數(shù)列的極限96194PPT課件

1、1利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積割圓術(shù)割圓術(shù): :R圓內(nèi)接正六邊形面積圓內(nèi)接正六邊形面積1A圓內(nèi)接正十二邊形面積圓內(nèi)接正十二邊形面積2A, , 26 1nnA邊形面積邊形面積圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正 ,321nAAAA圓內(nèi)接正二十四邊形的面積圓內(nèi)接正二十四邊形的面積3A面積值構(gòu)成一列有次序的數(shù)面積值構(gòu)成一列有次序的數(shù)一、數(shù)列極限的定義1.1.問題的引入問題的引入第1頁/共54頁2 , 越大越大當(dāng)當(dāng)n內(nèi)接正多邊形與圓的差別越小內(nèi)接正多邊形與圓的差別越小, , , 如何大如何大但是無論但是無論 n , 只是多邊形的面積只是多邊形的面積nA , )( nn無限增大時無限增大時當(dāng)

2、當(dāng) 內(nèi)接正多邊形無限接近于圓內(nèi)接正多邊形無限接近于圓, , ),( 即圓的面積即圓的面積數(shù)值數(shù)值無限接近于某一確定的無限接近于某一確定的nA. , 321極限極限時的時的當(dāng)當(dāng)數(shù)為數(shù)為在數(shù)學(xué)上稱這個確定的在數(shù)學(xué)上稱這個確定的 nAAAAn第2頁/共54頁3例如例如;,21,81,41,21n;21 n2.2.數(shù)列的定義數(shù)列的定義 . , , , ,N , 21nnnnxxxxnxxn簡記為數(shù)列簡記為數(shù)列叫做數(shù)列叫做數(shù)列就就序列序列從小到大排列得到一個從小到大排列得到一個按照下標(biāo)按照下標(biāo)這些實數(shù)這些實數(shù)著一個確定的實數(shù)著一個確定的實數(shù)對應(yīng)對應(yīng)對每一個對每一個如果按照某一法則如果按照某一法則 . ,

3、叫做數(shù)列的一般項叫做數(shù)列的一般項項項第第數(shù)列的項數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列中的每一個數(shù)叫做nxn第3頁/共54頁4;,)1( , 1 , 1, 11 n;)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn ;)1(1 nnn從幾何上看從幾何上看, ,數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列. . 可看作一動點在數(shù)軸上依次取可看作一動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx數(shù)列是自變量取正整數(shù)的函數(shù)數(shù)列是自變量取正整數(shù)的函數(shù)).N( )( nnfxn,:,2 , 8 , 4 , 2:2aaaaann第4頁/共54頁53.3.單調(diào)數(shù)列的定義單調(diào)數(shù)列的定義. , ; , 12

4、1121是單調(diào)減少的是單調(diào)減少的就稱就稱滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的就稱就稱滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nnnnnnnnxxxxxxxxxxxx 遞增或遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列遞增或遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.第5頁/共54頁6例如例如, ,1 nnxn數(shù)列數(shù)列nnx2 數(shù)列數(shù)列有界；有界；無界無界. . 4.4.數(shù)列有界的定義數(shù)列有界的定義: : . , ; , , , 是無界的是無界的就說數(shù)列就說數(shù)列不存在不存在如果這樣的正數(shù)如果這樣的正數(shù)是有界的是有界的則稱數(shù)列則稱數(shù)列都滿足不等式都滿足不等式于一切于一切使得對使得對如果存在著正數(shù)如果存在著正數(shù)對于數(shù)列對于數(shù)列n

5、nnnnxMxMxxMx . , 上上都落在閉區(qū)間都落在閉區(qū)間的點的點數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列MMxn 第6頁/共54頁7.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn觀察重點觀察重點:? , 數(shù)數(shù)個確定的常個確定的常否接近于一否接近于一是是大時大時無限增無限增當(dāng)當(dāng)nxn5.5.數(shù)列數(shù)列極限極限(sequence limit)的的定定義義1020304050 x12yn50O第7頁/共54頁8. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當(dāng)當(dāng)nxnnn 問題問題: :“無限接近無限接近”意味著什么意味著什么? ?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它如何用數(shù)學(xué)語言刻

6、劃它. . 1 nx因為因為,11)1(1nnn 通過上面演示實驗的觀察得通過上面演示實驗的觀察得: :方法方法: : 兩數(shù)之間的接近程度可以用兩數(shù)之差的絕對值兩數(shù)之間的接近程度可以用兩數(shù)之差的絕對值( (即距離即距離) )來表示來表示. . ,)1(1 1 nn對數(shù)列對數(shù)列第8頁/共54頁9,1001給定給定,10011 n由于由于,100時時故只要故只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,100011 nx有有 . 1 , 數(shù)數(shù)可以小于任意給定的正可以小于任意給定的正足夠大足夠大只要只要nn第9頁/共54頁10.1.1111(,11可以無限變小可以無限

7、變小時時這就表明當(dāng)這就表明當(dāng)成立成立項起），有項起），有即從第即從第時時則當(dāng)則當(dāng)時時只要只要 nnxnNnxNNnNn .111任意地接近任意地接近與與就表示要使得就表示要使得nnxnx 表示任意小的正數(shù)，表示任意小的正數(shù)，我們以我們以的接近程度來表示的接近程度來表示要用任意要用任意能夠任意地接近，就需能夠任意地接近，就需與與要想刻畫要想刻畫 ,1nx第10頁/共54頁11數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義. ) ( lim, , , , , , ) ( , , naxaxaxxaaxNnNaxnnnnnnn當(dāng)當(dāng)或或記為記為收斂于收斂于或稱數(shù)列或稱數(shù)列的極限的極限是數(shù)列是數(shù)列么就稱常數(shù)么就稱常數(shù)那那

8、都成立都成立不等式不等式時時使得當(dāng)使得當(dāng)總存在正數(shù)總存在正數(shù)不論它多么小不論它多么小意給定的正數(shù)意給定的正數(shù)對于任對于任如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)為一數(shù)列為一數(shù)列設(shè)設(shè) . lim , , , 不存在不存在習(xí)慣上也說習(xí)慣上也說是發(fā)散的是發(fā)散的或者說數(shù)列或者說數(shù)列有極限有極限沒沒就稱數(shù)列就稱數(shù)列如果不存在這樣的常數(shù)如果不存在這樣的常數(shù)nnnnxxxa 第11頁/共54頁12; , )1(可以任意給定非常重要可以任意給定非常重要所以所以接近接近的無限的無限與與刻劃了刻劃了因為不等式因為不等式 axaxnn . , )2(而選定而選定的給定的給定它隨著它隨著有關(guān)有關(guān)與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù) N關(guān)

9、于定義的說明關(guān)于定義的說明: :(3) 幾何解釋幾何解釋: :x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa .) ( ,),( , 落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點所有的點時時當(dāng)當(dāng)NaaxNnn 第12頁/共54頁13 : 定義定義數(shù)列極限的數(shù)列極限的N ,對于每一個對于每一個或或?qū)τ谌我饨o定的對于任意給定的表示表示 . 存在存在或或至少有一個至少有一個表示表示 . , , , 0lim axNnNaxnnn有有時時當(dāng)當(dāng)正整數(shù)正整數(shù)(4) 極限概念的簡寫形式極限概念的簡寫形式(5) 數(shù)列極限的定義未給出如何求數(shù)列的極限數(shù)列極限的定義未給出如何求數(shù)

10、列的極限.第13頁/共54頁14例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證明證證axn 1)1(1 nnn,1n , 0 ,1 nx若要若要,1 n只要只要,1 n或或, 11 N于是取于是取,時時則當(dāng)則當(dāng)Nn ,111)1(1 Nnnnn有有. 1)1(lim1 nnnn即即第14頁/共54頁15調(diào) 課 通 知 將將1010月月1414日（星期五），日（星期五），1010月月1717日（星期一），日（星期一），1010月月1919日日（星期三）的三次課（星期三）的三次課（6 6學(xué)時）調(diào)學(xué)時）調(diào)到到9 9月月2727日和日和1010月月1111日晚上課日晚上課（每次（每次3 3學(xué)時）學(xué)時）.

11、. 上課地點：在上課地點：在402402教室教室 上課時間：晚上課時間：晚6 6點開始點開始. .第15頁/共54頁16例例2 . 0 ,)1()1(2的極限是的極限是證明數(shù)列證明數(shù)列已知已知nnnxnx 證證 axn 0)1()1(2nn2)1(1 n,111nn , 0 ,1 n若要若要,1 n只要只要, 11 N于是取于是取,時時則當(dāng)則當(dāng)Nn ,110)1()1(2 Nnnn就有就有. 0)1()1(lim2 nnn即即第16頁/共54頁17注意注意: :. 0)( . 1)( )( . , , 0 , ffNfnaxNNNn就取為就取為的的的不等式，那么相應(yīng)的不等式，那么相應(yīng)，得到形如

12、，得到形如的方法是：適當(dāng)放大的方法是：適當(dāng)放大一般來說，確定一般來說，確定小的小的但不需要尋找最但不需要尋找最確實存在確實存在指出指出在于在于關(guān)鍵關(guān)鍵列的極限時列的極限時利用定義證明某數(shù)是數(shù)利用定義證明某數(shù)是數(shù)第17頁/共54頁18例例30. , , , , 1 , 1 2極限是極限是證明等比數(shù)列證明等比數(shù)列設(shè)設(shè)nqqqq 證證 ),1 ( 0 設(shè)設(shè) 0 nx因為因為0 nq,nq , nq要使要使 ,lnln qn取對數(shù)得取對數(shù)得 , 1 q因為因為, 0ln q ,lnlnqn 所以所以, 1lnln qN 取取,時時則當(dāng)則當(dāng)Nn ,0 Nnnqqq就有就有. 0lim nnq即即第18頁

13、/共54頁19例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求證求證且且設(shè)設(shè)證證, 01 .limaxnn 故故 ,lim axnn 因為因為, , 時時使得當(dāng)使得當(dāng)正整數(shù)正整數(shù)所以所以NnN axn從而從而aaxn ,1a , axn則則,1a 取取,1 axnaxaxnn 第19頁/共54頁20二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理定理1 ( (數(shù)列極限的唯一性數(shù)列極限的唯一性) ) . ,那么它的極限唯一那么它的極限唯一收斂收斂如果數(shù)列如果數(shù)列nx證證)( ,babxaxnn 又又設(shè)設(shè)( (反證法反證法) ) ,2 ab 取取,limaxnn 因為因為 , 1N正整數(shù)正整數(shù)則則 ,1時時使得當(dāng)使

14、得當(dāng)Nn ,2abaxn 有有,limbxnn 同理因為同理因為第20頁/共54頁21 , 2N正整數(shù)正整數(shù)則則 ,2時時使得當(dāng)使得當(dāng)Nn ,2abbxn 有有 ,max21NNN 取取,時時則當(dāng)則當(dāng)Nn 故假設(shè)錯誤故假設(shè)錯誤, , 收斂數(shù)列極限唯一收斂數(shù)列極限唯一. . , 2 2同時成立同時成立和和abbxabaxnn ,2 2abxabaxnn ,22 abxabbxnn 同時成立是不可能的同時成立是不可能的, ,第21頁/共54頁22證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, , 1 取取,1 ,max1axxMN 記記,Mxnn 皆有皆有則對一切自然數(shù)則對一切自然數(shù).有界有界故故nx定

15、理定理2 2 ( (收斂數(shù)列的有界性收斂數(shù)列的有界性) ) . ,一定有界一定有界那么數(shù)列那么數(shù)列收斂收斂如果數(shù)列如果數(shù)列nnxx,N存在正整數(shù)存在正整數(shù),時時當(dāng)當(dāng)Nn , 1 axnnx 即即aaxn )(aaxn ,1a 第22頁/共54頁23注意注意: : 有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件. . 定理定理2 2的的推論推論 . ,一定發(fā)散一定發(fā)散那么數(shù)列那么數(shù)列無界無界如果數(shù)列如果數(shù)列nnxx( (簡言之簡言之, , 有界的數(shù)列不一定收斂有界的數(shù)列不一定收斂) ) ,)1( , , 1 , 1 , 1 , 1 1 n例如例如有界有界, ,但這是一個發(fā)散數(shù)列但這是一個發(fā)

16、散數(shù)列. .第23頁/共54頁24證證定理定理3 (數(shù)列極限的保號性數(shù)列極限的保號性)2 ,2, 02110baxbaaxNnNaxbannn 時，有時，有當(dāng)當(dāng)，存在正整數(shù)，存在正整數(shù)由由對于對于 ., , , ,lim,limnnnnnnyxNnNbabyax 都有都有時時當(dāng)當(dāng)正整數(shù)正整數(shù)那么存在那么存在且且如果如果第24頁/共54頁252 ,2, 02220baybabyNnNbybannn 時，有時，有當(dāng)當(dāng)，存在正整數(shù)，存在正整數(shù)由由對于對于 ,max21NNN 取取,時時則當(dāng)則當(dāng)Nn , 2 nnybax 第25頁/共54頁26推論推論2 . )0 (0, , 0 ),0 (0 ,li

17、m nnnnxxNnNaaax或或都有都有時時當(dāng)當(dāng)正整數(shù)正整數(shù)那么存在那么存在或或且且如果如果推論推論1 . ) (, , 0 ), ( ,limbxbxNnNbabaaxnnnn 或或都有都有時時當(dāng)當(dāng)正整數(shù)正整數(shù)那么存在那么存在或或且且如果如果若在上面的推論中取若在上面的推論中取b=0,即得如下推論即得如下推論若在上面的定理中取若在上面的定理中取yn=b,即得如下推論即得如下推論第26頁/共54頁27).(,limlim babayxyxNnNbyaxnnnnnnnn 或或則則）（或（或有有時時當(dāng)當(dāng)且存在正整數(shù)且存在正整數(shù)，若若推論推論3推論推論4).0(0,00,lim aaxxNnNax

18、nnnn或或則則）（或（或有有時時當(dāng)當(dāng)，且存在正整數(shù)，且存在正整數(shù)若若. 00101lim10.)0(0 annnaxxnnn限值限值，但是極，但是極，且，且，顯然有，顯然有如數(shù)列如數(shù)列例例，仍有可能是，仍有可能是或或即使即使注意注意第27頁/共54頁28定理定理4 .limlimlim ,0 ), 2 , 1( 0 )3(;limlimlim)2(;limlim)(lim)1( ,lim ,lim , bayxyxbnybayxyxbayxyxbyaxyxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 時時且且當(dāng)當(dāng)那么那么如果如果和和設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列三、數(shù)列極限的四則運算三、數(shù)列極

19、限的四則運算第28頁/共54頁29證證(1),2, 02, 011 axNnNaxnn時，有時，有當(dāng)當(dāng)存在正整數(shù)存在正整數(shù)，對于，對于由由,2, 02, 022 byNnNbynn時，有時，有當(dāng)當(dāng)存在正整數(shù)存在正整數(shù)，對于，對于由由 ,max21NNN 取取,時時則當(dāng)則當(dāng)Nn , 22 )( byaxbayxnnnnbayxyxnnnnnnn limlim)(lim 第29頁/共54頁30;lim ,00lim, 00. .0 ,lim )2( bayxMMyxabyxNnMyNnNMybMxnMxaxnnnnnnnnnnnnnn 即即時有時有于是當(dāng)于是當(dāng)時，有時，有當(dāng)當(dāng)，對于，對于由由時，時

20、，當(dāng)當(dāng)有有對一切對一切，有界，即存在有界，即存在可知數(shù)列可知數(shù)列由由 第30頁/共54頁31MbyNnNMbybaxNnNbaxbnnnnnn2,002lim.2,0, 02 ,lim, 00 )2( 2211 有有時時當(dāng)當(dāng)，存在，存在，對于，對于由由有有時時，當(dāng)，當(dāng)存在存在對于對于由由時，時，當(dāng)當(dāng)?shù)?1頁/共54頁32;lim22 ,max 21bayxbbMMaxbbyxabbxbxyxabyxNnNNNnnnnnnnnnnnn 即即時有時有于是當(dāng)于是當(dāng)取取 第32頁/共54頁33推論推論;)lim(lim ;)lim(lim ,lim)2(;limlim c ,lim)1( kknnkn

21、nkkknnknnnnnnnnnnaxxakaxxkaxcaxccxax 便有便有有意義，有意義，為任意實數(shù)時，只要為任意實數(shù)時，只要可以證明，當(dāng)可以證明，當(dāng)有有則對于任意正整數(shù)則對于任意正整數(shù)如果如果對于常數(shù)對于常數(shù)那么那么如果如果第33頁/共54頁34解解例例5.332limnnnn 求求. 1132lim332lim nnnnnn例例6.45132lim22nnnnn 求求解解.5245132lim45132lim222 nnnnnnnnn第34頁/共54頁35解解例例7 7)(lim2nnnn 求求.211111lim lim)(lim2222 nnnnnnnnnnnnn第35頁/共5

22、4頁36準(zhǔn)則的幾何解釋準(zhǔn)則的幾何解釋:x1x2x3x1 nxnxAM從數(shù)軸上看從數(shù)軸上看, , 只可能向一個方向移動只可能向一個方向移動單調(diào)數(shù)列的點單調(diào)數(shù)列的點nx). ( ); (AxAxxxnnnn無限趨近于某一個定點無限趨近于某一個定點或或或或或沿數(shù)軸移向無窮遠或沿數(shù)軸移向無窮遠假設(shè)數(shù)列有界假設(shè)數(shù)列有界, . , 內(nèi)內(nèi)必落在必落在點點MMxn 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. .四、數(shù)列收斂的判別法四、數(shù)列收斂的判別法第36頁/共54頁37 axxNnxaxNaxnaxxNnnNnnn 0 . 時，有時，有單調(diào)增加，所以，當(dāng)單調(diào)增加，所以，當(dāng)因為因為，使得，使得，存在

23、正整數(shù)，存在正整數(shù)另一方面，另一方面，有有由上確界定義，對一切由上確界定義，對一切有上確界，記其為有上確界，記其為由確界公理可知由確界公理可知單調(diào)增加有上界單調(diào)增加有上界不妨設(shè)數(shù)列不妨設(shè)數(shù)列證明證明第37頁/共54頁38.,lim 0 收斂收斂即即由定義，由定義，即即時，有時，有因此，當(dāng)因此，當(dāng)nnnnnxaxaxaxNn 第38頁/共54頁39準(zhǔn)則準(zhǔn)則 ( (數(shù)列收斂的夾擠定理數(shù)列收斂的夾擠定理) ) . lim , ,lim,lim)2();, 3, 2, 1()1( : axxazaynzxyzyxnnnnnnnnnnnnn 且且存在存在那么數(shù)列那么數(shù)列滿足下列條件滿足下列條件及及、如果

24、數(shù)列如果數(shù)列證證 ,azaynn因為因為, 0, 01 N 由數(shù)列極限的定義由數(shù)列極限的定義,1 ayNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng)?shù)?9頁/共54頁40,max21NNN 取取恒有恒有時時當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNnn時恒有時恒有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時成立上兩式同時成立, azxyannn,成立成立即即 axn .limaxnn 所以所以, 02 N,時時當(dāng)當(dāng)Nn 上述數(shù)列極限存在準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)極限上述數(shù)列極限存在準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)極限.第40頁/共54頁41nnnx 11設(shè)設(shè)nnnnnnnnnnnn1!)1()1(1! 2)1(1! 112 .112111!111! 2111

25、 nnnnnn按牛頓二項公式按牛頓二項公式, ,收斂收斂證明數(shù)列證明數(shù)列設(shè)設(shè),11nnnxnx 例例8第41頁/共54頁42.11221111)!1(1111121111!1111! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然; 是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的所以所以nx類似地類似地, ,第42頁/共54頁43!1! 31! 2111nxn 1221212111 n321321121111 nn ; 是有界的是有界的所以所以nx根據(jù)極限存在準(zhǔn)則根據(jù)極限存在準(zhǔn)則I,.lim存在存在nnx . e11lim nnn記為記為)045495828281718. 2e ( 第43頁/共54頁

26、44例例9.12lim2nnnn 求求解解.e 111111lim12lim22212 nnnnnnnn第44頁/共54頁45解解例例10. 0!3lim nnn證明證明. 0!3lim, 0! 3343lim, 0lim,! 3343, 0! 33431234)1(333333!30333333 nzyzynnnnnnnnnnnnnnn所以所以則則記記第45頁/共54頁46解解 nnn22111 nnnn2lim又又, 1 1lim2nnn, 1 由夾擠準(zhǔn)則得由夾擠準(zhǔn)則得. 112111lim222 nnnnn例例11.12111lim222 nnnnn求求nnn 2,12 nnnn111lim 2111limnn 第46頁/