Euler法與修正的Euler法局部截?cái)嗾`差Range-Kutta公式

1、1Euler法與修正的法與修正的Euler法法局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差Range-Kutta公式公式常微分方程數(shù)值解2一階常微分方程初值問(wèn)題一階常微分方程初值問(wèn)題: 000)(),(yxyxxyxfdxdy數(shù)值方法數(shù)值方法取定離散點(diǎn)取定離散點(diǎn): x0 x1 x2 xN 其中其中, y = y(x) 是未知函數(shù)是未知函數(shù),右端函數(shù)右端函數(shù) f(x, y )是已知函數(shù)是已知函數(shù), 初值初值 y0 是已知數(shù)據(jù)。是已知數(shù)據(jù)。求未知函數(shù)求未知函數(shù) y(x) 在離散點(diǎn)處的近似值在離散點(diǎn)處的近似值y1, y2, y3, , yN),(1nnnnyxfhyy ),(yxfdxdy Euler法與修正的法與修正

2、的Euler法法3求解常微分方程初值問(wèn)題的求解常微分方程初值問(wèn)題的Euler方法方法 取定步長(zhǎng)取定步長(zhǎng): h,記記 xn = x0 + nh, ( n = 1,2, , N )稱(chēng)計(jì)算格式稱(chēng)計(jì)算格式: yn+1 = yn + h f( xn, yn ) 為為Euler公式公式。對(duì)應(yīng)的求初值問(wèn)題數(shù)值解的方法稱(chēng)為對(duì)應(yīng)的求初值問(wèn)題數(shù)值解的方法稱(chēng)為Euler方法方法。例例2 用用Euler法求初值問(wèn)題法求初值問(wèn)題 1)0(20,2yxxyydxdy的數(shù)值解。的數(shù)值解。解解: 記記 f (x, y) = y x y2, xn= nh (n = 0, 1, 2, N ) 由由Euler公式得公式得: yn+

3、1 = yn + h( yn xn yn2 ) (n = 0, 1, ,N)4取步長(zhǎng)取步長(zhǎng) h = 2/10, 2/20, 2/30, 2/40, 用用Euler法求解法求解的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下. N 10 20 30 40 h 0.2 0.1 0.0667 0.05誤差誤差 0.1059 0.0521 0.0342 0.0256xexxy 211)(解析解解析解:-101234500.511.52 o 數(shù)值解數(shù)值解- 準(zhǔn)確解準(zhǔn)確解 Comparison with exact resultsFigure 4. Comparison of Eulers method with e

4、xact solution for different step sizes 56y = f (x, y) 1)(,()()(1nnxxnndxxyxfxyxy),(),(2)(,(111 nnnnxxyxfyxfhdxxyxfnn梯形公式梯形公式: ),(1nnnnyxhfyy 左矩形公式左矩形公式),()(,(1nnxxyxhfdxxyxfnn 用數(shù)值積分方法離散化常微分方程用數(shù)值積分方法離散化常微分方程 11)(,()(nnnnxxxxdxxyxfdxxy),(),(2111 nnnnnnyxfyxfhyy7),(nnnnyxhfyy1),(),(2111 nnnnnnyxfyxfhyy

5、),(),(2111 nnnnnnyxfyxfhyy預(yù)預(yù)- -校方法又稱(chēng)為修正的校方法又稱(chēng)為修正的Euler法法,算法如下算法如下 k1 = f(xn , yn) , k2 = f( xn+1 , yn+ h k1) ,2211kkhyynn 由梯形公式推出的預(yù)由梯形公式推出的預(yù)- -校方法校方法:8-101234500.511.5預(yù)預(yù)- -校方法校方法, h=0.2時(shí)時(shí)誤差最大值誤差最大值: 0.0123-101234500.511.52 n 10 20 30 40 h 0.2 0.1 0.0667 0.05誤差誤差2 0.0123 0.0026 0.0011 5.9612e-004誤差誤差

6、1 0.1059 0.0521 0.0342 0.0256歐拉方法歐拉方法, h=0.2時(shí)時(shí)誤差最大值誤差最大值: 0.10599設(shè)設(shè) yn= y(xn), 稱(chēng)稱(chēng) Rn+1=y(xn+1) - yn+1為為局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差.)(2)()()()()(2111 yxxxyxxxyxynnnnnnn )(2),()()(21 yhyxhfxyxynnnn 即即由泰勒公式由泰勒公式Euler公式公式: yn+1 = yn+ hf (xn, yn) 的局部截?cái)嗾`差的局部截?cái)嗾`差y(xn+1) yn+1=y(xn) yn+ O(h2) = O(h2)Euler公式的局部截?cái)嗾`差記為公式的局部截?cái)?/p>

7、誤差記為: O(h2) 稱(chēng)稱(chēng)Euler公式具有公式具有1階精度。階精度。局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差10 若局部截?cái)嗾`差為若局部截?cái)嗾`差為: O(h p +1)則稱(chēng)顯式單步法具有則稱(chēng)顯式單步法具有 p 階精度階精度 。 例例 3 證明修正的證明修正的Euler法具有法具有2階精度階精度),(),(2111 nnnnnnyxfyxfhyy),(1nnnnyxhfyy 將預(yù)測(cè)公式將預(yù)測(cè)公式代入代入得得 yn+1 = yn + 0.5hf(xn,yn)+f(xn+1, yn+hf(xn, yn)11yn+1 = yn + 0.5hf(xn,yn)+f(xn+1, yn+hf(xn, yn) f(xn+1

8、, yn+hf(xn, yn)= f(xn+h, yn+hf(xn, yn) = f (xn, yn)+hfxn + hf(xn,yn) fyn + O(h2),()(nnnyxfxy ),()(nnnyxfdxdxy 0.5hf(xn,yn)+f(xn+1, yn+hf(xn, yn) =hy(xn)+0.5h2y”(xn)+0.5h2y(xn) fyn+ O(h3)yn+1 = yn + hy(xn)+0.5h2y”(xn)+ O(h3)y = f (x, y)局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差: y(xn+1) yn+1 = y(xn) yn =O(h3)故修正的故修正的Euler法法具有具有2階

9、精度。階精度。 000)(),(yxyxxyxfdxdy12三階三階Range-Kutta公式一般形式公式一般形式y(tǒng)n+1= yn+ hk1+4k2+k3/6k1=f(xn,yn), k2=f(xn+0.5h, yn+0.5hk1)k3=f(xn+h, yn hk1+2hk2)四階四階Range-Kutta公式一般形式公式一般形式y(tǒng)n+1= yn+ hk1+2k2+2k3+k4/6k1=f(xn,yn), k2=f(xn+0.5h, yn+0.5hk1)k3=f(xn+0.5h, yn+0.5hk2), k4=f(xn+h, yn+hk3)Range-Kutta公式公式13 1)0(20,2y

10、xxyydxdyxexxy 211)(例例4數(shù)值實(shí)驗(yàn)數(shù)值實(shí)驗(yàn):幾種不同求數(shù)值解公式的誤差比較幾種不同求數(shù)值解公式的誤差比較 n 10 20 30 40 h 0.2 0.1 0.0667 0.05RK4 6.862e-005 3.747e-006 7.071e-007 2.186e-007RK3 0.0012 1.529e-004 4.517e-005 1.906e-005RK2 0.0123 0.0026 0.0011 5.9612e-004Euler 0.1059 0.0521 0.0342 0.025614差分格式的定性分析差分格式的定性分析 差分算法的差分性質(zhì)精度精度：差分方程對(duì)源方程的

11、逼近誤差：差分方程對(duì)源方程的逼近誤差相容性相容性：時(shí)空步長(zhǎng)趨于：時(shí)空步長(zhǎng)趨于0時(shí)，差分方程的極限為源方程時(shí)，差分方程的極限為源方程相容性、穩(wěn)定性、收斂性、耗散性、色散性、相容性、穩(wěn)定性、收斂性、耗散性、色散性、和守恒性和守恒性等等15穩(wěn)定性穩(wěn)定性：任何初值擾動(dòng)對(duì)差分?jǐn)?shù)值解的影響隨時(shí)間推移 不再增加（強(qiáng)穩(wěn)定）或在一段時(shí)間內(nèi)有界（弱穩(wěn)定）收斂性收斂性：當(dāng)步長(zhǎng)趨于0，差分?jǐn)?shù)值解收斂于源問(wèn)題的真解 Lax等價(jià)定理等價(jià)定理：對(duì)一個(gè)適定的初值問(wèn)題，在滿(mǎn)足相容條件的前提下，穩(wěn)定性是收斂性的充要條件。耗散性耗散性(diffusion):差分余項(xiàng)對(duì)解產(chǎn)生的耗散效應(yīng)色散性色散性(dispersive)：差分余項(xiàng)對(duì)

12、解產(chǎn)生的色散效應(yīng)守恒性守恒性：數(shù)值解保持真解所固有的守恒性的程度16收斂性收斂性 數(shù)值解法的基本思想是，通過(guò)某種離散化手段將數(shù)值解法的基本思想是，通過(guò)某種離散化手段將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程，如單步法，即微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程，如單步法，即 ),(1hyxhyynnnn它在它在 處的解為處的解為 ，而初值問(wèn)題在，而初值問(wèn)題在 的精確解為的精確解為,記記 稱(chēng)為整體截?cái)喾Q(chēng)為整體截?cái)?誤差誤差. . nxnynx)(nxynnnyxye)( 收斂性就是討論當(dāng)收斂性就是討論當(dāng) 固定且固定且 時(shí)時(shí) 的問(wèn)題的問(wèn)題. . nxx 00nxxhn0ne17 定義定義 若一種數(shù)值方法對(duì)于固定的若一種數(shù)值方法對(duì)于固

13、定的 , ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)有時(shí)有 ，其中，其中 是原問(wèn)題的確解，是原問(wèn)題的確解，則稱(chēng)該方法是則稱(chēng)該方法是收斂收斂的的. . nhxxn00h)(nnxyy)(xy 定理定理 假設(shè)單步法具有假設(shè)單步法具有p階精度，且增量函數(shù)階精度，且增量函數(shù) 關(guān)于關(guān)于y 滿(mǎn)足利普希茨條件滿(mǎn)足利普希茨條件 ),(hyx,),(),(yyLhyxhyx又設(shè)初值又設(shè)初值 是準(zhǔn)確的，即是準(zhǔn)確的，即 ，則其，則其整體截?cái)嗾`差整體截?cái)嗾`差 0y)(00 xyy).()(pnnhOyxy18絕對(duì)穩(wěn)定性與絕對(duì)穩(wěn)定域絕對(duì)穩(wěn)定性與絕對(duì)穩(wěn)定域 定義定義 若一種數(shù)值方法在節(jié)點(diǎn)值若一種數(shù)值方法在節(jié)點(diǎn)值 上大小為上大小為 的擾動(dòng)，的擾動(dòng)，于以后

14、各節(jié)點(diǎn)值于以后各節(jié)點(diǎn)值 上產(chǎn)生的偏差均不超過(guò)上產(chǎn)生的偏差均不超過(guò) ，則稱(chēng)，則稱(chēng)該方法是該方法是穩(wěn)定穩(wěn)定的的. . ny)(nmym 以歐拉法為例考察計(jì)算穩(wěn)定性以歐拉法為例考察計(jì)算穩(wěn)定性. . 例例 考察初值問(wèn)題考察初值問(wèn)題 .1)0(,100yyy其準(zhǔn)確解其準(zhǔn)確解 是一個(gè)按指數(shù)曲線衰減得很快的函數(shù)，是一個(gè)按指數(shù)曲線衰減得很快的函數(shù)，如圖如圖9-39-3所示所示. . xexy100)( 用歐拉法解方程用歐拉法解方程 得得 yy10019.)1001(1nnyhy若取若取 ，則歐拉公式的，則歐拉公式的具體形式為具體形式為 025.0h,5.11nnyy 可以看到，歐拉方法的解可以看到，歐拉方法的

15、解 （圖中用（圖中用號(hào)標(biāo)出）在準(zhǔn)確值號(hào)標(biāo)出）在準(zhǔn)確值 的上下波動(dòng)，計(jì)算過(guò)程明的上下波動(dòng)，計(jì)算過(guò)程明顯地不穩(wěn)定顯地不穩(wěn)定. . ny)(nxy 但若取但若取 則計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定則計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定. . nnyyh5.0,005.0120再考察后退的歐拉方法，取再考察后退的歐拉方法，取 時(shí)計(jì)算公式為時(shí)計(jì)算公式為 025.0h.5.311nnyy計(jì)算結(jié)果如下，這時(shí)計(jì)算過(guò)程是穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果如下，這時(shí)計(jì)算過(guò)程是穩(wěn)定的. . 0067.00625.5100.00233.0375.3075.00816.025.2050.02857.05.1025.0 后退歐拉方法歐拉方法節(jié)點(diǎn)計(jì)算結(jié)果對(duì)比21其中其中 為為 的近似，

16、的近似， 為常數(shù)為常數(shù), , 及及 不全為零，則稱(chēng)為不全為零，則稱(chēng)為線性線性 步法步法. . iny)(inxy,),(0ihxxyxffininininii,00k 線性多步法的一般公式線性多步法的一般公式 如果計(jì)算如果計(jì)算 時(shí)，除用時(shí)，除用 的值，還用到的值，還用到 的值，則稱(chēng)此方法為的值，則稱(chēng)此方法為線性多步法線性多步法. . kny1 knyiyin()2, 1 ,0k 一般的線性多步法公式可表示為一般的線性多步法公式可表示為 ,010kiinikiiniknfhyy 計(jì)算時(shí)需先給出前面計(jì)算時(shí)需先給出前面 個(gè)近似值個(gè)近似值 , , 再由再由逐次求出逐次求出 . . k110,kyyy,1kkyy22 阿當(dāng)姆斯顯式與隱式公式阿當(dāng)姆斯顯式與隱式公式 考慮形如考慮形如 kiiniknknfhyy01的的 步法，稱(chēng)為步法，稱(chēng)為阿當(dāng)姆斯阿當(dāng)姆斯（Adams)Adams)方法方法. . k 為顯式方法，為顯式方法， 為隱式方法，通常稱(chēng)為阿為隱式方法，通常稱(chēng)為阿當(dāng)姆斯顯式與隱式公式，也稱(chēng)當(dāng)姆斯顯式與隱式公式，也稱(chēng)Adams-BashforthAdams-Bashforth公式與公式與AdamsAdams-Monlton-Monlton公式公式.