大學物理課后習題答案第十二章

1、第12章 機械振動 習題及答案1、什么是簡諧振動？哪個或哪幾個是表示質點作簡諧振動時加速度和位移關系的？ （1）a=8x ；（2）a=12x2 ；(3) a=-24x ；(4)a=-2x2 .答：系統(tǒng)在線性回復力的作用下，作周期性往復運動，即為簡諧振動。 對于簡諧振動，有a=-02x ,故（3）表示簡諧振動。2、對于給定的彈簧振子，當其振幅減為原來的1/2時，下列哪些物理量發(fā)生了變化？變化為原來的多少倍？ （1）勁度系數；（2）頻率；（3）總機械能；（4）最大速度；（5）最大加速度。解：當 A'=12A 時， （1）勁度系數k不變。 （2）頻率不變。 （3）總機械能 E'=12

2、kA2=14E （4）最大速度 V=-A'0sin(0t+) Vm'=-A'=12Vm (5) 最大加速度 a'=-A'02cos(0t+) am'=-A'02=12am3、勁度系數為和的兩根彈簧，與質量為的小球按題圖所示的兩種方式連接，試證明它們的振動均為諧振動，并分別求出它們的振動周期解：(1)圖(a)中為串聯彈簧，對于輕彈簧在任一時刻應有，設串聯彈簧的等效倔強系數為等效位移為，則有 又有 所以串聯彈簧的等效倔強系數為即小球與串聯彈簧構成了一個等效倔強系數為的彈簧振子系統(tǒng)，故小球作諧振動其振動周期為(2)圖(b)中可等效為并聯彈簧，同

3、上理，應有，即，設并聯彈簧的倔強系數為，則有 故 同上理，其振動周期為4. 完全相同的彈簧振子，t=0 時刻的狀態(tài)如圖所示，其相位分別為多少？k m x=xmax(a)k m vx=0(b)k m vx=0(c)k m x=-xmax(d)解：對于彈簧振子，t=0時，x=Acos ,v=-Asin （a） x=xmax ,故 cos=1 v=0 ，故 sin=0 =0 （b）x=0 ，故 cos=0 v<0 ，故 sin>0 =2 （c）x=0 ，故 cos=0 v>0 ，故 sin<0 =32 （d）x=-xmax ,故 cos=-1 v=0 ，故 sin=0 =5、

4、如圖所示，物體的質量為，放在光滑斜面上，斜面與水平面的夾角為，彈簧的倔強系數為，滑輪的轉動慣量為，半徑為。先把物體托住，使彈簧維持原長，然后由靜止釋放，試證明物體作簡諧振動，并求振動周期 解：分別以物體和滑輪為對象，其受力如題圖(b)所示，以重物在斜面上靜平衡時位置為坐標原點，沿斜面向下為軸正向，則當重物偏離原點的坐標為時，有 式中，為靜平衡時彈簧之伸長量，聯立以上三式，有令 則有故知該系統(tǒng)是作簡諧振動，其振動周期為6、質量為的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作諧振動，求：(1)振動的周期、振幅和初位相及速度與加速度的最大值；(2)最大的回復力、振動能量，在哪些位置上動能與勢能相等?解：(1)

5、設諧振動的標準方程為，則知：又 (2) 當時，有，即 7、一個沿軸作簡諧振動的彈簧振子，振幅為，周期為，其振動方程用余弦函數表示如果時質點的狀態(tài)分別是：(1)；(2)過平衡位置向正向運動；(3)過處向負向運動；(4)過處向正向運動試求出相應的初位相，并寫出振動方程解：因為 將以上初值條件代入上式，使兩式同時成立之值即為該條件下的初位相故有8. 物體沿x軸作簡諧振動，在t=0時刻，其坐標為x0=-8.50 cm ,速度v0=-0.92 cm/s,加速度a0=47 m/s2 ,試求： （1）彈簧振子的角頻率和周期； （2）初相位和振幅。解：設x=Acos(0t+) ，則t=0時x0=Acos ，v

6、0=-A0sina0=-A02cos=-02x0(1)0=-a0x0=-47.0-0.085=23.5 rad/sT=20=2×3.1423.5=0.27 s(2) cm 9、兩質點作同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相等。當質點1在x1=A/2 處，且向左運動時，另一個質點2在x2=-A/2 處，且向右運動。求這兩個質點的相位差。解：由旋轉矢量圖可知，當質點1在x1=A/2處，且向左運動時，相位為/3；而質點2在x2=-A/2處，且向右運動，相位為4/3（如圖）。所以他們的相位差為。10、一質量為的物體作諧振動，振幅為，周期為，當時位移為求：(1)時，物體所在的位置及此時所受力的大小和

7、方向；(2)由起始位置運動到處所需的最短時間；(3)在處物體的總能量解：由題已知 又，時，故振動方程為 (1)將代入得方向指向坐標原點，即沿軸負向(2)由題知，時，時 (3)由于諧振動中能量守恒，故在任一位置處或任一時刻的系統(tǒng)的總能量均為11、圖為兩個諧振動的曲線，試分別寫出其諧振動方程解：由題圖(a)，時，即 故 由題圖(b)時，時，又 故 12、一物塊在水平面上作簡諧振動，振幅為10 cm，當物塊離開平衡位置6 cm時，速度為24 cm/s。問： （1）此簡諧振動的周期是多少？ （2）物塊速度為±12 cm/s時的位移是多少？解：設x=Acos(0t+)，已知A=10 cm，故

8、x=10cos(0t+) ,v=-100sin(0t+) x2100+v210002=1 (1)當x=6 cm，v=24 cm/s 0=v2100-x2=242100-62=3 rad/sT=20=2×3.143=2.09 s （2）當v=±12 cm/s 時x=±100-v202=±100-12232=±9.16 cm13、一長方形木塊浮于靜水中，其浸入部分高為a，今用手指沿豎直方向將其慢慢壓下，使其浸入部分高度為b，然后放手任其運動。試證明若不計阻力，木塊的運動為簡諧振動，并求出振動周期和振幅。解：xbamgfOSx 設木塊質量為m，底面積

9、為S，水的密度為水，木塊受到重力mg 和浮力 f. 平衡時，mg=f=水gSa ,以水面上某點為原點，向上為x軸建立坐標系，則當木塊在圖示位置時，合力為F=f-mg=水gSb-水gSa=-水gSx由牛頓第二定律 F=ma=md2xdt2 故 md2xdt2=-水gSx d2xdt2+水gSxmx=0 可見，木塊作簡諧振動，振幅為b-a，0=水gSm， T=2m水gS=2ag14、有一單擺，擺長，擺球質量，當擺球處在平衡位置時，若給小球一水平向右的沖量，取打擊時刻為計時起點，求振動的初位相和角振幅，并寫出小球的振動方程解：由動量定理，有 按題設計時起點，并設向右為軸正向，則知時， 0 又 故其角

10、振幅小球的振動方程為15、有兩個同方向、同頻率的簡諧振動，其合成振動的振幅為，位相與第一振動的位相差為，已知第一振動的振幅為，求第二個振動的振幅以及第一、第二兩振動的位相差解：由題意可做出旋轉矢量圖如下由圖知 設角，則即 即，這說明，與間夾角為，即二振動的位相差為.16、已知兩簡諧振動的振動方程分別為x1=5cos10t+34 cm 和 x2=6cos10t+14 cm ,試求其合成運動的振幅及初相。解：由 x1=5cos10t+34 ，x2=6cos10t+14 知： A1=5 cm ， 1=34 ，A2=6 cm ，2=14 合成震動振幅為 A=A12+A22+2A1A2cos(2-1) =25+36+2×5×6cos(-2)=7.81 cm初相為tan=A1sin1+A2sin2A1cos1+A2cos2=5sin34+6sin145cos34+6cos14=11 =84.8°=1.48 rad17、試用最簡單的方法求出下列兩組諧振動合成后所得合振動的振幅：(1) (2)解： (1) 合振幅 (2) 合振幅 18、一質點同時參與兩個在同一直線上的簡