腦血流模型-賽才數(shù)學建模

1、用放射性同位素測定局部腦用放射性同位素測定局部腦血流量模型多媒體演示軟件血流量模型多媒體演示軟件一 問題的提出 在發(fā)達國家中，心腦血管疾病是威脅人們生命的最主要疾病之一。在我國，由于人民生活的改善和健康水準的提高，其他疾病的發(fā)病率下降，防治水平提高，心腦血管的發(fā)病率及其導致的死亡率卻相對地上升了。 腦血流量是診斷和治療腦梗塞，腦出血，動脈瘤和先天性動脈和靜脈血管畸形等腦血管疾病的主要依據(jù)。測量腦血流量可為研究人腦在不同的病理和生物條件下（入腦外傷，腦循環(huán)停頓，缺氧等）的功能提供客觀指標，它對研究腦循環(huán)藥物的藥理作用也很有幫助。所以人們長期致力于尋找有效地測定腦血流的方法。 早期人們采用惰性氣體

2、來測定腦血流量，讓受試者吸入惰性氣體后，在一定時間內多次采集肱動脈和頸動脈的系列血樣，分析惰性氣體在這些血樣的濃度，推算出腦的出血量。這種方法需要進行動脈插管和多次采集血樣，對人體會造成一定的創(chuàng)傷，測量儀器也比較復雜。 近年來出現(xiàn)了以放射性同位素作示蹤計測定人腦局部血流量，簡稱rCBF(regional cerebral blood flow的縮寫)的方法。測量裝置主要由安裝多個（通常采用8個，16個或是32個）閃爍計算器探頭的頭盔，安裝一個閃爍計數(shù)器探頭的頭盔，安裝一個閃爍計數(shù)器的面罩，將閃爍計數(shù)器探頭的面罩，將閃爍計數(shù)器的計數(shù)轉換成數(shù)字信息并輸入計算機的裝置，一臺電子計算機（包括外部設備）

3、和一個廢氣回收裝置組成。 在測試時，用頭盔將探頭接觸受試者頭顱固定的位置，圖1是一個八探頭儀器的探頭位置示意圖，圖中圓圈表示探頭的位置。令受試者戴上面罩，并讓受試者吸入或靜脈注射劑量為500至1000 (微居里)的放射性同位素。從此時開始記時由計算機控制，自動，定時地記錄并儲存各個探頭（包括面罩中的探頭）的放射性記數(shù)率約十分鐘左右。然后通過計算機處理這些記錄的數(shù)據(jù)，得出每個探頭附近區(qū)域的腦血流量，即局部腦血流量。 Cu 腦部放射性同位素探頭示意圖 一般采用 作為示蹤劑，用 作示蹤劑有很多優(yōu)點。首先 是主要隨血液的流動而流動，與腦組織結合留在腦中比例極小。其次是 的半衰期約為二十幾個小時，對人體

4、的危害極小，同時不需太長時間又能進行再次測定，而且在測試的十幾分鐘之內，由于衰變引起的放射性計數(shù)率的減少是相當?shù)?。Xe133 70年代末，80年代初，這種測量 的儀器已經形成商品。我國也進行了獨立的研制。由于這種儀器能無創(chuàng)傷而又比較準確地測定局部腦血流量，價格又較 等有同樣功能的儀器便宜得多，因而很受醫(yī)院特別是中小醫(yī)院的歡迎。 rCBFCTXe133Xe133Xe133 如何從測量的頭部放射性計數(shù)率和面罩中的放射性計數(shù)率確定局部腦血流量呢？要解決這個問題，首先要建立合理的數(shù)學模型。 二 假設和建模 2A主要假設 大腦皮層主要由灰質和白質構成。由于毛細血管分布不同等原因，血在灰質中的流量和白質的

5、流量是不一樣的。實驗表明，血在腦灰質中流動比在腦白質中約快5-10倍，為精確地測定腦血流量，有必要分別確定腦灰質中的血流量和腦白質中的血流量。這兩種血流量對臨床診斷也是有意義的。根據(jù)已有的實驗結果，有如下假設： 腦組織由灰質和白質兩種組分構成，單位腦組織中灰質與白質的質量之比為 ： ；單位質量的灰質組織中的毛細血管中容納體積為 的血液，單位質量的白質組織的毛細血管中容納血的體積為 。 和 與受試者血液中的血紅蛋白含量有關，（例如，據(jù)實驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，當每100毫升血中含血紅蛋白10 時， =0。89， =1。67），另外，灰質組織中的血液不會流入白質組織，白質中的血液也不會流入到灰質中去。

6、) 1(H1w2w1212g12： 此外，假設血液循環(huán)處于一種穩(wěn)定平衡的狀態(tài)，即： （ ）流入腦組織中的動脈血和流出腦組織進入靜脈的血流量是相等的，不隨時間的變化而改變。2H 另外還對示蹤劑作如下假設和簡化： （ ） 隨著血液的流動而流動，與腦組織相結合而停留在腦組織中的示蹤劑的量十分微小，可以忽略不計；同時在測量過程中，由衰變引起示蹤劑放射性減少也可忽略不計。 3HXe133 2b Fick原理和模型的建立 考察單位質量（1克）腦組織中的示蹤劑數(shù)量，在這部分腦組織中放射性示蹤劑數(shù)量的改變應為動脈血輸入的示蹤劑量與靜脈血從這部分組織中攜出的示蹤劑量之差。這就是核醫(yī)藥工程中常用的Fick原理?，F(xiàn)

7、在用Fick原理分別考察單位腦組織中，灰質中的示蹤劑量和白質中的示蹤劑量的變化。 設單位質量灰質和白質腦流量分別為 和 ，單位應 為 /( ),即每分鐘從每克腦灰質或腦白質中流出的血液為 毫升或 毫升；又設時刻 流入腦組織的動脈血中放射性示蹤劑的濃度為Ca(t);在時刻 ,1克腦組織中灰質血液中的示蹤劑含量和白質血液中的示蹤劑含量分別 為 和。1f2fmlming1f2ftt)(1tQ)(2tQ 現(xiàn)建立灰質組織中的示蹤劑的平衡關系?？疾鞎r段 , + 中灰質組織中示蹤劑含量的變化ttt- )()(111tQttQQ) 1 .2( 在1克腦組織中，灰質組織的質量為 克， 時間流出的血液體積為 1w

8、ttwf11)2 . 2( 灰質組織中容納的血液中示蹤劑的濃度為 )/()(11WtQ)3 .2( 由此由靜脈血從灰質帶走的示蹤劑量為 )()/()(11111111ttQfWttQwfQv)4 . 2( 由（ ），在這段時間內流入灰質的動脈血等于流出灰質的血液量，由(2.2)式它是 ，又由動脈血中示蹤劑濃度為Ca(t)，于是由動脈血輸入的示蹤劑量為2Htwf11)(111tCatWfQA)5.2( 由Fick原理，應有 VAQQQ111)6 . 2( 即 )()()()(11111111ttQftCatwftQttQ)7 . 2( 在上式兩邊除以 ，然后令 即得 滿足的微分方程t0t)(1t

9、Q)()(111111tQftCaWfdtdQ)8 . 2( 用同樣的方法可得白質組織中示蹤劑含量 的方程)(2tQ)()(222222tQftCaWfdtdQ)9 . 2( 注意到初始時刻 t=0 時，灰，白質中示蹤劑含量為0，有 )2 , 1( , 0)0(iQi)12. 2( 從(2.11), (2.12) 式立即解得 ttkiiidCaeWftQi0)()()()13. 2( 于是，在時刻t，1克腦組織中示蹤劑的含量應為 ttkiiidCaeWftQtQtQi0)(2121)()()()()14. 2( 引入222111,fkfk)10. 2( 和 可改寫為 )8 . 2()9 . 2

10、()2 , 1(),(itCaWfQkdtdQiiiii)11. 2( 若這單位質量的腦組織正位于某個頭部探頭的探測范圍，探頭就可記下閃爍計數(shù)器的計數(shù)率，設為N(t)。顯然，閃爍計數(shù)器的計數(shù)率應與探測范圍中腦組織中放射性示蹤劑的含量成正比，設比例系數(shù)為，就有ttkiiidCaeWftNi0)(21)()()15. 2( 又設面罩中的探頭測得受試者呼出氣中的放射性計數(shù)率為 。由于動脈血從肺部將示蹤劑帶到腦部，因此呼出氣中的放射性計數(shù)率和肺動脈中示蹤劑濃度成正比，比例系數(shù)為 。由于動脈血從肺部流到腦部需時間 （約為3秒鐘），就有)(tCA0)(1)(0tCtCaA)16. 2( (2.15)式相應

11、地化為 dCeWfatNAttkiiii)()(00)(21)17. 2( 其中=/，引入 )2 , 1( ,iWfaPiii)18. 2( (2.17)式化為 dCePtNAttkiii)()(00)(21)19. 2( 由于 很小，將其略去，(2.19)式簡化為： 0dCePtNAttkiii)()(0)(21)20. 2( 這樣，測定rCBF的數(shù)學模型便歸結為：已知 和 在時間 的測量值 和 ，要決定 式中的和 ，其中 )(tN)(tCA), 1 , 0(njtjjNjC)20.2(iPik10), 1(, 00tntnjtjttnj)21. 2( 而 為測量的時間間隔。 t 又由于(2

12、.20)式中的N(t)可分解為21)()(iitNtN)22. 2(由于)2 , 1()()(0)(idCePtNAttkiii)23. 2( 它們滿足微分方程的初值問題： )2 , 1(0)0()(iNtCaPNkdtdNiiiii)24. 2( 數(shù)學模型亦可歸結為：已知 式中 的 和初值問題 解之和 在 的測量 值 和 ( )，決定初值問題 中方程的系數(shù) 和 。)24. 2()(tCA)24. 2()()()(21tNtNtNjtjCjNnj, 1)24. 2(ikiP)2 , 1( i這類數(shù)學問題稱為參數(shù)辨識問題。另一方面，由于將腦組織分成灰質和白質兩個部分，上述模型又可稱為兩組分模型或

13、兩房室模型。 2.c 模型的應用 若應用上述模型決定出 和 ，可以通過受試者的血紅蛋白含量決定 ，從而用ikiP)2 , 1( ii)2 , 1( iiiikf)25. 2( 得到灰質和白質血流量。此外，我們還可以確定腦組織中灰質與白質的百分比 。利用表達式(2.18)易知 iw122121fPfPWW)26. 2( 或0212211WfPfPW)27. 2( 與121WW)28. 2( 連立，解得 22211211121121222211122212112211kPkPkPfPfPfPWkPkPkPfPfPfPW)29. 2( 由此得出單位質量腦組織的血流量為 2211WfWff)30. 2

14、( 三 參數(shù)的辨識 用上一節(jié)的數(shù)學模型解決rCBF測定問題，就要根據(jù) 和 的離散測量值辨識 ， ， ， 。典型的頭部計數(shù)率曲線（將測量的離散點經插值光潤得到的曲線，稱為頭部清除曲線）和呼出氣計數(shù)率曲線分別由圖2和圖3所示。我們簡單介紹辨識這些參數(shù)的三種方法。)(tN)(tCA1k2k1P2P 頭部清除曲線t3.a非線性規(guī)劃方法 給定一組 ， ，可以根據(jù)測量的 值用 式得到理論 值，它與測量值 的誤差平反和為ikiP)2 , 1( i)(tCA)20. 2()(jtNjNnjjjjtNNPPkkE022121)(),(njjttkiijjidCaePN020)(21)()31. 2( 它是 ，

15、， ， 的函數(shù)，且關于 ， 是非線性的。 2k1k2k1k2P1P t呼出氣計數(shù)率曲線 用理論數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)誤差平方和最小的原則可辨識 ， ，即求函數(shù) 的最小值點，這可采用高斯牛頓法或其它方法。讀者可參閱有關書籍。ikiP)2 , 1( i),(2121PPkkE 亦可采用極小化相對誤差平方和的處理方法，即求jnjjjjNtNNPPkkE0/)(),(22121(3.2) 的極小值點。 3b 線性化迭代法 設 )2 , 1(iikkkii將(2.20)式右端分別關于 在 附近展開，得 ikik)()()()(221)(0*iiAtktiiikOdCetkPPtNi 略去 的二次及二次以上的項，

16、得 ik2100)()()()()()(*ittAtkiiAtkidCetkPdCePtNii)5 . 3( 上式關于 和 是線性的。 iPiikP令 ，設 為 的預測值，我們可以通過極小化iiikPQ*ik)2 , 1( iiknjjitAtkjtiAtkijjjtjjtdCetQdCePNQQPPE0*2210)(0)(2121)()()(),( 來決定 ， 。再由iPiQ)2 , 1( ,/iPQkiii)6 . 3( 解得 的修正值 。*ikik由于 關于 ， 均為二次的，可以解關于 ，的線性方程組 ),(2121QQPPEiPiQiPiQ00iiQEPE)2 , 1( i)7 . 3

17、(求得極小點。 于是，從預測值 出發(fā)，求得校正值 ，從而得 和 *ikikiP)2 , 1( ,*ikkkiii)8 . 3( 又可將 上述作為新的預測值，用同樣的方法求得 和新的校正值。這個方法可以不斷進行，直至校正值足夠小為止。ikiP 3c差分擬合法 由于 一般為 的5到10倍，因此 比 衰減速度快得多，又因 是一個衰減很快的函數(shù)，由表達式 ，存在 ，當時 ，ik2ktke1tke2)(tCA)23. 2(TTt 0)()(0111tAktkdCeetN)9 . 3(即)()(2tNtN)10. 3(用差分方程)()(2)()(22222jAjjjtCPtNktttNttN)11. 3(

18、 替代 滿足的微分方程，利用式 即可用最小二乘法 解方程組 2N)10. 3(), 1,(22211nJJjCPNktNNjjjj)12. 3( 求得 和 ，其中 滿足 。 2k2PJTtJ1 令 ) 1, 1()(0)(22JjdCePNNjjtAtkjj)13. 3( 用最小二乘法解方程組 )2, 1,(2001111JjjjCPNktNNjjjj)14. 3(得 和 。1k1P采用差分擬合時，適當選擇T是重要的。用差分擬合法求得的 和 作為方法2的初始預測值。迭代校正一兩次即可獲得理想的結果。1k2k 四 模型的評價 所述的模型與方法已經在我國自行研制的rCBF測量儀上應用。通過對大量正常人或