函數(shù)值域求法的應(yīng)用

1、函數(shù)值域求法的應(yīng)用宣漢縣第二中學(xué) 杜林對于函數(shù)的三要素之定義域和值域這兩大要素，我們要有解決它們的辦法。在上一篇文章中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)定義域的求法；下面我們來學(xué)習(xí)求函數(shù)值域的幾種常見方法 1直接法：先掌握常見函數(shù)的值域情況，然后通過常見函數(shù)的復(fù)合來求解值域。一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；反比例函數(shù)的定義域為x|x0，值域為y|y0；二次函數(shù)的定義域為R，當(dāng)a>0時，值域為；當(dāng)a<0時，值域為.例1求下列函數(shù)的值域 y=3x+2(-1x1) 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5 即函數(shù)的值域是 y| y2 即函數(shù)的值域是 y|

2、 yÎR且y¹1（此法亦稱分離常數(shù)法）當(dāng)x>0，=，當(dāng)x<0時，=值域是2，+).（此法也稱為配方法）函數(shù)的圖像為：2二次函數(shù)各區(qū)間上的值域(最值)：例2 求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：； ； ；解：，頂點為(2,-3)，頂點橫坐標(biāo)為2. 拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域R，x=2時，ymin=-3 ,無最大值；函數(shù)的值域是y|y-3 .頂點橫坐標(biāo)23,4，當(dāng)x=3時，y= -2；x=4時，y=1； 在3,4上，=-2，=1；值域為-2，1.頂點橫坐標(biāo)20,1，當(dāng)x=0時，y=1；x=1時，y=-2,在0,1上，=-2，=1；值域為-2，1.頂點橫坐標(biāo)2 0,

3、5，當(dāng)x=0時，y=1；x=2時，y=-3, x=5時，y=6,在0,1上，=-3，=6；值域為-3，6.注：對于二次函數(shù),若定義域為R時，當(dāng)a>0時，則當(dāng)時，其最小值；當(dāng)a<0時，則當(dāng)時，其最大值.若定義域為x a,b,則應(yīng)首先判定其頂點橫坐標(biāo)x0是否屬于區(qū)間a,b.若a,b,則是函數(shù)的最小值（a>0）時或最大值（a<0）時，再比較的大小決定函數(shù)的最大（小）值.若a,b,則a,b是在的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大（?。┲?注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（?。┲?；當(dāng)頂點橫坐標(biāo)是字母時，則應(yīng)根據(jù)其對應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點的位置關(guān)系進行討論.3判

4、別式法（法）：判別式法一般用于分式函數(shù)，其分子或分母只能為二次式，解題中要注意二次項系數(shù)是否為0的討論例3求函數(shù)的值域方法一：去分母得 (y-1)+(y+5)x-6y-6=0 當(dāng) y¹1時 xÎR =(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得 (5y+1)0檢驗 時 （代入求根）2 Ï 定義域 x| x¹2且 x¹3 再檢驗 y=1 代入求得 x=2 y¹1綜上所述，函數(shù)的值域為 y| y¹1且 y¹方法二：把已知函數(shù)化為函數(shù) (x¹2) 由此可得 y¹1 x=2時 即 函數(shù)的值域

5、為 y| y¹1且 y¹說明：此法是利用方程思想來處理函數(shù)問題，一般稱判別式法. 判別式法一般用于分式函數(shù)，其分子或分母只能為二次式.解題中要注意二次項系數(shù)是否為0的討論.4換元法例4求函數(shù)的值域解：設(shè) 則 t0 x=1-代入得 t0 y45分段函數(shù)例5求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數(shù)的值域是y|y3.解法2：函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動點x到兩定點-1，2的距離之和，易見y的最小值是3，函數(shù)的值域是3，+. 如圖 兩法均采用“數(shù)形結(jié)合”，利用幾何性質(zhì)求解，稱為幾何法或圖象法.說明：以上是求函數(shù)值域常用的一些方法（觀察法、配方法、判別式法、圖象法、換元法等），隨著知識的不斷學(xué)習(xí)和經(jīng)驗的不