韋達定理在圓錐曲線綜合題中的應用

1、韋達定理在圓錐曲線綜合題中的應用【注意】應用韋達定理的前提是：二次項系數(shù)不為零，判別式大于（或等于）零一、 弦長問題【韋達特征】例1 頂點在坐標原點，焦點在軸上的拋物線截直線所得弦長為，則拋物線方程為 二、 弦的中點問題【韋達特征】例2 已知直線與橢圓交于、兩點，且線段的中點為，則直線的方程是 三、 垂直問題【韋達特征】（1）若，則：（2）若，則： 例3 若直線：與雙曲線交于、兩點,且以為直徑的圓過原點，求的值.（）例4 已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標準方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點（、不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂

2、點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標例5 設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，原點到直線的距離為（）證明；（）求使得下述命題成立：設圓上任意點處的切線交橢圓于，兩點，則例6 設動點到點和的距離分別為和，且存在常數(shù)，使得（1）證明：動點的軌跡為雙曲線，并求出的方程；（2）過點作直線雙曲線的右支于兩點，試確定的范圍，使，其中點為坐標原點四、 對稱問題（即垂直平分問題）【韋達特征】實際上是轉(zhuǎn)化為問題二（中點問題）、問題三（垂直問題）例7 如圖，傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點（）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；（）若為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P

3、，證明：為定值，并求此定值8五、 線段相等【韋達特征】若，中點為，則：且實際上是轉(zhuǎn)化為問題二（中點問題）、問題三（垂直問題）例8 已知橢圓的一個頂點為，焦點在軸上，且右焦點到直線的距離為，試問能否找到一條斜率為的直線，使與已知橢圓交于不同兩點、且滿足六、 數(shù)量積問題【韋達特征】（同問題三垂直問題）例9 設F1、F2分別是橢圓的左、右焦點（）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，且，求點P的坐標；（）設過定點的直線l與橢圓交于同的兩點A、B，且AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍例10 已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線相交于、兩點（）若動點滿足（其中為坐標原點），求

4、點的軌跡方程；（）在軸上是否存在定點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由七、 面積問題例11 直線與橢圓交于A、B兩點，記AOB的面積為S（）求在，的條件下，S的最大值；（）當，時，求直線AB的方程例12 已知橢圓C：的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為（）求橢圓C的方程；（）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值例13 設是拋物線：的焦點（）過點作拋物線G的切線，求切線方程；（）設A、B為勢物線G上異于原點的兩點，且滿足，延長AF、BF分別交拋物線G于點、，求四邊形ABCD面積的最小值例14 已知拋物線的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為（）證明為定值；（）設的面積為，寫出的表達式，并求的最小值八、 有關(guān)比例問題例15 已知點