèi)積與長度以及向量間的夾角都保持不變.正交變換正交變換證證 設(shè)設(shè)A為正交矩陣，為正交矩陣， )()(, AAAAT , T )(AATT )()(,

19、 AAAAAT T )(AATT ,arccos,arccosAAAA由前兩式，立即有由前兩式，立即有(向量間的夾角不變向量間的夾角不變)(向量的內(nèi)積不變向量的內(nèi)積不變)(向量的長度不變向量的長度不變);)3(1TAA ; )2(EAAEAATT 或或2. 下列條件等價(jià)下列條件等價(jià): (1) A 為為 n 階正交矩陣；階正交矩陣；四、小結(jié)四、小結(jié)1. 施密特正交化方法：由一組線性無關(guān)的非零向量施密特正交化方法：由一組線性無關(guān)的非零向量 組，通過特定的線性運(yùn)算，構(gòu)造出一組正交單位組，通過特定的線性運(yùn)算，構(gòu)造出一組正交單位 向量組向量組. 利用施密特正交化方法，可將向量空間的基規(guī)范利用施密特正交化方法，可將向量空間的基規(guī)范正交化正交化. . )4(A 的列向量組的列向量組(或行向量組或行向量組)是正交單位向量組；是正交單位向量組； )5(A 的列向量組的列向量組(或行向量組或行向量組)是是 Rn 的規(guī)范正交基的規(guī)范正交基.(注意正確順序是先正交化、再單位化注意正確順序是先正交化、再單位化)已知行向量已知行向量 1 , 1 , 1 , 11 1 , 1 , 1 , 12 3 , 1 , 1 , 23 思考題思考題求：與求：與 正交的一個單位行向量正交的一個單位行向量.321, 思考題解答思考題解答用