《圓》知識點(diǎn)歸納及相關(guān)題型整理

1、圓知識點(diǎn)歸納以及相關(guān)題目總結(jié)一、和圓有關(guān)的基本概念1圓：把線段0P的一個端點(diǎn)0固定，使線段 0P繞著點(diǎn)0在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)1周，另一個端點(diǎn) P運(yùn)動所形成的圖形叫做 圓。其中，定點(diǎn) 0叫做圓心，線段0P叫做半徑。以點(diǎn)0為圓心的圓，記作 “O O”讀作“圓0”圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合。2、 圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑 的點(diǎn)的集合。3、 圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合。4、弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段。5、直徑：經(jīng)過圓心的弦。6、 ?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧。 劣?。盒∮诎雸A的弧。半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。7、

2、同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。8、 等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓。（圓心不同）9、 等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的兩個圓中，不存在 等弧。10、圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角。11、圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交的角。12、圓的切線長：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長。13、正多邊形： 定義：各邊相等、各角也相等的多邊形 對稱性：都是軸對稱圖形；有偶數(shù)條邊的正多邊形既是軸對稱圖形有是中心對稱圖形。14、圓錐： ：母線：連接圓錐的頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段。 ：高：連接頂點(diǎn)與底面圓的圓心的線段。15、 三角形的外接圓：三角形三個

3、頂點(diǎn)確定一個圓，外接圓的圓心叫做 三角形的外心，這個 三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。16、 三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三 角形叫做圓的外切三角形。二、和圓有關(guān)的重要定理1、圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。2、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。3、 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦、兩條弧中有一組量相等，那么它們所對應(yīng) 的其余各組量都分別相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。4、圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等。5、圓是軸對

4、稱圖形， 過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸。6、 垂徑定理：垂直于弦的直 徑平分這條弦，并且平 分弦所對的弧。直線過圓心（直徑）直線垂直于弦（直線（直徑）平分弦 =直線平分弦所對優(yōu)弧 直線平分弦所對劣弧垂徑定理的實(shí)質(zhì)可以理解為： 一條直線，如果它具有兩個性質(zhì)： （1）經(jīng)過圓心；（2）垂直于弦, 那么這條直線就一定具有另外三個性質(zhì)：（3 ）平分弦，（4）平分弦所對的劣弧，（5）平分弦所對的優(yōu)弧。推論：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。7、同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半。8、 直徑（或半圓）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。9、如果三角形一邊上的中線

5、等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。10確定圓的條件： 不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓 經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)可以畫一個圓，并且只能畫一個.這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。 經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓.三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外 心。 三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等。11、三角形的外接圓的圓心是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)12、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。13、經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的是直線是圓的切線。14、 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，他們的切線長相等， 這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾 角。和圓有關(guān)的位置關(guān)

6、系1、點(diǎn)和圓:如果O O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心O的距離為d，那么點(diǎn)P在圓內(nèi) 點(diǎn)P在圓上 點(diǎn)P在圓外d<rd=rd>r2、直線和圓： 直線與圓有兩個公共點(diǎn)時，叫做 直線與圓相交。 直線與圓有唯一公共點(diǎn)時，叫做直線與圓相切。這條直線叫做 圓的切線，這個公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。 直線與圓沒有公共點(diǎn)時，叫做 直線與圓相離。如果O O的半徑為r,圓心O到直線I的距離為d,那么直線I與O O相交直線I與O O相切直線I與O O相離3、圓和圓：d<rd=rd>r兩個圓沒有公共點(diǎn)，并且每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的外部時，叫做這 兩個圓外離。兩個圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個公共點(diǎn)以外， 每個圓上

7、的點(diǎn)都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外切，這個唯一的公共點(diǎn)叫做 切點(diǎn)。 兩個圓有兩個公共點(diǎn) 時，叫做這 兩個圓相交。 兩個圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個公共點(diǎn)以外， 一個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)部時, 叫做這兩個圓內(nèi)切，這個唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。（兩個圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為 兩個圓相切。） 兩個圓沒有公共點(diǎn)，并且一個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這 兩個圓內(nèi)含。 （兩圓同心 是兩圓內(nèi)含的一種特例。）如果兩圓的半徑分別為 R、r，圓心距為d，那么兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含丿、口彳d>R+rd=R+rR-r<d<R+r(R > r) d=R_r(R>r

8、)<0< d<R-r(R>r)四、和圓有關(guān)的計(jì)算1多邊形和圓-2)-180*每個內(nèi)角的度數(shù)：n360°每個外角的度數(shù)：1 （等于中心角）2、扇形：面積公式：2cn兀rQ 或S Jlr2S 3603、弧長：弧長公式：nn 二rl2 了3601804、圓錐：（圓錐的側(cè)面展開圖，曰.是個扇形。）圓錐的側(cè)面積=S側(cè)=乂 2 n rX a= n ra（圓錐的側(cè)面積與底面積的和稱為圓錐的全面積。） 五、和圓有關(guān)的作圖1圓心做一個已知圓的圓心在圓上任意畫一條線，作垂直與這條線的直徑；再畫一條弦，繼續(xù)作垂直于這條弦的直徑; 兩條直徑的交點(diǎn)就是圓心。2、三角形的外接圓：已知銳角

9、三角形 ABC，用直尺和圓規(guī) 作厶ABC的外接圓。 分別作邊AB、AC的垂直平分線 DE、FG, DE與FC相交于點(diǎn)O 以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，O O就是所求作的圓。六、和圓有關(guān)的常作輔助線1、見弦作弦心距有關(guān)弦的問題，常作其弦心距(有時還需作出相應(yīng)的半徑)，通過垂徑定理來溝通結(jié)論與題設(shè)間的關(guān)系。2、見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是做直徑所對的圓周角，利用“直徑所對的圓周角是直角”這一特征來證明問題。3、見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連接過切點(diǎn)的半徑，利用“切線與半徑垂直” 這一性質(zhì)來證明問題。七、切線的判定例題1、已知：如圖，AB是O O的直徑，PA是O O的切

10、線，過點(diǎn) B?作BC?/ OP交O O于點(diǎn)C, 連結(jié)AC .(1) 求證： ABC POA ; (2)若AB=2 , PA= 2，求BC的長.(結(jié)果保留根號)2、已知：如圖,AB是O O的直徑，P是O O外一點(diǎn)，PA丄AB , ?弦BC / OP，請判斷 PC是否為O O的切線，說明理由.3、如圖，直線AB切O O于點(diǎn)A，點(diǎn)C、D在O O 上.試探求：(1)當(dāng)AD為O O的直徑時，如圖，/ D與/ CAB的大小關(guān)系如何？ ？并說明理由.(2) 當(dāng)AD不為O O的直徑時，如圖，/ D與/ CAB的大小關(guān)系同一樣嗎？ ？為什么？ 4、如圖，O O的直徑AB=6cm , D為O O上一點(diǎn)，/ BAD

11、=30°，過點(diǎn)D的切線交 AB ?的延長線于點(diǎn)C 求：(1)Z ADC的度數(shù)；(2) AC的長.5、在圖1和圖2中，已知 OA=OB ,AB=24 , O O的直徑為10.(1)如圖1, AB與O O相切于點(diǎn)C,試求OA的值;(2)如圖2,若AB與O O相交于D、E兩點(diǎn)，且 D、E均為AB的三等分點(diǎn)，試求 tanA的值.6、如圖，在 ABC 中，/ C=90°BC上一點(diǎn)O為圓心，以0OB為半徑的圓交AB?于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N .(1)求證：BA-BM=BC- BN ;(2)如果CM是O O的切線,為OC的中點(diǎn)，當(dāng)AC=3時，求AB的值.7、已知：如圖， ABC內(nèi)接于O O,

12、點(diǎn)D在OC的延長線上,1sinB= , / CAD=302(1)求證:AD是O O的切線；(2)若 OD丄AB , BC=5，求AD的長.8、已知在 Rt ABC中，/ C=90° AD是/ BAC的角平分線， 以AB上一點(diǎn) 0為圓心，AD(1)在圖中作出O 0;(不寫作法，保留作圖痕跡)(2) 求證：BC為O 0的切線；3(3) 若AC=3 , tanB=，求O 0的半徑長.4八、和圓有關(guān)的2解的問題例1、已知：在O 0中，弦 AB/ EF,AB=2，EF=2, O 0的半徑R=2,求AB、EF間的距離。AB平行且長為2的弦A''所以AB分析：利用對稱性，可以在0點(diǎn)

13、的另一側(cè)找到一條與 與EF距底離為兩個結(jié)果。BB'例2、已知：在O 0上，有一點(diǎn) A，過點(diǎn)A引弦AB、AC,弦心距分別為1、 ,O 0半 徑 R = 2,求/ BAC。圖2例 3、O Oi 與O O2 相切，Ri=5,R2=3,求 O1O2。例4、O O1與O O2內(nèi)切于點(diǎn) A，已知R1=5 ， O1 O2 = 4，求R2。例5、若O O所在平面內(nèi)一點(diǎn) P到OO上的點(diǎn)的最大距離為 a,最小距離為b（a>b），則此圓 的半徑為。例6、在同一平面內(nèi)，點(diǎn)P到O O的最長距離為 8cm,最短距離為 2cm，則O O的半徑為。（答案：O O的半徑應(yīng)為 5cm或3cm。）例7、O O的直徑為

14、6cm,如果直線a上的一點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離為3cm,則直線a與O O的位置關(guān)系是 。（答案：直線a與O O的位置關(guān)系是相切或相交。）例8、O O的半徑為5cm,弦AB/CD , AB=6cm , CD=8cm，求AB與CD之間的距離。（答 案：AB與CD之間的距離為1cm或7cm。）例 9、O O 的半徑為 1cm，弦 AB = J3cm , AC = JOcm，則/ BAC=。（答案:例10、兩圓相切，圓心距是 10cm,其中一圓的半徑為 4cm，則另一圓的半徑是 。（答案：另一圓的半徑為 6cm或14cm。）例11、O Oi的半徑為2cm, O O2的半徑為5cm，兩圓沒有公共點(diǎn)，則兩圓的圓心距d的取值范圍為 。（答案：外離時，d>7cm ;內(nèi)含時，0cm< d<3cm。）例14、PA, P