數(shù)列通項(xiàng)公式常用求法及構(gòu)造法

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的常用求法構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式一、構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用乘、除、去分母、添項(xiàng)、去項(xiàng)、取對(duì)數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推 公式變形成為f(n，1)-f(n)=A (其中A為常數(shù))形式，根據(jù)等差數(shù)列的定義 知f(n)是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，先求出f(n)的通項(xiàng)公式，再根據(jù)f(n)與an，從而求出an的通項(xiàng)公式。例1在數(shù)列a.中，ai = -，3卄=空匚(n e N*)，求數(shù)列©通項(xiàng)公式.2 a.十33a解析：由 an41=an 43得，an+1Oi=3an+1-3Oi=0，兩邊同除以O(shè)n+1On得，11 _丄an 1an3 ，設(shè)bn=#，則bn+1- bn=3

2、，根據(jù)等差數(shù)列的定義知，數(shù)列 bn是首項(xiàng)b1=2，公差d=i的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得bn=2 + I (n-1) =|n +號(hào)數(shù)列通項(xiàng)公式為an=52例2在數(shù)列和 中，Sn是其前n項(xiàng)和，且SnM0，a1=1，an=fSS (n2)， 求Sn與an。2 2解析：當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1代入3 =簽得，Sn-Sn-仟僉，變形整理得Sn-Sn-1 = SnSn-1 ?兩邊除以SnSn-1得，±-孟=2，二 S 是首相為1，公 差為2的等差數(shù)列- Sn =1+2 (n-1) =2n-1, - Sn=(n2),n=1 也適合， Sn=_2nz1 (n1)當(dāng) n2 時(shí)，

3、6;i=Sn-Sn-1=- 2n3 =- 4n2 J8h3，門二1 不滿足此式，1 n =1-&=4n2 -§n 3 n - 2、構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用乘、除、去分母、添項(xiàng)、去項(xiàng)、取對(duì)數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推公 式變形成為f(n+1)=Af (n)(其中A為非零常數(shù))形式，根據(jù)等比數(shù)列的定義 知f(n)是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，先求出f(n)的通項(xiàng)公式，再根據(jù)f(n)與an，從而求出an的通項(xiàng)公式。例3在數(shù)列 an中,ai=2，an=an-i2(n>2)，求數(shù)列 an通項(xiàng)公式。 解析： ai =2， an=an-i (n2)>0，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)

4、得，lg an=2lg an-i iggaan； =2，根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列 lg an是首相為lg2，公比為2的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得lg an=2n-ilg2=lg22"n i數(shù)列通項(xiàng)公式為an=22 -評(píng)析：本例通過兩邊取對(duì)數(shù)，變形成logan =2logan形式，構(gòu)造等比數(shù)列Hogan，先求出log an的通項(xiàng)公式，從而求出an的通項(xiàng)公式。例4在數(shù)列 an中，ai=i，an+i=4an+3n+i，求數(shù)列 an通項(xiàng)公式。解析：設(shè)an+什A (n+i) +B=4 (an+An+B )，(A B為待定系數(shù))，展開得3A = 3A = icb+i =4an+3An+

5、3B-A，與已知比較系數(shù)得 23B-A = iB = _2 &+i+ (n+i) +| =4 (an+n+彳)，根據(jù)等比數(shù)列的定義知,數(shù)列 £h+n+2 是首項(xiàng)為3，公比為q=3的等比數(shù)列， an+n+f = - xn-i數(shù)列通項(xiàng)公式為an= F x 3n_i-n-舟例5在數(shù)列 an中，ai=i ， an+ian=4n，求數(shù)列 an通項(xiàng)公式 解析： an+iai=4nanan-i=4 甘兩式相除得：;=4 ，是首相分別為ai，a 2，公比都是4-a ， a3， as,與 a 2， a 4 ， a 6 , 的等比數(shù)列，又 t ai=1， an+ian=4n ， a2=4-an=

6、n42三、等差等比混合構(gòu)造法i數(shù)列有形如f(an，an4，ananJ =0的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以，先求出丄,再求得an例6.設(shè)數(shù)列an滿足= 2, an .1解：原條件變形為1an 1 an - 3 an an.兩邊同乘以，得an1 113-anan 1丄丄=3心an 2an 1v 3( 1)-,.an2 an 122"a2 3nd-1.四、輔助數(shù)列法有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，?gòu)造出一個(gè) 新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而利用這個(gè)數(shù)列求其通項(xiàng)公式。2 1 + an 1 ' T an，求 an °33解析：在an 21 - an兩邊減去a

7、n 1 ,3an 1 _an2寧1是以a2 - ai =1為首項(xiàng)，以得 an 2 _ an 1 = _-(an 1 _ an)11為公比的等比數(shù)列,3例7在數(shù)列g(shù)n /中, a5ai(-1)(-)11= 3313 1 13n-13 1 n 二=;1-(-；) 14 33 1 n 44(一3)練習(xí)*1、在數(shù)列 中，a1=1, an+1=3an+2n (n N*),求數(shù)列 an通項(xiàng)公式 解：由 an+1=3an+2n (n N*)得，an+1+2n+1=3 (an+2n) (n N*),設(shè)bn= an+2n則bn+1=3bn,.晉=3,根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列bn是首相b1=3，公比為q=3的等

8、比數(shù)列, 根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得bn=3n,l卩an+2n=3n,#數(shù)列通項(xiàng)公式為an=3n-2n 注意：2n+1-2n=2n2、在數(shù)列an中，ai =1 , ani "n -2n 3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：、由 an =an-2n 3得，(an.1 2n 1)-(an 2n) =3，根據(jù)等差數(shù)列的定義知，數(shù)列an 2n是首項(xiàng)為3,公差為3的等差數(shù)列，所以an 2n =3n，所以 an =3n _2nQn3、已知數(shù)列：an 滿足a1- - an彳=一 an，求an3n +1解：由條件知也an='分別令心,2'3'小1)'代入上式得2)個(gè)3#3#a?

9、a3a4* *aia?a3等式累乘之，即玉J 2 3口 =色Jand 2 3 4na1n 2乂 a1， an 小33n14. 數(shù)列a n滿足a1 =1 - an =- anJL+1 （n2）-求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。21 1解：由 an= an+1 （n2）得 an 2= （an一2）,而 a1 2=1 2= 1,2 21數(shù)列 an 2是以1為公比，一1為首項(xiàng)的等比數(shù)列 a n =2 () n2an，求數(shù)列fan詁勺通項(xiàng)公式。23#由逐差法可得 an =(an -anj) - (an-anJ 亠亠(a2 -aj -印1n_21n_31 21= (：)(盲)(二)(盲)T 1 3333=1一占r3

10、丄上J）n4436. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列：a.的前n項(xiàng)和為Sn , an2 - 2an =4Sn成立,求n /的通項(xiàng)an.解：an 2an =4Sn= an J 2an=4Sn，. 2 2-an an2an _2and = 4(S _SnJ=4an(an ' an)(an _ an 二2) = 0 ,- an ' an 1' 0 ,- - an的等差數(shù)列，且a1 2a1 =4a1= a1 =2. an =2 2(n _1) =2n7. 設(shè):an，是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且 an an4 nan nan: 列的通項(xiàng)公式an.解：由題設(shè)得(an an)(an-an- n)

11、= 0 . an 0 , an0 , an an0.an -anJ -n對(duì)于任意正整數(shù)n,都有等式:anj = 2.即la* 是以2為公差=0 , (n N* ),求數(shù)an=a1 侃卻 g-a»(am 23 m嚀解：an1a1 ：22二 Sn -Sn二 n anan n -1 ?ann 1 ananai前n項(xiàng)的和Sn = n2an，求a.-(n - 1) and 二(n _1)anan _2a11''an 1 =(n +1) (n +2)1 1X =3 2 n(n 1)9.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列d?滿足 解：兩邊取對(duì)數(shù)得： 則 bn =2bn4bn 是以2為公比的等比數(shù)列，blo

12、g； 1.bn =1 2n =2n4, logan 2n4, Iog2n 2心 一1 ,2n - an =22-1 , an -2an4an丄2（n2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.Iog；n =1 2log；z , log；n 仁2（1。9陽1），設(shè) b log aai7總結(jié)而運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。遞推式一般為：an 4 = pan ' f n ； an 1 = pan ' q(1) 通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列an+k的形式求解。一般地，形如an1=pan +q (pH 1 , pqM 0)型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對(duì)常數(shù)q分解法：設(shè)an i +

13、k=p (an+k)與原式比較系數(shù)可得pk k=q,即k=，從而得等比數(shù)列 p1an+k。(2) 通過分解系數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a. -an的形式求解。這種方法適用于an 2 = pan 4 qan型的遞推式，通過對(duì)系數(shù)p的分解，可得等比數(shù)列an -an： 設(shè) an 2 -kan 4 = h(an 4 -kan)，比較系數(shù)得 h k = p, -hk =q，可解得 h, k。3、構(gòu)造法構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題的過程中，通過對(duì)條件與結(jié)論的充分剖析， 聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法 的特點(diǎn)就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項(xiàng)公

14、式(1) 構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法(2) 構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.(3) 構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(4) 構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對(duì)數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹唵?，使問題得以 解決9補(bǔ)充一般方法：一、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目.例1.等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為

15、Sn，且ai, a3, a9成等比數(shù)列, S5求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：設(shè)數(shù)列an公差為d(d 0)2/ ai, a3, a9 成等比數(shù)列，.I a3 二 aia9 ,2 2即佝 2d) =ai(ai 8d)，得 d 二/ d 式 0ai = d?J J J J J J J J-S5 = a5545ai22d = (ai 4d),53二 一 n53ai V3 (n -i)-5由得：3a啟5二、累加法求形如 an-a n-i =f(n)通項(xiàng)，可用累加法，即令(f(n)為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列)的數(shù)列n=2，3，, n i得到n i個(gè)式子累加求得通項(xiàng)。an = an*例2.已知數(shù)列an中，

16、ai=i,對(duì)任意自然數(shù)n都有n(n i) 2，求an .1n(n i)，1(n -i)n，an _an解：由已知得an一 an -2#1 a3 a2 :an- a i = 2 33漢4，三、累乘法空=f( n)對(duì)形如an的數(shù)列的通項(xiàng)，可用累乘法，即令 n=2, 3, n 1得到n 1個(gè)式子累乘求得通項(xiàng)。例3.已知數(shù)列中，ai=3，前n項(xiàng)和3與an的關(guān)系是(勿勿-僞，求 通項(xiàng)公式an .解：由 & = n(2n _1)an 得 Sn 1 -(n _1)(2n - 3)an J兩式相減得：(2n 1)an =(2n -3)an，an2n -3 an j 2n 1an 二 _2 n -5 a

17、2 _ 14 n 2n -1' a1 5將上面n 1個(gè)等式相乘得:3(2n1)(2n -1)an (2n _3)(2n_5)(2n_7) 3 1 印 _ (2n 1)(2n _1)(2n _3) 7 5(2n 1(2n -1)四、公式法若已知數(shù)列的前 n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列乳的通項(xiàng)an可用公式Sn =1§n -Snn占2求解。例4.已知數(shù)列9 的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an+(T)，仁1 .求數(shù)列的 通項(xiàng)公式；解：由 a1 =S1 =2務(wù)-1,得 q "當(dāng) n 啟2 時(shí)，有 an =SnSn4 = 2(an - anJ)+ 2 漢(一1) an =2an2(

18、-1)n，am =2an2(-1)心，J J ?a2 = 2a<)- 2.a =2n1ai 2n1 (1) 2n(T滬 2 (-儼 =2n j(1)n(2)n (一2嚴(yán) (2)n1= 2m_(_1)n2(-2)尹(T)P4an =22心 +(1)nJL經(jīng)驗(yàn)證ai二1也滿足上式，所以 3Sn=an =點(diǎn)評(píng)：利用公式® -Sn2求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并.五、“歸納一猜想一證明”法直接求解或變形都比較困難時(shí)，先求出數(shù)列的前面幾項(xiàng)，猜測出通項(xiàng)，然后 用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法就是“歸納一猜想一證明”法.例5.若數(shù)列滿足：ai=1,an=2an+3K2 -計(jì)算a2，a3，a4的值，由此歸 納出an的公式，并證明你的結(jié)論.解：T a2=2 ai+3X 2° =2x 1+3X 2°，1 2 1a3=2 (2X 1+3X2°) +3X2'=22X 1+2X 3X 21，21232a4=2 (2 X 1+2X 3X 2 ) +3X 2 =2 X 1+3X 3X 2 ; 猜想 an=2nT+ (n- 1)X 3X2n_2=22 (3n- 1);用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，a1=1X