高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識完全手冊(一)(集合與簡易邏輯)

1、高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識完全手冊 (一)(集合與簡易邏輯)一、內(nèi)容提要1.本章主要內(nèi)容是集合的初步知識與簡易邏輯知識，是掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)函數(shù)及其它后續(xù)內(nèi)容時，將得到充分的運用. 2. 集合的初步知識包括集合的有關(guān)概念、簡章集合的表示及集合同集合之間的關(guān)系. （1）集合的基本概念 集合的元素某些指定的對象集在一起就成為一個集合，集合中的每個對象叫做這個集合的元素.如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a A. 不含任何元素的集合叫做空集，記作 按集合所含元素的個數(shù)分類，集合可分為 .集合的元素具有 性、 性、 性.集合常用的表示方法： 、 、 .常見數(shù)集：R表示 ；N表示 ；Q表示

2、 ；Z表示 .（2）集合與集合的關(guān)系對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，就說集合B包含集合A，記作 ，這時也說是集合A是集合B的子集 對于兩個集合A與B，如果A B，且B A，那么A B 補集：如果AS，那么A在S中的補集CsA= . 全集：如果一個集合含有要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，全集通常用U表示交集：AB = .并集：AB = . （3）不等式的解法含絕對值的不等式的解集是 . 的解集是 . 一元二次不等式一元二次不等式的解集如下表判別式=b2-4ac > O = O < 0二次函數(shù)()的圖象XYOXYOXYO判別式=b2

3、-4ac > O = O < 0一元二次方程 ()的根有兩相異實根有兩相等實根 沒有實根()的解集 ()的解集 3.簡易邏輯主要介紹邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”，四種命題及充要條件 (1)邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞 簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題 復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題 (2)一個命題與它的 命題是等價的 (3)如果已知，那么我們說，是的 條件，是的 條件 如果已知 ，那么我們說，是的充要條件 二、學(xué)習(xí)過程中需要注意的問題(1)集合與集合的元素是兩個不定義的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似但是，應(yīng)

4、該清楚，集合中的元素具有確定性、互異性確定性是指給定一個集合，一個對象屬于不屬于這個集合就是明確的，像美麗的花，比較小的數(shù)等，都不能組成一個集合互異性是指在一個集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象只能算作這個集合的一個元素此外，集合中的元素還具有無序性，例如：1，2，3=3，2，1 (2)容易混淆的符號與的區(qū)別：符號是表示元素與集合之間關(guān)系的，例如，有1N，-1 N等；符號是表示集合與集合之間關(guān)系的，例如，有NR,ZR等a與a的區(qū)別：一般地，a表示一個元素，而a表示只有一個元素的集合，例如，有l(wèi)1，2，3，00，11，2，3等，不能寫成0 =0，11，2，3，ll，2，3(3)認(rèn)真讀

5、懂本章復(fù)習(xí)小結(jié)中的參考例題.高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識完全手冊(二)(函數(shù))一、內(nèi)容提要這一章主要內(nèi)容是函數(shù)、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù).1以為自變量的函數(shù)是集合A到集合B的一種對應(yīng)，其中A和B都是非空的數(shù)集，對于A中的每一個，B中都有唯一確定的y和它對應(yīng).自變量取值的集合A就是函數(shù)的定義域，和對應(yīng)的y的值就是函數(shù)值，函數(shù)值的集合C就是函數(shù)的值域(C B). 給定兩個集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)就是集合A到集合B的 ，表示為：AB函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的 2.設(shè)函數(shù)(A)的值域為C，根據(jù)函數(shù)中、y的關(guān)系，用y表示出，得到，如果

6、對于在C中的任何一個值y，通過，在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么表示y是自變量，是自變量y的函數(shù)，記作.把字母，y對調(diào)以后得到函數(shù)，就是函數(shù)的反函數(shù) 若有反函數(shù)，則是 的反函數(shù) 反函數(shù)的定義域、值域分別是函數(shù)的 、 . 函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象 對稱 3.在定義域I內(nèi)某個區(qū)間，如果對于自變量的任意兩個值，都有，那么函數(shù)在這個區(qū)間是 ；如果對于任意的兩個值且，都有 ，那么函數(shù)在這個區(qū)間是減函數(shù)；如果函數(shù)在這個區(qū)間是增函數(shù)(或減函數(shù))，就說函數(shù)在這個區(qū)間具有(嚴(yán)格的) 4如果 ，那么叫做的次方根.在此基礎(chǔ)上，我們規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義： 若 則： ； . 如果,那么叫做以為底的對數(shù),記作 . 指

7、數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系是 ,兩個式子表示的三個數(shù)之間的關(guān)系是一樣的，并且可以互化指數(shù)運算性質(zhì)和對數(shù)運算性質(zhì)指數(shù)運算性質(zhì)對數(shù)運算性質(zhì) . . . . . . . . 5指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) 圖象XYOYXO性質(zhì)(1)定義域： .(2)值 域： .(3)過定點： . 即當(dāng) 時,.(4)當(dāng)a>l時， 在R上是 ；當(dāng)O<a<l時，在R上是 (4)小問題填增函數(shù)或減函數(shù))(1)定義域： .(2)值 域： .(3)過定點： .即當(dāng)1時，0(4)當(dāng)a>1時， 在(0，+)上是 ； 當(dāng)O<a<l時，在(O，+)上是 (4)小問題填增函數(shù)或減函數(shù)) 二、學(xué)習(xí)過程中需

8、要注意的問題 (1)在構(gòu)成函數(shù)的“定義域”、“值域”以及“定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系”這三者中，最重要的是對應(yīng)關(guān)系；函數(shù)符號中，即表示對應(yīng)關(guān)系這個符號不表示“y等于與的乘積”，也不一定是解析式 (2)映射的定義涉及兩個集合A，B，它們可以是數(shù)集，也可以是點集或其它的集合；這兩個集合有先后次序，從A到B的影射與從B到A的映射是不同的；在映射之下，集合A中的任何一個元素在B中都有象，并且象是唯一的，否則，不能構(gòu)成映射例如，設(shè)A=0，1，2，B=0，1，1/2，對應(yīng)關(guān)系“”是“取倒數(shù)”，這時由于集合A中的元素0，在集合B中無象，所以集合A、B與對應(yīng)關(guān)系不能構(gòu)成映射 (3)函數(shù)的單調(diào)性反映函數(shù)值變化趨勢有

9、些函數(shù)它在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù)，例如函數(shù)，當(dāng) 時,它在定義域內(nèi)是增函數(shù)；當(dāng) 時,它在定義域內(nèi)是減函數(shù).有些函數(shù)在定義域內(nèi)某個區(qū)間上是減函數(shù)，而在另一些區(qū)間上是增函數(shù)例如函數(shù)在O，+)上是，在(一，0上是 (4)對于任意一個函數(shù)來說，不一定有反函數(shù)如果函數(shù)有反函數(shù)，那么原來函數(shù)也是其反函數(shù)的反函數(shù)，即它們互為反函數(shù) 一般地，求函數(shù)的反函數(shù)時，要分兩個步驟進行第一步根據(jù)關(guān)系，用表示出，即把函數(shù)的解析式看作方程解出，得到關(guān)系式；第二步將，互換，得到.函數(shù)與它的反函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于直線對稱 (5)指數(shù)冪當(dāng)指數(shù)擴大到有理數(shù)時,要注意底數(shù)口的變化范圍.如當(dāng)0時,底數(shù)；當(dāng)為負(fù)整數(shù)指數(shù)時

10、，底數(shù)0；當(dāng)為分?jǐn)?shù)時，底數(shù)>0 在掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)時，要對底數(shù)分兩種情況討論，即分為 與 兩種情況 (6)在對數(shù)式中要注意底數(shù)>0，且1，真數(shù)N >O等條件，這些條件在解題或變形中常常用到 對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，所以它們的定義域和值域正好互換，它們的對應(yīng)關(guān)系是互逆的掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時，與掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一樣，要結(jié)合它們的圖象理解和記憶(7)認(rèn)真讀懂本章復(fù)習(xí)小結(jié)中的參考例題.高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識完全手冊(三)(數(shù)列)一、內(nèi)容提要 1本章的主要內(nèi)容是數(shù)列的概念，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和的公式 2按照一定的次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列實際上，從函數(shù)觀點看，對

11、于一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集1，2，)的函數(shù)來說，數(shù)列就是這個函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值 3等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種簡單、常用的數(shù)列等差數(shù)列的特點是從第二項起任一項與其前一項的差相等，等比數(shù)列的特點是從 項起任一項與其 項的 相等 4 與 是給出一個數(shù)列的兩種重要方法5等差數(shù)列的通項公式是 .推倒思想是 .等差數(shù)列的通項公式的一般式是 .(即廣義的通項公式)6.等比數(shù)列的通項公式是 .推倒思想是 .等比數(shù)列的通項公式的一般式是 .(即廣義的通項公式)7. 等差數(shù)列中,若,則滿足的關(guān)系式是: . 等比數(shù)列中,若,則滿足的關(guān)系式是: .8等差數(shù)列的前項和公式是 .

12、或 . 求和思想方法是 . 等比數(shù)列的前項和公式是= 或= . 求和思想方法是 . 9數(shù)列中,第項與前項的和之間的關(guān)系式是= . 10常用的求和方法有:倒序相加求和、錯位相減求和、分組求和、裂項求和. 寫出下列數(shù)列對應(yīng)的求和方法：（填序號） （I）等差數(shù)列 .（II）等比數(shù)列 .(III) 數(shù)列 .（其中是等差數(shù)列，等比數(shù)列，）.（IV）數(shù)列 .（其中是等差數(shù)列）二、學(xué)習(xí)過程中需要注意的問題 (1)注意數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，通過相應(yīng)的函數(shù)及其圖象的特征變動地、直觀地去認(rèn)識數(shù)列的性質(zhì)(2)等差數(shù)列與等比數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，應(yīng)將它們對比起來學(xué)習(xí)，以進一步認(rèn)識它們之間的區(qū)別與聯(lián)系. (3)等比數(shù)列

13、的前項和公式是一個分段函數(shù),公比為字母時要討論公比等于1和不等于1兩種情況.高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識完全手冊(四)(三角函數(shù))一、內(nèi)容提要 1本章的主要內(nèi)容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求角等內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下圖所示： 弧長與扇形面積公式角度制與弧度制面積公式任意角的概念面積公式任意角的三角函數(shù)面積公式三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)面積公式已知三角函數(shù)值求角面積公式同角三角函數(shù)的關(guān)系式面積公式誘導(dǎo)公式計算、化簡證明恒等式扇形面積公式和角公式差角公式倍角公式 2根據(jù)生產(chǎn)實際和進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

14、需要，我們引入了任意角的概念，并學(xué)習(xí)了角的另一種單位制弧度制在角的概念推廣后，無論采用角度制還是弧度制，都能在角的集合與實數(shù)集R之間建立起一種一 一對應(yīng)的關(guān)系采用弧度制時，弧長公式十分簡單，成為: 這樣的形式(其中為弧長，r為半徑，為圓弧所對圓心角的弧度數(shù))，這就使一些與弧長有關(guān)的公式(如扇形面積公式等)也得到了簡化 度. 3在角的概念推廣后，我們定義了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割這六種三角函數(shù)它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一 一對應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成以實數(shù)為自變量的函數(shù) 在六種三角函數(shù)中，正弦、余弦、正切函數(shù)尤為重要，我們還學(xué)了同

15、一個角的正弦、余弦、正切、余切四種函數(shù)的三個基本關(guān)系式： ； ； .它們是進行三角恒等變換的重要基礎(chǔ)，在求值、化簡三角函數(shù)式和證明三角恒等式等問題中要經(jīng)常用到，必須熟記，并能正確運用有了正弦、余弦的各組誘導(dǎo)公式，就可以把任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)在各組誘導(dǎo)公式中，公式二（）: ； .和公式三(-） ； 以及初中學(xué)過的一組誘導(dǎo)公式(-): , 是基本的，由它們可以推出其他各組公式各組誘導(dǎo)公式如下： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；誘導(dǎo)公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限. 其中奇是指 .偶是指 . 變是指 .看符號時

16、要將視為銳角. 4和角公式、差角公式、倍角公式主要用于三角函數(shù)式的計算、化簡與推導(dǎo)，它們在數(shù)學(xué)和許多其他學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用，要熟練掌握主要公式如下 和(差)角公式： . . . 倍角公式： . . = = .它們的內(nèi)在聯(lián)系及其推導(dǎo)線索如下： 可以認(rèn)為，和角公式、是這些公式的基礎(chǔ) 5利用正弦線，可以比較精確地畫出正弦函數(shù)的圖象；利用正弦函數(shù)的圖象和誘導(dǎo)公式，可以畫出余弦函數(shù)的圖象可以看出，在長度為一個周期的閉區(qū)間上，有五個點(即函數(shù)值最大和最小的點以及函數(shù)值為O的點)在確定正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的形狀時起著關(guān)鍵的作用因此，在精確度要求不太高時，可找出這五個點: , .來畫出正弦、余弦函數(shù)以及與

17、它們類似的一些函數(shù)(特別是函數(shù))的簡圖正弦、余弦、正切函數(shù)的主要性質(zhì)可以列表歸納如下：函 數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)圖象XYOXYOXYo··定義域 值 域 最 值 周期性 奇偶性 單調(diào)性在 ( )上都是增函數(shù)在 ( )上都是減函數(shù)在 ( )上都是增函數(shù)在 ( )上都是減函數(shù)在 上都是 .6函數(shù)的簡圖還可以通過下列兩種途徑由的圖象變化而得到：(1)將圖象上的點沿軸向 或向 平移 個單位，得到函數(shù) 的圖象，再將橫坐標(biāo)伸長（或縮短）到原來的 倍，到函數(shù) 的圖象，最后將縱坐標(biāo)伸長（或縮短）到原來的 倍，得到的簡圖.(2)將圖象上點的橫坐標(biāo)伸長（或縮短）到原來的 倍，到函數(shù) 的圖象

18、，再沿軸向 或向 平移 個單位，得到函數(shù) 的圖象，最后將縱坐標(biāo)伸長（或縮短）到原來的 倍，得到的簡圖.二、學(xué)習(xí)過程中需要注意的問題 (1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)都是周期函數(shù)，其中正弦、余弦函數(shù)的周期是2，正切、余切函數(shù)的周期是.我們畫正弦、正切函數(shù)的圖象時，就利用了它們的周期性在幾何畫圖中，運用了將圖形平行移動的方法，例如由誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的圖象，可以通過平行移動的方法，得出余弦函數(shù)的簡圖 在本章中，還根據(jù)畫圖的需要，將已知圖形上點的橫、縱坐標(biāo)進行伸長或縮短，例如，由正弦函數(shù)的圖象，可以通過平行移動，將圖象上點的橫、縱坐標(biāo)進行伸長或縮短等方法，得出函數(shù)的簡圖 (2)在本章中，我們大量運

19、用了化歸思想，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想我們用過的化歸包括以下幾個方面： 一一把未知化歸為已知例如用誘導(dǎo)公式把求任意角的三角函數(shù)值逐步化歸為求銳角三角函數(shù)值 把特殊化歸為一般例如把正弦函數(shù)的圖象逐步化歸為函數(shù)簡圖，把已知三角函數(shù)值求角化歸為求0，2上適合條件的角的集合等等價化歸例如進行三角函數(shù)式的化簡、恒等變形和證明三角恒等式高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識完全手冊(五)(平面向量)一、內(nèi)容提要 1.本章主要內(nèi)容有向量的概念、運算及其坐標(biāo)表示，線段的定比分點，平移，正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的應(yīng)用 2向量運算 (1)加法運算 加法法則 如圖： 三角形法則 平行四邊形法則運算性質(zhì)： = . ( )+ =

20、. + 0 = 0 + = .坐標(biāo)運算：設(shè) =()， =(,),則 = .(2)減法運算減法法則(如圖)：坐標(biāo)運算：設(shè)， =()， =(,)，則 = . 設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則AB = .(3)實數(shù)與向量的積定義：，其中>0時，與 ， |= .當(dāng)中<0時，與 ， |= . 0= 0 運算律 ()= ,( +)= , ( )= . 坐標(biāo)運算： 設(shè) =(),則: =()= . (4)平面向量的數(shù)量積 定義：·=|cos且(O，0，0)O·= . cos<, >= .運算律： ·= .()·= = .( )·

21、;= . 坐標(biāo)運算： 設(shè)， =()，=(,)，則·= . 3重要定理、公式 (1)平面向量基本定理 如果和是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)、，使= . (2)兩個向量平行的充要條件： 當(dāng)0時， 設(shè) =()，=(,)，則 (3)兩個非零向量垂直的充要條件： 設(shè) =()，=(,)，則 (4)線段的定比分點坐標(biāo)公式 設(shè)，且，則 .中點坐標(biāo)公式 . (5)平移公式 如果點，按向量，平移至，則 . (6)正弦定理、余弦定理 正弦定理 =2R.余弦定理 . . . 二、學(xué)習(xí)過程中需要注意的問題 (1)這一章里，我們學(xué)習(xí)的向量具有大小和方向兩個要素用有向線段

22、表示向量時，與有向線段起點的位置沒有關(guān)系，同向且等長的有向線段都表示同一向量 (2)共線向量和平面向量的兩條基本定理，揭示了共線向量和平面向量的基本結(jié)構(gòu)，它們是進一步研究向量的基礎(chǔ) (3)向量的數(shù)量積是一個 當(dāng)兩個向量的夾角是銳角時，它們的數(shù)量積 O；當(dāng)兩個向量的夾角是鈍角時，它們的數(shù)量積 0；當(dāng)兩個向量的夾角是90度時，它們的數(shù)量積等于 零向量與任何向量的數(shù)量積等于 (4)通過向量的數(shù)量積，可以計算向量的長度、平面內(nèi)兩點間的距離、兩個向量的夾角、判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直(5)數(shù)量積不滿足結(jié)合律，這是因為·與·的結(jié)果都是數(shù)量，所以(·)·與·

23、(·)都沒有意義，當(dāng)然就不可能相等.請同學(xué)們務(wù)必要重視基礎(chǔ)知識和基本思想方法的復(fù)習(xí)鞏固與整理！將各章知識條理化、系統(tǒng)化，建構(gòu)自己的知識網(wǎng)絡(luò)！高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識完全手冊(六)(不等式) 一、內(nèi)容提要 1本章的主要內(nèi)容是不等式的性質(zhì)和不等式的證明. 2不等式的主要性質(zhì)有： (1)a>b . (2)a>b，b>c (3)a>ba+c b+c (4)a>b，c>O ；a>b，c<O . a>b>0，c>d>O . (5)a>b>O (nN，且n>1) (6)|a|b| |a+b| |a|+|b|.這些性質(zhì)

24、是推導(dǎo)不等式其他性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是證明不等式的依據(jù). 3證明不等式的主要依據(jù)有： (1)a一b>O . a一b<0 (2)不等式的性質(zhì) (3)幾個重要的不等式： a2O(aR) a2+b2 . (a，bR) 兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù) 它的幾何平均數(shù)符號語言表術(shù)為 .其中等號成立的條件是 . (4)證明不等式的方法有多種，本章只要求掌握用比較法、分析法和綜合法證明簡單的不等式4本章還介紹了一些簡單的不等式的解法(1)二次不等式、高次不等式常用的求解方法是 .(2)分式不等式、指對不等式求解方法都是根據(jù) 原理,將其化為一次和二次不等式(或不等式組)來求解.(3)含絕對值的不等式的求解方法是

25、或 . 二、學(xué)習(xí)要求和需要注意的問題 2學(xué)習(xí)過程中需要注意的問題 (1)學(xué)習(xí)本章內(nèi)容時，應(yīng)注意聯(lián)系以前學(xué)過的一元一次不等式、一元二次不等式、方程、函數(shù)等內(nèi)容，以便對不等式知識有較完整的認(rèn)識 (2)本章對于證明不等式講了三種方法，即比較法、綜合法和分析法 在證明不等式的各種方法中，比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)或負(fù)數(shù)來證明不等式，其應(yīng)用非常廣泛，一定要熟練掌握 分析法是執(zhí)果索因，即從結(jié)論開始，一步步尋求上一步成立的充分條件，直至得出一個真命題為止 綜合法是由因?qū)Ч?，即從已知條件或已知的真命題出發(fā)一步步推出結(jié)論成立 我們常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫

26、出證明過程這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法 (3)對于公式a2+b22ab和，應(yīng)注意以下兩點 一是它們成立的條件不同前者只要求a，b都是實數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù) 二是它們都帶有等號，因此，對兩個定理中“當(dāng)且僅當(dāng) 時取=號”這句話的含義要搞清楚 當(dāng)a=b時，a2+b22ab取等號，其含義是:a=b=> a2+b2=2ab； 僅當(dāng)a=b時，a2+b22ab取等號，其含義是: a2+b2=2ab =>a=b 綜合起來，其含義就是: a=b <=> a2+b2=2ab，即a=b是a2+b2=2ab的充要條件請同學(xué)們務(wù)必要重視基礎(chǔ)知識和基本思想方法的復(fù)習(xí)鞏固與整理！將各章

27、知識條理化、系統(tǒng)化，建構(gòu)自己的知識網(wǎng)絡(luò)！高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識完全手冊(七)( 直線和圓的方程)一、內(nèi)容提要 本章主要內(nèi)容包括直線和圓的方程、曲線與方程的概念、用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及簡單的線性規(guī)劃問題1直線的斜率是平面直角坐標(biāo)系中表示直線位置的重要特征數(shù)值，在 、 、 和確定 等問題中起著關(guān)鍵作用斜率的定義式是 . 斜率的坐標(biāo)計算公式是 .若兩直線的斜率存在，則/的充要條件是 .的充要條件是 .直線的斜率存在為、,則的夾角的正切為 .2本章介紹了直線方程的 、 、 、 四種特殊形式；也研究了直線方程的一般式，這就是二元一次方程在平面直角坐標(biāo)系中，每一個二元一次方程都表示一條直線；反過來，表

28、示一條直線的方程都可以寫成二元一次方程在直線方程的五種形式中， 和 是結(jié)論中常用的兩種形式.直線方程的五種形式用數(shù)學(xué)符號語言表述為： 、 、 、 、 .若直線與直線Ax+By+C=0平行，則直線的方程可表示為 .若直線與直線Ax+By+C=0垂直，則直線的方程可表示為 .點P(x0,y0)到Ax+By+C=0的距離d= . 3在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式Ax+By+C>0表示在直線Ax+By+C=0的某一側(cè)的平面區(qū)域常用的判斷方法是將 的坐標(biāo)代入不等式Ax+By+C>0，若Ax+By+C>0成立則表示該點所在一側(cè)的平面區(qū)域；若Ax+By+C>0不成立，則表示該點所

29、在區(qū)域另一側(cè)的平面區(qū)域.簡單的線性規(guī)劃討論在二元一次不等式等線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值的問題一些實際問題可以借助這種方法加以解決求解簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟是： ， ， ，并下結(jié)論4曲線和方程的關(guān)系，反映了現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系之間的某種聯(lián)系我們把曲線看作適合某種條件P的點M的集合: P=M|P(M)在建立坐標(biāo)系后，點集P中任一個元素M都有一個有序?qū)崝?shù)對(x，y)和它對應(yīng)，(x，y)是某個二元方程f(z，y)=0的解，也就是說，它是解集: Q=(x，y)|f(x，y)=0) 中的一個元素反過來，對于解集Q中任一元素(x，y)，都有一點M與它對應(yīng)，且點M

30、是點集P中的一個元素P和Q的這種對應(yīng)關(guān)系就是曲線和方程的關(guān)系 5本章介紹了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程和參數(shù)方程圓心為(a，b)、半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: . 參數(shù)方程為: ( ) .圓的一般方程為： (其中 )圓的一般方程是關(guān)于x、y的二元二次方程，但并非所有的二元二次方程都表示圓，一般的二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+f=0表示圓的出充要條件是： . . .圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地指出了圓心和半徑；圓的一般方程突出了方程形式上的特點，它沒有xy項，并且x2、y2項的系數(shù)相等；圓的參數(shù)方程則直接指出了圓上點的橫、縱坐標(biāo)x、y的特點6.直線與圓的位置關(guān)系分有 、 、 三種.判斷直線與圓的

31、位置關(guān)系的常用方法有兩種：一種是通過 來判斷.另一種是通過 來判斷7. 圓與圓的位置關(guān)系有 、 、 、 、 五種.常用 來判斷圓與圓的位置關(guān)系.8. 直線的方向向量是 .9. 解析幾何的基本思想方法是 、 . 二、學(xué)習(xí)過程中需要注意的問題 (1)在本章學(xué)習(xí)中，除要掌握直線和圓的方程的基礎(chǔ)知識外，還要對所介紹的獨特的數(shù)學(xué)方法坐標(biāo)法引起重視我們是在平面直角坐標(biāo)系中研究直線和圓的有關(guān)問題的例如，在研究了直線方程的各種形式之后，還研究了兩條直線平行與垂直的條件、兩條直線的夾角、交點以及點到直線的距離等有關(guān)直線的基本問題要注意學(xué)習(xí)如何借助于坐標(biāo)系，用代數(shù)方法來研究幾何問題，體會這種方法所體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思

32、想 (2)直線和圓是基本的幾何圖形，在初中幾何里已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些有關(guān)知識，要注意在本章學(xué)習(xí)中綜合已有知識；此外，還要注意綜合運用三角函數(shù)、平面向量等與本章內(nèi)容關(guān)系比較密切的知識在處理有關(guān)直線的許多問題中，向量是一種重要而有效的工具 (3)曲線方程是解析幾何的重要概念，我們學(xué)習(xí)的曲線方程有兩類一類是普通方程，它直接給出了曲線上點的縱、橫坐標(biāo)之間的關(guān)系；另一類是參數(shù)方程，它通過參數(shù)建立曲線上點的縱、橫坐標(biāo)之間的關(guān)系要根據(jù)實際問題確定選擇哪一種形式的曲線方程有利于問題的解決在求曲線方程時，若不容易直接求得普通方程，可考慮選擇合適的參數(shù)，先求出曲線的一種參數(shù)方程，然后消去參數(shù)求得普通方程. 請同學(xué)們務(wù)必

33、要重視基礎(chǔ)知識和基本思想方法的復(fù)習(xí)鞏固與整理！將各章知識條理化、系統(tǒng)化，建構(gòu)自己的知識網(wǎng)絡(luò)！高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識完全手冊(八)( 圓錐曲線)一、內(nèi)容提要 這一章的主要內(nèi)容包括橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，以及它們在實際中的一些應(yīng)用 1橢圓、雙曲線、拋物線分別是滿足某些條件的點的軌跡，由這些條件可以求出它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，并通過分析標(biāo)準(zhǔn)方程研究這三種曲線的幾何性質(zhì)三種曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(各取其中一種)和圖形、性質(zhì)如下表： 橢 圓 雙 曲 線 拋 物 線幾何條件與兩個定點的距離的和等于常數(shù)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)與一個定點和一條定直線的距離相等標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點在x軸上) 圖 形

34、XYOXYOXYO標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點在y軸上)Y XYOXYO圖 形OX頂點坐標(biāo)焦點在x軸時 焦點在y軸時對 稱 軸 軸，長軸長 ； 軸，短軸長 . 軸，實軸長 ； 軸，虛軸長 .焦點在x軸時, 軸.焦點在y軸時, 軸.焦點坐標(biāo)焦點在x軸時焦點在y軸時離心率 .準(zhǔn)線方程焦點在x軸時焦點在y軸時 漸近線方程 2橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線，它們的統(tǒng)一性如下： (1)從方程的形式看：在直角坐標(biāo)系中，這幾種曲線的方程都是二元二次的，所以它們屬于二次曲線(2)從點的集合(或軌跡)的觀點看：它們都是與定點和定直線距離的比是常數(shù)e的點的集合(或軌跡)，這個定點是它們的焦點，定直線是它們的準(zhǔn)線只是由于離心率

35、e取值范圍的不同.即當(dāng) 時,軌跡是橢圓, 當(dāng) 時軌跡是雙曲線, 當(dāng) 時軌跡是和拋物線.(3)這三種曲線都可以通過平面截圓錐面而得到,因此都稱為圓錐曲線3.坐標(biāo)法是研究曲線的一種重要方法本章在第七章的基礎(chǔ)上進一步學(xué)習(xí)了求曲線方程的一般方法，如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)，以及用坐標(biāo)法證明簡單的幾何問題等求曲線方程的一般步驟簡記: 、 、 .幾個步驟，在具體求解時常常省略證明，但要注明限制條件.4.橢圓、雙曲線、拋物線是常見的曲線，利用它們的方程及幾何性質(zhì)，可以幫助我們解決一些簡單的實際問題本章通過例題，給出了解決某些實際問題的一般方法5.圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)(1) 橢圓的光學(xué)性質(zhì): 從橢圓的

36、一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上(如圖)(2) 雙曲線的光學(xué)性質(zhì): 從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣. 即反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個焦點.(3) 拋物線的光學(xué)性質(zhì): 從拋物線的焦點發(fā)出的光線,經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線對稱軸.在宇宙間運動的天體，如行星、彗星、人造衛(wèi)星等,由于運動速度的不同，它們的軌道有的是橢圓,有的是拋物線，有的是雙曲線. 二、學(xué)習(xí)過程中需要注意的問題 (1)這一章里導(dǎo)出了幾種不同形式的橢圓、雙曲線、拋物線的方程，其中最重要的是它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,由這三種方程可以演變出其余的方程學(xué)習(xí)時要抓住雙基，熟悉并掌握這三種方程 (2)在工作和學(xué)習(xí)過程中，有時需要畫出橢圓、雙曲線、拋物線的圖形教科書中重點介紹了如何利用這些曲線的幾何性質(zhì)描點畫圖的方法除此之外，還可以利用模板(如圖)直接描繪出各種曲線，或根據(jù)橢圓、雙曲線、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程基本量的幾何意義畫出它們的草圖畫圖時，要根據(jù)實際需要選擇工具和方法 (3)學(xué)習(xí)本章的目的，不僅是為了掌握圓錐曲線的定義和性質(zhì)，還要通過對橢圓、雙曲線、拋物線的研究，進一步學(xué)習(xí)如何用代數(shù)方法(坐標(biāo)法)研究幾何問題，即要掌握坐標(biāo)法要學(xué)習(xí)一些常見的求曲線方程的方法