多元函數(shù)概念,極限連續(xù)ppt課件

1、第八章第八章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的極限與連續(xù)性二元函數(shù)的極限與連續(xù)性 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一個個點點， 是是某某一一正正數(shù)數(shù)，與與點點),(000yxP距距離離小小于于 的的點點),(yxP的的全全體體，稱稱為為點點0P的的 鄰鄰域域，記記為為),(0 PU，（1鄰域鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx ),(00 PU |00PPP .)()(0| ),(2020 yyxxyx有關(guān)區(qū)域的問題有關(guān)區(qū)域的問題:（2區(qū)域區(qū)域.

2、)(的的內(nèi)內(nèi)點點為為則則稱稱，的的某某一一鄰鄰域域一一個個點點如如果果存存在在點點是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一個個點點集集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE .EE 的的內(nèi)內(nèi)點點屬屬于于EP .為開集為開集則稱則稱的點都是內(nèi)點，的點都是內(nèi)點，如果點集如果點集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即為開集即為開集的的邊邊界界點點為為），則則稱稱可可以以不不屬屬于于，也也本本身身可可以以屬屬于于的的點點（點點也也有有不不屬屬于于的的點點，于于的的任任一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)既既有有屬屬如如果果點點EPEEPEEPEP 的邊界的邊界的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為 EE是連通的是連通的開集

3、開集，則稱，則稱且該折線上的點都屬于且該折線上的點都屬于連結(jié)起來，連結(jié)起來，任何兩點，都可用折線任何兩點，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開集如果對于是開集如果對于設(shè)設(shè)DDDD 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，則稱為無界點集為有界點集，否成立，則稱對一切即，不超過間的距離與原點，使一切點如果存在正數(shù)對于點集EEPKOPKOPOEPKE41| ),(2

4、2 yxyx（3聚點聚點 設(shè)設(shè) E是平面上的一個點集，是平面上的一個點集，P 是平面上的是平面上的一個點，如果點一個點，如果點 P 的任何一個去心鄰域內(nèi)總有的任何一個去心鄰域內(nèi)總有無限多個點屬于點集無限多個點屬于點集 E，則稱，則稱 P 為為 E 的聚點的聚點. 1. 內(nèi)點是聚點；內(nèi)點是聚點；2. 邊界點可能是聚點邊界點可能是聚點,也可能不是聚點；也可能不是聚點；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是邊界點也是聚點既是邊界點也是聚點10| ),(2222 yxyxyx或或(0,0)是邊界點是邊界點,但不是聚點但不是聚點3. 點集點集E的聚點可以屬于的聚點可以屬于E，也可以不屬于，也可以

5、不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點但不屬于集合是聚點但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合邊界上的點都是聚點也都屬于集合（4n維空間維空間 設(shè)設(shè)n為取定的一個自然數(shù)，我們稱為取定的一個自然數(shù)，我們稱n元數(shù)組元數(shù)組),(21nxxx的全體為的全體為n維空間，而每個維空間，而每個n元數(shù)元數(shù)組組),(21nxxx稱為稱為n維空間中的一個點，數(shù)維空間中的一個點，數(shù)ix稱為該點的第稱為該點的第i個坐標(biāo)個坐標(biāo).1. n維空間的記號為維空間的記號為;nR2. n維空間中兩點間距離公式維空間中兩點間距離公式 ),(21nxxxP),(21n

6、yyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 3. n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時，便為數(shù)軸、平面、時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離空間兩點間的距離3, 2, 1 n內(nèi)點、邊界點、區(qū)域等概念也可定義內(nèi)點、邊界點、區(qū)域等概念也可定義鄰域：鄰域：設(shè)兩點為設(shè)兩點為一多元函數(shù)的概念一多元函數(shù)的概念圓柱體體積：圓柱體體積：),(2hRVVhRV長方體體積：長方體體積：V=xyz V=V(x,y,z)二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)Def8.1)xx,x(fyDfy f,D)x

7、,x,x(xfDRDn21n21n 上上的的函函數(shù)數(shù)，記記為為則則稱稱與與之之對對應(yīng)應(yīng)，唯唯一一的的由由是是一一對對應(yīng)應(yīng)規(guī)規(guī)則則，設(shè)設(shè)本章主要討論二元函數(shù)本章主要討論二元函數(shù)A、二元函數(shù)的定義域、二元函數(shù)的定義域D(f)為平面區(qū)域，開或閉，有界為平面區(qū)域，開或閉，有界或無界?；驘o界。例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD 例：求下列函數(shù)的定義域例：求下列函數(shù)的定義域)1ln(),(122yxyxf）（ 1yx)y, x(0yx1)y, x()f

8、 (D2222 -有界開區(qū)域有界開區(qū)域3arcsin2arcsin),()2(yxyxf 3y, 2x)y, x()f (D -有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域yxyxf 1),()3( 0yx)y, x()f (D -無界開區(qū)域無界開區(qū)域1)ln()4(22yxxyxyz 1yx, 0 xy, xy)y, x()f (D22 B、二元函數(shù)、二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域為為D，對對于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值為為),(yxfz ，這這樣樣，以以x為為橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)、y為為縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)、z為為豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)在在空空間間就

9、就確確定定一一點點),(zyxM，當(dāng)當(dāng)x取取遍遍D上上一一切切點點時時，得得一一個個空空間間點點集集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這這個個點點集集稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.（如下頁圖）（如下頁圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:二元函數(shù)的圖形為定義在一平面區(qū)域的曲面二元函數(shù)的圖形為定義在一平面區(qū)域的曲面二元函數(shù)的定義域就是曲面在二元函數(shù)的定義域就是曲面在xoy面上的

10、投影。面上的投影。 y,x) y , x() f (Dyxz22如如1),()(12222yxyxfDyxz例例3：),(1, 0),(22yxfyxyxxyyxf），則（若), 1 (2),(22xyfyxxyyxf，則若)(,0),(2xfxzyyxfyxz則時當(dāng)若二二.二元函數(shù)的極限與連續(xù)性二元函數(shù)的極限與連續(xù)性 0)yy()xx()y, x()y,x(. 1202000 ，的的鄰鄰域域點點AyxfyxyxyxfAAyxfyxyxDyxyxfzDefyxyx ),(lim),(),(),(,),(),(),(),(),(:.2),(),(000000的的極極限限，記記時時當(dāng)當(dāng)為為則則稱稱

11、無無限限趨趨于于時時，且且當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)不不存存在在趨趨于于不不同同的的值值，則則時時，同同方方式式趨趨于于，若若按按不不是是以以任任意意方方式式趨趨于于注注：)y, x(flim)y, x(f)y,x()y,x()y,x()y, x()y ,x()y ,x(00000000例4：求下列極限xxysinlim)2(yx1lim) 1 ()2 , 0()y , x(22)0 , 0()y , x( 222)0,0()y,x(yxxy1sinxylim)3( ,xy2yx)3(22 法法一一：xy1sinyxxy0222 法法二二：21xy2xyxy1sinyxxy22 0,y原原式式為為無無窮窮小小量

12、量0y21xy2xy2 0原式原式初等函數(shù)初等函數(shù),極限值為函數(shù)值極限值為函數(shù)值等價無窮小替換等價無窮小替換有界變量乘無窮小量有界變量乘無窮小量夾限定理夾限定理確定極限不存在的方法確定極限不存在的方法: 找兩種不同趨近方式找兩種不同趨近方式,使二重極限存在使二重極限存在,但但兩者不相等兩者不相等; 令令p(x,y)沿某一定曲線趨向于沿某一定曲線趨向于 時時,極限不存在極限不存在.),(000yxp 22kxy0 xyxxylim解解)y, x( flim , 0yx 00yx yxxy)y, x( f )4(0y0 x222222 2222kxy0 xk1kx)k1(kxlim 不不存存在在。

13、，取取不不同同值值時時極極限限值值不不同同（)y, x( flimk)0,0)y ,x(263)0,0(),(limyxyxyx 2.二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性0000000008.2 :( ,)(,)(,)(,),lim0 xyDefzf x ypxyzf xx yyf xyz 設(shè)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若處間斷。在處連續(xù)，否則稱在),(),(),(),(00000yxyxfyxpyxf則稱則稱若若f(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)點點連續(xù)，則稱內(nèi)點點連續(xù)，則稱f(x,y)在在D內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。)y,x( f)y, x( flim)yy, xx( flim:ie00yyxx000y0 x00

14、 上間斷。在：例111sin),(52222yxyxyxf內(nèi)連續(xù)。在11),(2222yxyxyxf2.f(x,y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則上連續(xù)，則f(x,y)在在D上可取到最大上可取到最大和最小值。和最小值。3.（介值定理設(shè)（介值定理設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，上連續(xù)，M,m分別分別為最大小值，那么為最大小值，那么cyxfDyxMmc),(,),(,00使連續(xù)。）在則連續(xù)在若),(0(),(),(),(),(),(),(,),(),(),(. 10000yxgyxgyxfyxgyxfyxgyxfyxyxgyxf性質(zhì)：4. 有界定理有界定理 在有界閉區(qū)域在有界

15、閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)必定上的多元連續(xù)函數(shù)必定有界有界多元初等函數(shù)：由常量及基本初等函數(shù)經(jīng)過有多元初等函數(shù)：由常量及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域 若點若點),(yx沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點點),(00yx時，函數(shù)時，函數(shù)),(yxf都趨向于都趨向于 A，能否，能否斷定斷定Ayxfyxyx