《3.1空間向量及其運(yùn)算-3.1.5空間向量的數(shù)量積》導(dǎo)學(xué)案1

1、空間向量的數(shù)量積導(dǎo)學(xué)案1教學(xué)過(guò)程一、問(wèn)題情境1平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角是0,我們把數(shù)量|a|b|cos叫臓向量a和 b的數(shù)量積(內(nèi)積)，記作 a b, 即卩 a b=|a|b|cos 0.規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為零2兩個(gè)向量的夾角對(duì)于兩個(gè)非零向量a和b,則/ AOB=0(O° 0180°)叫做向量a與b的夾角（圖1）當(dāng)0=。時(shí)，a與b同向；當(dāng)0=80°時(shí)，a與b反向；當(dāng)0=90°時(shí)，a與b垂直，記作a丄b.3向量數(shù)量積的運(yùn)算律設(shè)向量a, b, c和實(shí)數(shù)人向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：(1) a b=b a；(2

2、) (掃)b=a ( %)= Xa b);(3) (a+b) c=a c+b c.4向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上的投影|b|cos的乘積問(wèn)題1我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了平面向量夾角的定義和平面向量數(shù)量積的定義，那么類(lèi)比平面向量知識(shí)，空間向量的夾角和數(shù)量積又是怎么定義的？3二、數(shù)學(xué)建構(gòu)問(wèn)題2任意兩個(gè)空間向量都是共面向量嗎？解 是的由于此性質(zhì)，兩個(gè)空間向量的夾角以及它們的數(shù)量積就可以像平面向量那樣來(lái)定義問(wèn)題3類(lèi)比平面向量夾角的定義，如何定義空間向量的夾角及其表示？解 如圖，已知兩個(gè)非零向量 a, b，在空間任取一點(diǎn) O,作a =b，則/ AOB叫做向量a與b的夾角，記作<a

3、 , b> ；范圍:0«a, b> Wn在這種規(guī)定下，兩個(gè)向量的夾角就被唯一確定了，并且有 <a, b>=<b , a>.（圖2）問(wèn)題4類(lèi)比平面向量數(shù)量積的定義，空間向量的數(shù)量積是怎樣定義的？解 已知a，b是空間兩個(gè)非零向量，則|a| |b| cos<a，b>叫做向量a，b的數(shù)量積，記作 a b，即 a b=|a| |b| cos<a, b>.規(guī)定：0向量與任何向量的數(shù)量積為0.概念理解兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，符號(hào)由cos 的符號(hào)所決定.由空間向量數(shù)量積定義可知，空間兩個(gè)非零向量a b的夾角<a , b&g

4、t;可以由cos<a, b>求得問(wèn)題5空間向量數(shù)量積有哪些性質(zhì)？解(1)a丄b? a b=0(a, b是兩個(gè)非零向量)；2 2(2)|a| =a a=a .性質(zhì)理解性質(zhì)(1)是證明兩向量垂直的依據(jù)；性質(zhì)(2)是求向量的長(zhǎng)度(模)的依據(jù)問(wèn)題6空間向量數(shù)量積運(yùn)算律是什么？如何驗(yàn)證？解交換律:a b=b a.證明設(shè)a, b的夾角為 0,則a b=|a| |b| cos 0, b a=|b| |a| cos 0,所以a b=b a.(2) 與實(shí)數(shù)相乘的結(jié)合律:(入)b=入(a b)=a -(入b入 R).證明 若入>,(入ab=X |a|b|cos , 0Xa b)=入 |a|b|c

5、os ,0a ( X b 入 |a|b|cos ;0若入 <,(X ) b=| X a|b|cosn0=- X |a|b|(-cos 0= X |a|b|cos , 0Xa b)= X |a|b|cos ,0a ( X b|a| X b|gs0=- X |a|b(-cos 0= X |a|b|cos ,0所以(X ) b=X(a b)=a ( X b(3) 分配律:a (b+c)=a b+a c.問(wèn)題7數(shù)量積不滿足結(jié)合律(a b) c旳(b c),為什么？問(wèn)題8 0 a是零向量嗎？ Oa是零向量嗎？解 0 a表示零向量與向量a的數(shù)量積，它的值為0，而不是零向量；0a表示實(shí)數(shù)0與向量 a的

6、積，其結(jié)果是零向量.數(shù)學(xué)運(yùn)用探學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空間向量的數(shù)量積定義和性質(zhì)問(wèn)題：在幾何中，夾角與長(zhǎng)度是兩個(gè)最基本的幾何量，能否用向量的知識(shí)解決空間兩條直線的夾角和空間線段的長(zhǎng)度問(wèn)題？新知：1）兩個(gè)向量的夾角的定義：已知兩非零向量a,b，在空間一點(diǎn)o,作1，則.AOB叫做向量a與b的夾角，記作 .試試： 范圍：G：a,b：±, a,b =0 時(shí),a與 b; a,b =n時(shí)，a與 b：.a,b =：.b,a .成立嗎？ ：:a,b = _，則稱(chēng)a與b互相垂直，記作 .2）向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則叫做a,b的數(shù)量積，記作a b，即a b二.規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積等于零.反

7、思： 兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量還是向量？ o.a=（選o還是o）你能說(shuō)出a b的幾何意義嗎？3）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1）設(shè)單位向量 e，則 a e =icos ：a,e. .（2） a I ba b =.（3） a =.4）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（1）（孑）b = （才 b） =2 （ b'） . （ 2） a b = b 2 （交換律）.（3） a （b c） = a b a c （分配律）反思：（a b） c =a （b c）嗎？舉例說(shuō)明.若a b a c，則b =c嗎？舉例說(shuō)明.若a b = 0，貝U a = 0或b = 0嗎？為什么？探典型例題例1用向量方法證明：在平面上的一

8、條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那 么它也和這條斜線垂直變式：如圖，在正三棱柱所成的角為（）A. 60 ° B. 90 ° C.例3如圖，在平行四邊形ABCD-A 1B1 C1 D1 中,變式1用向量方法證明：已知： m, n是平面:-內(nèi)的兩條相交直 線，直線I與平面:-的交點(diǎn)為B，且I _m,l _ n .求證：I |例2如圖，在空間四邊形 ABCD中，AB=2，BC=3，.ABC =60，求AB與CD的夾角的余弦值+ABC-A1 B1C 1 中，右 AB= . 2 BB 1 ,則 AB 1 與 C1 B105 ° D. 75 °AB =4

9、, AD =3,AA =5,/BAD =90，也 BAA =/DAA=60。，求 AC'的長(zhǎng).探動(dòng)手試試練 1.已知向量 a,b 滿足 a =1 , b=2 , a+b=3，貝V a-b =.練2.已知 a=2£,o =乎 ,a b =2，則a與b的夾角大小為三、總結(jié)提升仁向量的數(shù)量積的定義和幾何意義2. 向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律的運(yùn)用.探知識(shí)拓展向量給出了一種解決立體幾何中證明垂直問(wèn)題，求兩條直線的夾角和線段長(zhǎng)度的新方法 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)探自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）A很好B.較好 C. 一般 D.較差（時(shí)量:5分鐘滿分：10分）計(jì)分:1.下列命題中：若b =c(a *

10、b) *c =aab二0 ,貝V a， b中至少一個(gè)為0若a = 0且a二ac，貝y*(b *c)(3a+2b) (3a2b) =9 a -4l呻 2,4,2果AB =正確有個(gè)數(shù)為（A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)H H兀T *2. 已知ei和e2是兩個(gè)單位向量，夾角為 ，則下面向量中與 2狂垂直的是（）3* T“斗-tHA. e1 e2B. e -倉(cāng) C. e D. e?3. 已知 ABC 中，.A,. B,. C 所對(duì)的邊為 a,b,c，且 a =3,b =1,. C =30 ,則 BC *CA = _呻44444 呻4. 已知a =4 , b =2，且a和b不共線，當(dāng) a+Xb與a