文本課件666數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班

1、第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念 二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限 三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性 四、多元初等函數(shù)的連續(xù)性四、多元初等函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)， 是某一正是某一正數(shù)，與點(diǎn)數(shù)，與點(diǎn)),(000yxP距離小于距離小于 的點(diǎn)的點(diǎn)),(yxP的全體，稱的全體，稱為點(diǎn)為點(diǎn)0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU，即即 1 1鄰域鄰域0P ),(0 PU0|PPP 2200( , )()().x yxxyy

2、一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念 注注20若不需強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑，則點(diǎn)的某一鄰域常記為若不需強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑，則點(diǎn)的某一鄰域常記為0P0(, )U P 00|PPP 稱為點(diǎn)稱為點(diǎn) 的去心鄰域的去心鄰域0P 100(),U P點(diǎn)點(diǎn) 的某一去心鄰域常記為的某一去心鄰域常記為0P0().U P 設(shè)設(shè)D為平面上的一個(gè)非空點(diǎn)集，若對(duì)為平面上的一個(gè)非空點(diǎn)集，若對(duì)D中的任一點(diǎn)中的任一點(diǎn)( , )x y，變量，變量z按照某種法則按照某種法則f總有唯一確定的值與之總有唯一確定的值與之對(duì) 應(yīng) ， 則 稱對(duì) 應(yīng) ， 則 稱z是 變 量是 變 量, x y的 二 元 函 數(shù) ， 記 為的 二 元 函 數(shù) ， 記 為(

3、 , ),( , )zf x yx yD， 其中其中, x y稱為自變量，稱為自變量，z稱為稱為因變量，因變量，D稱為該函數(shù)的定義域稱為該函數(shù)的定義域. . 2 2多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義定義定義1 1 10 對(duì)對(duì)00(,)xyD ，與，與00(,)xy對(duì)應(yīng)的因變量的值對(duì)應(yīng)的因變量的值0z稱為函數(shù)稱為函數(shù)( , )zf x y 在點(diǎn)在點(diǎn)00(,)xy處的函數(shù)值，記作處的函數(shù)值，記作00 x xyyz 或或00(,)f xy， 即即 00000(,)x xyyzf xyz 20關(guān)于二元函數(shù)的定義域，與一元函數(shù)相類似，關(guān)于二元函數(shù)的定義域，與一元函數(shù)相類似，我們作如下約定：我們作如下約定：對(duì)于

4、用解析式（算式）表示的函數(shù)對(duì)于用解析式（算式）表示的函數(shù)，它的定義域就是使這個(gè)解，它的定義域就是使這個(gè)解析式有意義的實(shí)數(shù)對(duì)析式有意義的實(shí)數(shù)對(duì)( , )x y所構(gòu)成的集合， 并稱其為自然定義域所構(gòu)成的集合， 并稱其為自然定義域 當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)，時(shí)，n元函數(shù)統(tǒng)稱為元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)多元函數(shù). 類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD 例例2 2 已知已知(2 ,2 )2f xy xyxy，求

5、，求( , ).f x y解解令令22xyuxyv ，則，則,2uvx .4uvy 于是，于是，53( , )2,2444uvuvf u vuv故故53( , ).44f x yxy二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限定義定義2 2 對(duì)于二元函數(shù)對(duì)于二元函數(shù)),(yxfz ，如果當(dāng)點(diǎn)，如果當(dāng)點(diǎn)( , )P x y無限趨近無限趨近于點(diǎn)于點(diǎn)000(,)P xy（記作（記作00,xxyy或或000( , )(,)P x yP xy）時(shí) ， 對(duì) 應(yīng) 的 函 數(shù) 值時(shí) ， 對(duì) 應(yīng) 的 函 數(shù) 值( , )f x y無 限 趨 近 于 常 數(shù)無 限 趨 近 于 常 數(shù)A（ 用（ 用( , )f x yA表

6、 示 ）， 那 么表 示 ）， 那 么A稱 為 函 數(shù)稱 為 函 數(shù)( , )f x y當(dāng)當(dāng)00,xxyy時(shí)的極限，記作時(shí)的極限，記作 00lim( , )xxyyf x yA00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA0lim( )PPf PA0( )()f PAPP00( , )( , )(,)f x yAx yxy或或或或或或或或注注10 n元函數(shù)的極限可以類似地定義元函數(shù)的極限可以類似地定義20 二元函數(shù)的極限又稱為二重極限二元函數(shù)的極限又稱為二重極限 30 二元函數(shù)的極限當(dāng)且僅當(dāng)二元函數(shù)的極限當(dāng)且僅當(dāng) 00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA點(diǎn)以任何方

7、式趨向于點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)以任何方式趨向于點(diǎn)時(shí)，( , )P x y000(,)P xy( , )f x y都趨向于同一個(gè)數(shù)值都趨向于同一個(gè)數(shù)值 A40 若當(dāng)點(diǎn)若當(dāng)點(diǎn)( , )P x y以兩種不同方式趨于時(shí)，以兩種不同方式趨于時(shí)，000(,)P xy趨于兩個(gè)不同值，或趨于兩個(gè)不同值，或當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)( , )f x y( , )P x y以某種以某種的極限不存在，的極限不存在，方式趨于時(shí)，方式趨于時(shí)，000(,)P xy( , )f x y則則不存在不存在. .00( , )(,)lim( , )x yxyf x y50 多元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似多元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似例例 3 3 設(shè)

8、設(shè)2222220( , )00 xyxyxyf x yxy ， 證明：證明：00lim( , )xyf x y不存在不存在 證證 因?yàn)橐驗(yàn)?22( , )(0,0)01lim( , )lim2x yxy xx xf x yxx ， 22( , )(0,0)0()1lim( , )lim()2x yxyxxxf x yxx ， 所以所以 00lim( , )xyf x y不存在不存在 例例4 4求求( , )(1,0)sin(2)lim;x yxyy解解 ( , )(1,0)sin(2)limx yxyy( , )(1,0)sin(2)lim22x yxyxxy1 22.三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、

9、多元函數(shù)的連續(xù)性1多元函數(shù)連續(xù)的定義多元函數(shù)連續(xù)的定義 設(shè) 二 元 函 數(shù)設(shè) 二 元 函 數(shù)( , )zf x y的 定 義 域 為的 定 義 域 為,D 000(,)P xyD ，若若 0000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xy， 則稱二元函數(shù)則稱二元函數(shù)( , )zf x y在點(diǎn)在點(diǎn)000(,)P xy處連續(xù)處連續(xù). . 定義定義3 3 設(shè) 二 元 函 數(shù)設(shè) 二 元 函 數(shù)( , )zf x y的 定 義 域 為的 定 義 域 為,D且且000(,)P xyD ，若，若 00000000limlim(,)(,)0 xxyyzf xx yyf xy， 則稱二元

10、函數(shù)則稱二元函數(shù)( , )zf x y在點(diǎn)在點(diǎn)000(,)Pxy處連續(xù)處連續(xù). . 定義定義 3 如果如果( , )f x y在點(diǎn)在點(diǎn)000(,)P xy處不連續(xù)，則稱處不連續(xù)，則稱0P是函數(shù)是函數(shù)( , )f x y的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn). . 如果函數(shù)如果函數(shù) 在在 D 上上的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)函數(shù) 在在 D上連續(xù)，或者稱上連續(xù)，或者稱 是是 D上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). .),(yxf),(yxf),(yxf注注定義定義4 4注注二元函數(shù)的間斷點(diǎn)可以形成一條或幾條曲線二元函數(shù)的間斷點(diǎn)可以形成一條或幾條曲線例如：例如：2211,.(1)(1)1zzxyxy例例5 5 討論

11、函數(shù)討論函數(shù)222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解220limxy kxxyxy22220limxkxxk x2,1kk其值隨其值隨 k 的不同而變化，的不同而變化，因?yàn)橐驗(yàn)楣蕵O限不存在故極限不存在00lim( , )xyf x y因此，函數(shù)因此，函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)( , )f x y0lim( , )xy kxf x y2多元連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)多元連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零時(shí)）多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零時(shí)）仍為多元連續(xù)函數(shù)仍為多元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)2 2多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為多元連續(xù)函數(shù)四、多元初等函數(shù)的連續(xù)性四、多元初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理一切多元初等函數(shù)都在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)都在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)注注定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的開區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的開區(qū)域或閉區(qū)域例例6 6.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 若點(diǎn)若點(diǎn)),(yx沿著無窮沿著無窮多條平面曲線趨向于多條平面曲線趨向于點(diǎn)點(diǎn)),(00yx時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)),(yxf都趨向于都趨向于 A，能否，能否斷定斷定Ay