正確計算統(tǒng)計平均數(shù)

1、正確計算統(tǒng)計平均數(shù) 平均數(shù)是社會經(jīng)濟統(tǒng)計的基本指標與基本方法，在社會經(jīng)濟統(tǒng)計學中占有十分重要的作用，國外一位統(tǒng)計學家曾稱：統(tǒng)計學是一門平均數(shù)的科學。因此，正確理解、計算、運用統(tǒng)計平均數(shù)，是學習社會經(jīng)濟統(tǒng)計的基本要求，也是學好后續(xù)統(tǒng)計方法特別是統(tǒng)計指數(shù)、統(tǒng)計評價、序時平均數(shù)等統(tǒng)計方法的關(guān)鍵。 統(tǒng)計平均數(shù)的計算方法按其資料的時間屬性不同，分為靜態(tài)平均與動態(tài)平均，前者屬于截面數(shù)據(jù)的平均，即為一般平均數(shù)，后者為時間數(shù)列的平均，也稱序時平均。序時平均是靜態(tài)平均方法的具體應用。統(tǒng)計平均數(shù)的計算方法按其體現(xiàn)原始數(shù)據(jù)的充分性不同，主要可分為數(shù)值平均與位置平均，前者包括算術(shù)平均、調(diào)和平均、幾何平均、平

2、方平均，它們均有簡單式與加權(quán)式之分，實踐中較常用的是算術(shù)平均、調(diào)和平均與幾何平均。后者則指中位數(shù)與眾數(shù)。這些平均方法與公式具有不同的應用場合或應用條件，實踐中必須正確選擇。但我們在多年的教學實踐中發(fā)現(xiàn)，許多初學者往往無法正確區(qū)分這些不同平均方法的應用條件，特別是算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均的應用條件，從而出現(xiàn)亂套公式的情況。本文擬通過案例分析，與同學們談談如何正確計算算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)與幾何平均數(shù)。例1某企業(yè)報告期三個車間的職工人均日產(chǎn)量分別為：50件、65件、70件，車間日總產(chǎn)量分別為800件、650件、1050件。 要求：計算三個車間的職工每人平均日產(chǎn)量。解題過程 三個車間的職工每人平

3、均日產(chǎn)量=m/(m/x) =(800+650+1050)/(800/50+650/65+1050/70) =2500/41=60.98（件/人）解題說明本題從公式形式上看，是加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。從內(nèi)容上看，屬于“統(tǒng)計平均數(shù)的平均數(shù)計算”，但初學者常常容易犯的錯誤是亂套公式。最常見的錯誤是：選擇算術(shù)平均數(shù)公式計算，即以三個車間的日總產(chǎn)量為權(quán)數(shù)，對三個車間的勞動效率進行算術(shù)平均：（50×800+65×650+70×1050）/（800+650+1050）=155750/2500=62.3另一類錯誤是采用簡單平均公式計算平均產(chǎn)量，即（50+65+75）/3=63.33。出現(xiàn)

4、上述兩類錯誤的根源是：沒有正確理解社會經(jīng)濟統(tǒng)計中平均數(shù)的經(jīng)濟含義。其實，無論資料條件如何，職工人均產(chǎn)量的基本含義永遠是：總產(chǎn)量/工人數(shù)。因此，本例資料只需要求出三個車間的總產(chǎn)量及三個車間的總?cè)藬?shù)即可。由所提供的資料可以知道，總產(chǎn)量已經(jīng)知道了，為(800+650+1050)=2500，而各車間的職工人數(shù)卻需要推算。因為各車間的總產(chǎn)量與該車間工人數(shù)之比即為該車間的人均產(chǎn)量，所以各車間職工人數(shù)應該等于總產(chǎn)量與人均產(chǎn)量之對比，三個車間的職工總?cè)藬?shù)應該為：(800/50+650/65+1050/70)=41人。  例2某企業(yè)集團下屬的25個企業(yè)報告期計劃利潤計劃完成程度如下表所示：按計劃完成程

5、度分%企業(yè)個數(shù)（個）計劃利潤總額（萬元）90以下380090-10062200100-110146000110以上21000合計2510000要求：計算25個企業(yè)的平均計劃完成程度及平均每個企業(yè)實現(xiàn)的利潤額。 解題過程 平均計劃完成程度=xf/f =（800×85%+2200×95%+6000×105%+1000×115%）/10000 =10220/10000=102.2% 平均每個企業(yè)實現(xiàn)的利潤額=全部企業(yè)實現(xiàn)的利潤總額/企業(yè)個數(shù) =10220/25=408.8萬元解題說明本例是統(tǒng)計學中比較典型的“相對數(shù)的平均數(shù)計算”問題。我們所采用的是“

6、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)”公式，權(quán)數(shù)是每一組的計劃利潤額。常見的錯誤有這樣幾種：一種是組中值錯誤。特別是第一組與最后一組的組中值，有一些初學者常常用90%作為第一組的組中值，用110%作為最后一組的組中值，這是不對的。組中值的一般計算方法是（上限+下限）/2，但對于這類“開口組”，其組中值應該按鄰組的組距去推算。故本例第一組的組中值應該取85%，最后一組的組中值應該取115%；第二種錯誤是用“企業(yè)個數(shù)”作權(quán)數(shù)計算平均計劃完成程度，這說明沒有正確理解平均計劃完成程度的含義。其實，作為權(quán)數(shù)的指標f與變量值x之間的乘積應該具有實際經(jīng)濟意義的，本例若將企業(yè)個數(shù)與計劃完成程度相乘，就不可能得到有實際意義的指標值（

7、某一組的標志總量）。本例只有當各個企業(yè)的計劃利潤全部相同時，才可以以企業(yè)個數(shù)為權(quán)數(shù)進行加權(quán)算術(shù)平均。正如當我們掌握三個企業(yè)的計劃完成程度時，我們一般不能采用簡單算術(shù)平均計算它們的平均計劃完成程度，除非三個企業(yè)的計劃數(shù)相同。第三種錯誤與之相類似，初學者也有以“企業(yè)個數(shù)×計劃利潤總額”為權(quán)數(shù)計算算術(shù)平均數(shù)，誤以為表中的“計劃利潤總額”是平均每一個企業(yè)的計劃任務。其實，表中文字中根本就沒有“平均”之意，更何況還有一個“合計”計劃利潤總額為10000萬元的資料，若為“平均”，就不能“合計”。第四種錯誤就是套用調(diào)和平均數(shù)公式?；蚴翘子煤唵握{(diào)和平均公式，或是以企業(yè)數(shù)為權(quán)數(shù)計算加權(quán)調(diào)和平均，或是以

8、計劃利潤總額為權(quán)數(shù)計算調(diào)和平均，或是以企業(yè)個數(shù)與計劃利潤額之間的乘積為權(quán)數(shù)計算調(diào)和平均。這一錯誤產(chǎn)生的根源是：學習過程中沒有正確理解統(tǒng)計平均數(shù)，只簡單化地背一些公式，應用時就想當然地套用平均數(shù)公式。其實，與例1類似，計算相對數(shù)的平均數(shù)時，必須首先明白該相對數(shù)的基本公式，即分子是什么，分母是什么。然后計算“分子總和”與“分母總和”，將這兩個總和相除，就是相應的“平均數(shù)”。所以，平均計劃完成程度的真實含義應該是“總實際/總計劃”，因為計劃完成程度的一般公式是“實際/計劃”。本例計算時，初學者根本不必猜測應該采用算術(shù)平均還是采用調(diào)和平均，也不必猜測應該以哪一項指標為權(quán)數(shù)，正確的思路是：由所給資料求出

9、“分子總和”-25個企業(yè)總的實際利潤，求出“分母總和”-25個企業(yè)總的計劃利潤。因本例已經(jīng)知道了各組企業(yè)的計劃總額，所以需要推算“實際利潤總額”，其推算過程應該是“計劃數(shù)×計劃完成程度”。即，實際總利潤=（800 × 85% + 2200 × 95% + 6000 × 105% + 1000 × 115%）。而總計劃為（800+2200+6000+1000），二者的對比在形式上是一個加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式。因此，本例的計算方法就稱為“算術(shù)平均數(shù)”。若本例不是提供“計劃利潤總額”而是提供“實際利潤總額”，則計算平均計劃完成程度時需要推算“計劃利潤總額

10、”。而計劃利潤總額的推算需要采用“實際利潤/計劃完成程度”，在形式上表現(xiàn)為（m/x），因此，此時的平均計劃完成程度在形式上就屬于“加權(quán)調(diào)和平均數(shù)”。依此類推，當計算若干村的“平均畝產(chǎn)”時，就應該把握住基本公式：平均畝產(chǎn)永遠是“糧食總產(chǎn)量/總面積”，不論資料形式如何，只要求得“總產(chǎn)量”與“總面積”兩項基本資料即可，若知道各村畝產(chǎn)及種植面積，則推算總產(chǎn)量即可，這在形式上是一個“加權(quán)算術(shù)平均”，但若已知各村畝產(chǎn)及總產(chǎn)量時，需要推算種植面積，這在形式上是一個“加權(quán)調(diào)和平均”；當計算若干個企業(yè)的“平均資金利潤率”時，就應該把握住基本公式：平均資金利潤率永遠是“總利潤/總資金”；計算若干商品或企業(yè)的平均銷

11、售利潤率時，就應該把握基本公式：平均銷售利潤率永遠是“總利潤/總銷售”。例3設有三個車間報告期的產(chǎn)品生產(chǎn)情況如下表所示：車間不合格品率%不合格品件數(shù)(件)甲5500乙2190丙4372合計-1062要求：若這三個車間是同一產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上的三個階段（工序），則平均不合格品率為多少？若這三個車間是獨立生產(chǎn)完全相同產(chǎn)品的三個小組，則平均不合格品率是多少？若這三個車間不僅完全獨立，且所生產(chǎn)的產(chǎn)品使用價值完全不同，產(chǎn)品的出廠價格分別為300元/件、400元/件、1000元/件，則應該如何計算它們的平均不合格品率？解題過程 平均合格品率 =0.96325=96.325% 平均不合格品率=1-96.325

12、%=3.675% 平均不合格品率=不合格產(chǎn)品總件數(shù)/全部產(chǎn)品總件數(shù) =0.036875=3.69% 平均不合格品率=不合格品產(chǎn)品總價值/全部產(chǎn)品總價值598000/16100000=3.7143%  解題說明本例分別三種情況計算平均不合格品率。對于第一個計算要求，關(guān)鍵是必須注意幾何平均法的應用條件與要求。幾何平均雖然適合于計算比率與速度的平均，但卻是有條件的：要求變量值的連乘積等于總比率或總速度，否則就不能采用幾何平均法。實踐中一般有四種情況需要應用幾何平均數(shù)公式計算平均值，一種情況是“連續(xù)作業(yè)的車間平均合格率與平均不合格品率”，第二種情況是“平均發(fā)展速度與平均增長速度”，

13、第三種情況是“復利條件下的平均利率”。第四種是一些特殊需要，如綜合評價合成值或統(tǒng)計指數(shù)計算時可以用幾何平均法。本小例最常見的錯誤是：誤用加權(quán)算術(shù)平均或加權(quán)調(diào)和平均或簡單算術(shù)平均公式計算平均不平均合格品率，這顯然忽視了“連續(xù)作業(yè)車間”這一特定條件。另一個常見的錯誤是：直接對不合格品率采用幾何平均法計算，這里顯然又忽視了“變量值連乘積等于總比率或總速度”這一基本計算要求。因為三個車間合格率的連乘積正好等于全廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的總合格率或最終合格率，而三個車間不合格品率的連乘卻沒有太大的實際意義。從概率意義看，三個車間合格率的連乘正表示“三道工序均合格”，這樣的產(chǎn)品才能算是最終的合格品，而三個車間不合格品

14、率連乘的概率含義卻是“沒有一道工序是合格的”，顯然它并沒有將所有不合格品包括在內(nèi)，任何一道工序的不合格對于最終產(chǎn)品而言就是不合格的，因此只有當三道工序全部合格時才算真正的合格。所以本小題采用先計算平均合格率，再計算平均不合格品率的路線。正是同樣的道理，計算平均增長速度就不能直接用幾何平均數(shù)公式，而應該先計算平均發(fā)展速度（因為環(huán)比發(fā)展速度可以連乘而環(huán)比增長速度不能連乘）；計算復利平均利率也不能直接用利率，而應該先計算平均的“本利率”，再減去100%以求得平均利率。對于第二個計算要求，與例1、2類似，屬于“相對數(shù)的平均數(shù)”，只要記?。翰缓细衤适遣缓细癞a(chǎn)品數(shù)量與總產(chǎn)量之對比，因此平均不合格品率就是三個車間總的不合格品產(chǎn)量與全部產(chǎn)量的對比，因題中已經(jīng)提供了不合格品數(shù)量，需要借助“總產(chǎn)量=不合格品件數(shù)/不合格品率”來推算三個車間的產(chǎn)品總量，在形式上就是一個調(diào)和平均數(shù)公式。這一小題容易犯的錯誤仍然是誤用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。但必須注意的是，調(diào)和平均數(shù)公式中不允許變量值為零，因此若某一車間的不合格品率為零時，就不可也無法