全國(guó)卷數(shù)學(xué)理

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(必修+選修II)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分第卷1至2頁(yè)第卷3至4頁(yè)考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第卷注意事項(xiàng)：1答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，并貼好條形碼請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目2每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無(wú)效3第卷共l2小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一、選擇題1.復(fù)數(shù),為的共軛復(fù)數(shù)，則( )A.B.C.D.

2、2.函數(shù)的反函數(shù)為（ ）A.B.C.D.3.下面四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是（ ）A.B.C.D.4.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，公差，則（ ）A.8B.7C.6D.55.設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于（ ）A.B.C.D.6.已知直二面角，點(diǎn)，C為垂足，點(diǎn)，為垂足，若，則到平面的距離等于（ ）A.B.C.D.17.某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4為朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有（ ）A.4種B.10種C.18種D.20種8.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)和圍成的三角形的面積為（ ）A.B.C.D.19.設(shè)

3、是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則（ ）A.B.C.D.10.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與交于、兩點(diǎn)，則（ ）A.B.C.D.11.已知平面截一球面得圓，過(guò)圓心且與成二面角的平面截該球面得圓，若該球的半徑為4，圓的面積為，則圓的面積為（ ）A.B.C.D.12.設(shè)向量，滿(mǎn)足，則的最大值等于（ ）A.2B.C.D.1第卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線(xiàn)上(注意：在試卷上作答無(wú)效)13.的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)與的系數(shù)之差為 .14.已知，則 .15.已知、分別為雙曲線(xiàn)C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為的平分線(xiàn)則 .16.已知點(diǎn)、分別在正方體的棱、上，且，則面與面所成的二

4、面角的正切值等于 .三解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17.(本小題滿(mǎn)分l0分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)的內(nèi)角、的對(duì)邊分別為、.己知，求18.(本小題滿(mǎn)分l2分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.3.設(shè)各車(chē)主購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)相互獨(dú)立（）求該地1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；（）表示該地的100位車(chē)主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的車(chē)主數(shù)，求的期望19.(本小題滿(mǎn)分l2分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)如圖，四棱錐中，,，側(cè)面為等邊三角形，.ASDCB（）證明：；（）

5、求與平面所成角的大小20.(本小題滿(mǎn)分l2分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足且（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，記，證明：21.(本小題滿(mǎn)分l2分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為的直線(xiàn)與交與、兩點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足（）證明：點(diǎn)在上；（）設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：、四點(diǎn)在同一圓上22.(本小題滿(mǎn)分l2分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)（）設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，；（）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方式聯(lián)系抽取20次，設(shè)抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為證明：2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試1-5 B B A D C 6

6、-10 C B A A D 11-12 D A 13.0 14. 15.6 16.17【解析1】由，得為鈍角且，利用正弦定理，可變形為，即有，又、是的內(nèi)角，故，或（舍去），所以18【解析1】設(shè)該車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)的概率為，由題：，解得（）設(shè)所求概率為，則，故該地1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率為0.8.（）對(duì)每位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的概率為，所以的期望是20人19【解析1】（）取中點(diǎn)，連接，則四邊形為矩形，連接，則，又，故，所以為直角由，得，所以與兩條相交直線(xiàn)、都垂直，所以EASDCBFGH（）由知，作，垂足為，則，作，垂足為，則連接，則又，故，作，為垂足，則，即到平面的距離為

7、由于，所以，到平面的距離設(shè)與平面所成的角為，則，【解析2】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)為軸的正半軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系z(mì)ASDCBxy設(shè)，則，又設(shè)，則，（）,由得,解得，由得，又由得，即，故，于是，故，又，所以（）設(shè)平面的法向量，則，又，故取得，又，故與平面所成得角為SzDAxBCy【解析3】（）計(jì)算，于是，利用勾股定理，可知，同理，可證，又，因此（）過(guò)點(diǎn)D做，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，可計(jì)算平面的一個(gè)法向量是,20【解析1】（）是公差為1的等差數(shù)列，,所以.（）,21（）,的方程為，代入并化簡(jiǎn)得設(shè)，則，由題意得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，故點(diǎn)在橢圓上（）由和題設(shè)知，的垂直平分線(xiàn)的方程為 設(shè)的中點(diǎn)為，則，的垂直平分線(xiàn)的方程為 由得、的交點(diǎn)為.,故又，所以，由此知、四點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上【解析2】（）