全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題

1、2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題（4月20日8:00至10:00）一填空題（本大題共10小題，每小題7分，共70分）1若，則函數(shù)的最小值是 2已知函數(shù)若，則的值是 3已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為，為前項(xiàng)和，且滿足，則數(shù)列的通項(xiàng) 4若函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是 5已知函數(shù)若關(guān)于的方程的實(shí)根之和為，則的值是 6設(shè)、都是銳角，且，則等于 7四面體中，異面直線和之間的距離為4，夾角為，則四面體的體積為 8若滿足，的恰有一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 9設(shè)集合，是的兩個(gè)非空子集，且中的最大數(shù)小于中的最小數(shù)，則這樣的集合對(duì)的個(gè)數(shù)是 10如果正整數(shù)可以表示為 (，)，那么稱為“好數(shù)”問1，2

2、，3，2014中“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為 二解答題（本大題共4小題，每小題20分，共80分）11已知，為正實(shí)數(shù)，求的值12已知，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)若，求雙曲線C的離心率13如圖，已知是銳角三角形，以為直徑的圓交邊于點(diǎn)，交邊上的高于點(diǎn)以為直徑的半圓交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求證：14（1）正六邊形被條互不交叉（端點(diǎn)可以重合）的對(duì)角線分割成個(gè)三角形將每個(gè)三角形區(qū)域涂上紅、藍(lán)兩種顏色之一，使得有公共邊的三角形涂的顏色不同怎樣分割并涂色可以使紅色三角形個(gè)數(shù)與藍(lán)色三角形個(gè)數(shù)的差最大？（2）凸邊形被條互不交叉（端點(diǎn)可以重合）的對(duì)角線分割成個(gè)三

3、角形將每個(gè)三角形區(qū)域涂上紅、欄兩種顏色之一，使得有公共邊的三角形涂的顏色不同在上述分割并涂色的所有情形中，紅色三角形個(gè)數(shù)與藍(lán)色三角形個(gè)數(shù)之差的最大值是多少？證明你的結(jié)論2006年全國1卷理科第12題設(shè)集合，選擇的兩個(gè)非空子集和，要使中最小的數(shù)大于中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有（B）A50種 B49種 C48種 D47種解法一，若集合A、B中分別有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有C52=10種；若集合A中有一個(gè)元素，集合B中有兩個(gè)元素，則選法種數(shù)有C53=10種；若集合A中有一個(gè)元素，集合B中有三個(gè)元素，則選法種數(shù)有C54=5種；若集合A中有一個(gè)元素，集合B中有四個(gè)元素，則選法種數(shù)有C55=1種；若集合

4、A中有兩個(gè)元素，集合B中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有C53=10種；若集合A中有兩個(gè)元素，集合B中有兩個(gè)個(gè)元素，則選法種數(shù)有C54=5種；若集合A中有兩個(gè)元素，集合B中有三個(gè)元素，則選法種數(shù)有C55=1種；若集合A中有三個(gè)元素，集合B中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有C54=5種；若集合A中有三個(gè)元素，集合B中有兩個(gè)元素，則選法種數(shù)有C55=1種；若集合A中有四個(gè)元素，集合B中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有C55=1種；總計(jì)有49種，選B解法二：集合A、B中沒有相同的元素，且都不是空集，從5個(gè)元素中選出2個(gè)元素，有C52=10種選法，小的給A集合，大的給B集合；從5個(gè)元素中選出3個(gè)元素，有C53=10種選法，再

5、分成1、2兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有210=20種方法；從5個(gè)元素中選出4個(gè)元素，有C54=5種選法，再分成1、3；2、2；3、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有35=15種方法；從5個(gè)元素中選出5個(gè)元素，有C55=1種選法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有41=4種方法；總計(jì)為10+20+15+4=49種方法選B第9題的本質(zhì)與推廣2014年金海南最后一模試題設(shè)整數(shù)3，集合P1，2，3，n，A，B是P的兩個(gè)非空子集記an為所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù) （1）求a3； （2）求an解：（1）當(dāng)3時(shí)，P1，2，3 ， 其非空子集為：1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3， 則所有滿足題意的集合對(duì)(A，B)為：(1，2)，(1，3)，(2，3)， (1，2，3），（1，2，3)共5對(duì)， 所以a3； 3分 （2）設(shè)A中的最大數(shù)為k，其中,整數(shù)3， 則A中必含元素k，另元素1，2，k可在A中，故A的個(gè)數(shù)為： ， 5分 B中必不含元素1，2，k，另元素k1，k2，k可在B中，但不能 都不在B中，故B的個(gè)數(shù)為：， 7分 從而集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為，