數(shù)列的極限97389PPT課件

1、1一、數(shù)列極限的定義v引例 如何用漸近的方法求圓的面積S？ 用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積S.A1A2A3A1表示圓內(nèi)接正6邊形面積,A2表示圓內(nèi)接正12邊形面積,A3表示圓內(nèi)接正24邊形面積,An表示圓內(nèi)接正62n-1邊形面積, , . 顯然n越大, An越接近于S. 第1頁/共22頁2 例如 當(dāng)n無限增大時, 如果數(shù)列xn的一般項xn無限接近于常數(shù)a, 則常數(shù)a稱為數(shù)列xn的極限, 或稱數(shù)列xn收斂于a, 記為axnnlim. v數(shù)列極限的通俗定義11limnnn021limnn11limnnn, 0,lim2nn1lim2nn021第2頁/共22頁31( 1).nnnxn 通項公式例

2、11 4 32,2 3 4考察數(shù)列 的變化趨勢.,1001給定,100時只要n,10011 nx有,10001給定,1000時只要n,100011 nx有, 0給定,)1(時只要 Nn.1成立有nx,1| 1|nxn:1limnnx注: 當(dāng)n無限增大時, xn無限接近于a. 當(dāng)n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先給定的任意小的正數(shù).第3頁/共22頁4注: 當(dāng)n無限增大時, xn無限接近于a. 當(dāng)n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先給定的任意小的正數(shù).v數(shù)列極限的精確定義 設(shè)xn為一數(shù)列, 如果存在常數(shù)a, 對于任意給定的正數(shù) , 總存在正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時, 不等式|xn

3、a |N 時, 不等式|xna |都成立, 則稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為 如果不存在這樣的常數(shù)a, 就說數(shù)列xn沒有極限, axnnlim或 xna (n). 或說數(shù)列xn是發(fā)散的, 習(xí)慣上也說nnxlim不存在. 0, NN, 當(dāng)nN時, 有|xna|. axnnlim極限定義的簡記形式第5頁/共22頁6aaa()v數(shù)列極限的幾何意義存在 NN, 當(dāng)nN時, 點xn全都落在鄰域(a, a)內(nèi): 任意給定a的 鄰域(a, a),axnnlim 0, NN, 當(dāng)nN時, 有|xna| . 注: N 與 有關(guān), 但不唯一. 確定 N 時, N 越大越合適.第6頁/共

4、22頁7證明 1nx 1( 1)1nnn 1n0, 1,nx要1,n只要1,n即所以當(dāng) nN 時, 1( 1)1nnn 就有1( 1)lim1.nnnn 例21( 1)lim1.nnnn 證明axnnlim 0, NN, 當(dāng)nN時, 有|xna| . 取 ,1N注: 當(dāng) 1 時, 1=0.此時, 可取 N 為任一正整數(shù).第7頁/共22頁8 例3 設(shè)0|q|N 時,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qnaxnnlim 0, NN, 當(dāng)nN時, 有|xna| . 注:當(dāng) 1 時, 1+log|q| 1,取 N=1. 這種情形, 不再一一說明. axxalnlnlog第8頁/共22頁90,

5、所以 例422lim0.nnnn證明22lim0.nnnnaxnnlim 0, NN, 當(dāng)nN時, 有|xna| . 取 21612N 證一 注:直接解不等式|xn0| 得21612n當(dāng) 時, 就有 nN|02|2nnn第9頁/共22頁10 證二 0nx 22nnn0, 0,nx要2,n只要2,n即所以當(dāng) 時, nN2220nnnn就有 例422lim0.nnnn證明222nnn2n22lim0.nnnnaxnnlim 0, NN, 當(dāng)nN時, 有|xna| . 取 ,2N注: N 與 有關(guān), 但不唯一. 確定 N 時, N 越大越合適.第10頁/共22頁11設(shè)1sinnnnxn.觀察nnxl

6、im?取N,可使當(dāng)Nn 時,有001. 0| 1|nx. 1limnnx| 11sin| 1|nnnxn|11sin|nn12n要001. 0| 1|nx,只要001. 012n, 求得1999n 取1999N,可使當(dāng)Nn 時,有001. 0| 1|nx. 例5解axnnlim 0, NN, 當(dāng)nN時, 有|xna| . 第11頁/共22頁12v關(guān)于 N 語言論證法1. 若解不等式 |xna| 可得出 nj (), 取 N j (). 2. 若不等式 |xna| 不易解時, 采取放大技巧: 取 N j (). |xna| f (n). 所取的 f (n)要使得不等式 f (n) nj ().容

7、易解出注: 1. N 與 有關(guān), 但不唯一. 確定 N 時, N 越大越合適.2. 當(dāng)j ()1時, 可取 N 為任一正整數(shù).例6 axnnlim 0, NN, 當(dāng)nN時, 有|xna| . 第12頁/共22頁13證明 1limnnn. . nnan)1 ( 2) 1(211nnannna2) 1(211nann0, ,要 | 1|nn,即na, , ,22nannan2只要n2,即22n, 取22N,當(dāng)Nn 時,有 | 1|nnnan2, 因此 1limnnn. 0()nnrn rrnrabC ab!)!(!rrnnCrn證明例6 ) 1(01nnann記axnnlim 0, NN, 當(dāng)nN

8、時, 有|xna| . 第13頁/共22頁14v定理1(極限的唯一性) 如果數(shù)列xn收斂, 那么它的極限唯一. 證明證明: 假設(shè)同時有axnnlim及bxnnlim, 且 a0, 存在充分大的正整數(shù) N, 使當(dāng)nN時, 同時有 |xna|2ab 及|xnb|N 時, 有 |xna|N時, |xn|(xn a)a| | xna|a|1|a| . 取 Mmax|x1|, |x2|, , |xN |, 1|a|, nN+, 有|xn|M.這就證明了數(shù)列xn是有界的. 證明 設(shè)數(shù)列xn收斂于a. 第16頁/共22頁17 1. 如果數(shù)列xn收斂, 那么數(shù)列xn一定有界. 發(fā)散的數(shù)列是否一定無界? 有界的

9、數(shù)列是否收斂? 2. 數(shù)列1, 1, 1, 1, , (1)n1, 的有界性與收斂性如何？討論 二、收斂數(shù)列的性質(zhì)v定理1(極限的唯一性) 如果數(shù)列xn收斂, 那么它的極限唯一. v定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列xn收斂, 那么數(shù)列xn一定有界. 第17頁/共22頁18二、收斂數(shù)列的性質(zhì)v定理1(極限的唯一性) 如果數(shù)列xn收斂, 那么它的極限唯一. v定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列xn收斂, 那么數(shù)列xn一定有界. v定理3(收斂數(shù)列的保號性) 如果數(shù)列xn收斂于a, 且a0(或a0), 那么存在正整數(shù)N, 當(dāng)nN時, 有xn0(或xn0).推論 如果數(shù)列xn從某項起有xn0(或xn0), 且數(shù)列xn收斂于a, 那么a0(或a0).第18頁/共22頁19注: 在數(shù)列xn中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序, 這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列xn的子數(shù)列. v定理4(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列xn收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂, 且極限也是a. 例如, 數(shù)列xn: 1, 1, 1, 1, , (1)n1 的一個子數(shù)列為x2n: 1, 1, 1, , (1)2n1 . 第19頁/共22頁20 1. 數(shù)列的子數(shù)列如果發(fā)散, 原數(shù)列是否發(fā)散? 2. 數(shù)列的兩個子數(shù)列收斂, 但其極限不同, 原數(shù)列的收斂性如何? 3. 發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎