擺動法測量轉(zhuǎn)動慣量

1、# -山基礎(chǔ)物理實驗實驗4用復(fù)擺測量剛體的轉(zhuǎn)動慣量一、實驗?zāi)康? 學(xué)習(xí)掌握對長度和時間的較精確的測量；2 掌握重力加速度的方法，并加深對剛體轉(zhuǎn)動理論的理解;3 學(xué)習(xí)用作圖法處理、分析數(shù)據(jù)。二、實驗儀器JD-2物理擺、光電計時器等三、實驗原理1. 單擺如圖4-1 (單擺球的質(zhì)量為 m當(dāng)球的半徑遠(yuǎn)小于擺長I時，應(yīng)用動量矩定理，在角坐 標(biāo)系可得小球自由擺動的微分方程為：Sin n =0(4-1)dt I式中t為時間，g為重力加速度，I為擺長。(4-2)則(4-1 )式可簡化為:令(4-3 )式的解為：dt2(4-3 )(4-4)圖4-1單擺原理# -山基礎(chǔ)物理實驗# -山基礎(chǔ)物理實驗(4-5 )式中

2、 ,:由初值條件所決定。周期(4-6)2 物理擺一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復(fù)擺或物理擺。如圖4-2，設(shè)物理擺的質(zhì)心為C,質(zhì)量為M,懸點為O,繞O點在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為j0，0C距離為h，在重力作用下，由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律可得微分方程為Jo 與MghE (4-7) dt22 Mgh令（4-8）J 0仿單擺，在二很小時，（4-7 ）式的解為：二-二 sin( ，t 亠：:£)(4-9)Mg圖4-2 物理擺（復(fù)擺）(4-10)設(shè)擺體沿過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量為JC，由平行軸定理可知:2J。= Jc - Mh（4-11）將（4-11 ）代入（4-10 ）可得：TcI Jc亠hT= 2

3、.： （4-12）V Mghg（4-12）式就是物理擺的自由擺動周期T和（4-13 ）式右端各參變量之間的關(guān)系。實驗就是圍繞（4-12 ）式而展開的。因為對任何Jc都有Jc x m，因此（4-13 ）式的T與M無關(guān)，僅與 M的分布相關(guān)。令J二Ma 2 , a稱為回轉(zhuǎn)半徑,則有(4-13)61 -山基礎(chǔ)物理實驗# -山基礎(chǔ)物理實驗一次法測重力加速度 g山基礎(chǔ)物理實驗#由（4-12 ）式可得出2 2 4二(Jc Mh )Mh(4-14)測出（4-14 ）右端各量即可得g ;擺動周期T,用數(shù)字計時器直接測出，M可用天平稱出，C點可用杠桿平衡原理等辦法求出，對于形狀等規(guī)則的擺, 二次法測gJc可以計算

4、出。一次法測g雖然簡明,但有很大的局限性，特別是對于不規(guī)則物理擺,Jc就難以確定，為此采用如下“二次法”當(dāng)M及其分布（C點） 是有確定以后，改變 h值，作兩次測T的實驗,運用（4-13 ）式于2= 4：2J c Mh12J c Mh 2Mgh 22 2 2Mgh J 4. Jc 4：. Mh12 =0(4-15)2 2 2Mgh 2T2 4 J c - 4 ". Mh聯(lián)立解(4-15 )、( 4-16 )式，可得出(4-16)2 22 也一h?g 二422h1T1 h2T2(4-17)這樣就消去了 Jc，所以（4-17 ）測g就有著廣泛的適用性。從（4-17 ）式，更可十分明確地看到

5、T與M的無關(guān)性。雖然，任意兩組（m , T, ），（ h2, T2 ）實測值，都可以由（4-17 ）式算出g ;但是,對于一個確定的“物理擺”選取怎樣的兩組（h ,T ）數(shù)據(jù)，使能得出最精確的 g的實測山基礎(chǔ)物理實驗67 -結(jié)果呢？為此必須研究 T （ h ）關(guān)系：將（4-12 ）式平方，于是可得出T2Jch2 -（ 4-18）4二Mghg從此式可以看出T2與h的關(guān)系大體為一變形的雙曲線型圖線：當(dāng) h趨于0時Ttr, 當(dāng)h*, T亦趨于a；可見在 h的某一處一定有一個凹形極小值。為此，對（4-18 ）作一次求導(dǎo)并令其為0;即由 工=o,可得dhJ -120（4-19）Mghg2 2Mh J -

6、二 Ma（4-20）即移動擺軸所增加的轉(zhuǎn)動慣量恰為質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動慣量，即h =a處所相應(yīng)的T為極小值（為什么？）。（注意：體會稱a為回轉(zhuǎn)半徑的含義）將（4-13 ）式取二次導(dǎo)數(shù)為研究T （ h）關(guān)系特在0.6m長的扁平擺桿上，間隔2cm均勻鉆出直徑為1cm的28個孔以作為O點的Hi值（i= 土 1,± 2，土 3，” ±14）于是可得出如圖4-3所示的曲線。圖4-3 擺動周期T與擺軸離中心距離h的關(guān)系在共軛的A, B二極小T值點以上，沿任一 T h畫一條直線，交圖線于 -D, E, F四 點；皆為等T值點，錯落的兩對等 T值間的距離（hD+hE） = h- + hr被稱為等值

7、單擺長。為 理解這一點，將（4-17 ）式的T1與Te （或Td）對應(yīng)，T2與Tf （或T-）對應(yīng)，h1為與對應(yīng)的hE, h2為與T2對應(yīng)的hF，并將（4-17）式改形為:2 2 2 2 2(4-22 )4 二 _ T1丁2 工 7g _ 2(h h2) 2(hh2)（4-22 ）與（4-17 ）的等同性同學(xué)們在課后去用代數(shù)關(guān)系式驗證。從（4-22 ）可知，當(dāng)Ti = T2（ =T）時，即化為單擺形式的公式（4-6），故稱（hE+hF ）、（ hc+hD ）為等值單擺長。從（4-20 ）式可知： ob = oa = a ;而 ax2 = h e+ h 1從圖4-3可知，A，B二共軛點為T（ h

8、）的極小值點，若在它附近取二個 h值來計算g則將引起較大的誤差。所以欲取得精確的g的測量值，就只能取最大的 F點和相應(yīng)的E點來計算g值。因孔的非連續(xù)性，E只能取Te近乎于Tf的點代入（4-22 ）式。還可取略大、略小的兩組值都計算出再取平均。A或B在實驗上雖然不利于測量出較精確的g，但運行在Tb （或Ta）值下的擺，其性能最穩(wěn)定。 可倒擺為提高測g的精度，歷史上在對稱結(jié)構(gòu)的物理擺的擺桿上，加兩個形體相同而密度不同的兩個擺錘對稱地放置。于是質(zhì)心C點隨即被改變，圖 4-3的圖線也隨之改變，特別是Tc （即），Tf（即T2）所相應(yīng)的hC（即h1），hF（即h2）也隨之改變。但曲線的形狀依歸。所以，用

9、此時的T （ =Tf =Tc）和h1 （=hC），h2 （=hF）按（4-22 ）式來計算出g。當(dāng)然，由于擺桿孔的非連續(xù)性，所以僅能用Tc- Tf的實測值，這時（4-22 ）式的右端的第2項僅具很小的值。所以（T1 - T2）很小，而（h1- h2）較大。所以實驗須先在重鐵錘的擺桿的下端測出T1后，將擺倒置過來，從遠(yuǎn)端測出大于T1的值然后逐漸減h2直至T小于T1為止。將加有二擺錘的擺叫作可倒擺（或稱為開特氏擺）；（4-22 ）式就稱為可倒擺計算式。擺錘用兩個而不是用一個，而且形體作成相同，是因為倒置以后在擺動過程中，擺的空氣阻尼等對擺的運動的影響可消除。由物理擺的理論可知，可倒擺（開特擺）僅是

10、物理擺的特例。 錘移效應(yīng)a.加錘擺的擺動周期 Tm設(shè)原擺為一帶刻度的擺桿。擺的質(zhì)量為M質(zhì)心為C （設(shè)為坐標(biāo)原點），擺心為O, CO距離為h，質(zhì)心C處與擺心O處沿OZ軸的轉(zhuǎn)動慣量為JC、JO。以上條件皆固定不變。然后再加一個圓柱形的擺錘，錘的回轉(zhuǎn)半徑為r,質(zhì)量為m正軸與上述各軸平行。錘移動沿CO方向為+X。置錘于X處，如圖4-4所示。擺的總質(zhì)量為M ' = M m(4-23)質(zhì)心變?yōu)镃',由一次矩平衡原理可得出CC : = m X /( M - m)(4-24)所以新的擺長h ' = h - CC h m X /(M 亠 m) (4-25)由平行軸定理，可得2 2 2 2

11、Jo = Ma Mh - mr m (h - X )(4-26)設(shè)重力加速度g已知(不變)，則帶錘的擺動方程式仿(4-7 )、(4-10 )式為：(動量矩定理)J0 v - -(M m) g h - m X /( M m) sin v (4-27)i .加錘擺的周期公式 Tm為:2 2 2 2 Ma Mh mr m (h - x)m x) M - m(4-28)(h在研究錘移效應(yīng)時，令(固定不變)2C =Ma2mh亠mr 2(4-29)k =(M - m)(4-30)所以有2C m(h x)T m = 2<tJmk (h x)tM +m(4-31 )此式的特點:它與無錘擺的形式相似，即原

12、T ( h)關(guān)系與現(xiàn)在Tm( X)關(guān)系相似，(此時h為固定常數(shù))山基礎(chǔ)物理實驗# -由于X的取向等原因,所以Tm （ X）相當(dāng)于圖4-3曲線的左葉,Tm（ X）的漸近線為mhXM m而X的負(fù)向則為，-0,M m , h時,mXToo注：X . M m h，則Tm為復(fù)數(shù)（無意義）m它也存在著極（?。┲邓詰?yīng)由dT m ( X )=.0(4-32 )dXdTmdTmdfdXdfdXk(hX)X所以有-i)2dX代入=C - m(h X )，ud ()vdXdvdu v dXx2v可得X)2m(h X)(1) -C m(hX)(M m此）(4-33)m(h _M +mX ) (2mh-2mX ) (

13、 -1)-M2(c 亠 mh - 2mhX 亠 mX2)2 2X 2mhX 2mhm(c mJ)】=0M m2m(c mh )2m222mh 二(2mh) - 42mhM +m2mM m2 -山基礎(chǔ)物理實驗69 -分子，分母都除以2m （根號內(nèi)除以4卅）得i2 m(c mh )h , h : 2mh M +m(M 亠 m )h -2 2 2 2M m) h 一2mh (M - m) _m(c - mh )2 2 2 2 2 2 2 2 2(M m)h 二 、Mh 2 Mmh m h 2mh M - 2m h mc m hm(M m)h . me M 2h2m(4-34)所以X一定有解，T有極值

14、T （X）如前所述，T（ X）函數(shù)與T（ h）函數(shù)的性狀是一樣的， 所以此極值也一定是極小; 求嘆來判定，略去）dx2ii .零質(zhì)量擺錘的周期（公式）T0將m=0代入公式（4-28 ）,可得（以=2JC Mh 200 (h -X )(M 0) g (h0MaX)Ja , h =2二.，二（4-35）, gh gTh意義就是與X平行的，值為Th的T （X）函數(shù)線。Th也就是無錘擺在co = h時的擺動周期值，這也就是研究T （X）時為什么X的取向，原點都與原來的T （ h）的h取向、原點為一致的原因，而另取一個有別于h的符號X是為了討論、理解得方便。理解這一點是弄明下一點的前提。iii.周期Tm

15、與Th （即m=0時的Tm）的交點，即有 Tm =Th2山基礎(chǔ)物理實驗# -也就是令（4-28 ）式與（4-13 ）式相等，于是有:所以解得m(M m) g (h _X )M + m2 a-h2gh2 2 2 2Ma Mh mr m (h - X )(4-36)2 2 2 2Ma Mh mr m ( h - X )(M m) g (hX)2 2 2 2 2 2 2 a h Ma Mh mr mh - 2mhX mXghg (M m)h - mX 2 2 2 2 2mhX m(h a ) X mh (a r )=02 2 2 2 2hX - (h - a ) X - h (a - r )=02

16、I2a i a22(h ) - (h )4(a -r )h V h2上式如下特點：它與m無關(guān)。即錘的結(jié)構(gòu)、形狀相同（r相同）而密度（即質(zhì)量） 在X處擺的周期T相等。它在r :a條件下有兩個實根。-a2)2 h 2a 24h即雖然它與錘質(zhì)量無關(guān)，但它與質(zhì)量的分布（回轉(zhuǎn)半徑r）相關(guān),式時，無解。2（4-37）不同的擺錘，（4-38）且r滿足（4-38）（4-39）時退化為只有一個解:a(4-40)2h2山基礎(chǔ)物理實驗71 -iv.回到物理擺的周期公式（4-12 ）式或（4-13 ）式，在擺桿質(zhì)心點當(dāng)有類似情況。當(dāng)m 0而r -0的質(zhì)點錘置于擺桿的質(zhì)心C處時，并且懸掛點于 a處。當(dāng)mz 0, m變則T變，這與由（4-37 ）式算出的X處r不變T變，m變而T為不變 是有所不同的。v .（鐘表擺的）T的微調(diào)遠(yuǎn)離于C, X, X> ；調(diào)擺錘（或平衡錘一一亦可稱之為擺的“平衡”錘）的質(zhì)量或其質(zhì)量的分布。移動 平衡錘。三、實驗內(nèi)容與步驟安裝、調(diào)節(jié)好儀器以后：1 測出無錘擺桿的T （ H）關(guān)系；（可只測半截擺桿的）2 測出兩個加錘擺的 Ti （X）, E （ X）關(guān)系；兩擺錘的形狀、尺寸須相同，而質(zhì)量不 同；3 然后按原理所述，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)表格自列。四、注意事項11. 擺幅A須小于1°,按R=0.3m （-擺桿）+0.03m（擺針）=330mm計2倍振幅2 兀 x 330