1.3不共線三點確定二次函數(shù)的表達式

1、.素材一新課導入設計匚情景導入匚置疑導入歸納導入E 復習導入匚類比導入N 懸念激趣5Z 復習導入回顧 1：求一次函數(shù)表達式的方法是待定系數(shù)法_.(2) 回顧 2: 二次函數(shù)的表達式有如下幾種形式：一般式：y = ax2+ bx + c(a, b, c 為常數(shù)，0)_;頂點式：y = a(x h)2+ k(a, h, k 為常數(shù)，0)_.(3) 已知二次函數(shù)的圖象過 (1, 0), ( 1 , 4)和(0, 3)三點，你能求出這個二次函數(shù) 的表達式嗎？說明與建議說明：通過回顧一次函數(shù)表達式的求法，加強新舊知識的聯(lián)系和延伸， 強化模型化思想，為本節(jié)求二次函數(shù)表達式做準備.建議：提出問題“二次函數(shù)的

2、一般形式中有幾個待定字母？求這些字母需要幾個獨立的條件？”然后再探究如何用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式.匚懸念激趣如圖 1 3 1，某建筑的屋頂設計成橫截面為拋物線形(曲線 AOB)的薄殼屋頂.它的拱寬 AB 為 4 m,拱高 CO 為 0.8 m.施工前要先制造建筑模板， 怎樣畫出模 板的輪廓線呢？圖 1 31說明與建議說明：假設不同的建立平面直角坐標系的方案，尋求求二次函數(shù)表達式 的最佳方法建議：弓 I 導學生從以下幾個角度歸納總結(jié)求二次函數(shù)表達式的方法：當已知拋物線上任意三點時，通常設為一般式y(tǒng) = ax2+ bx + c;當已知拋物線的頂點與拋物線上另一點時，通常設為頂點式 y = a

3、(x h)2+ k；當已知拋物線與 x 軸的交點或交點橫坐標 時，通常設為交點式 y= a(x x”(x X2).素材二教材母題挖掘U 教材母題一一第 23 頁練習已知二次函數(shù) y= ax2+ bx + c 的圖象經(jīng)過三點 A(0 , 2), B(1 , 3), C( 1, 1),求這個 二次函數(shù)的表達式.【模型建立】已知拋物線的三點，用一般式 y = ax2+ bx + c,再用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式. 一 般步驟是先設二次函數(shù)的表達式為 y= ax2+ bx+ c,再把已知點的坐標代入表達式得關于 a, b, c 的三元一次方程組，解這個方程組，即可得到表達式.【變式變形】1如圖 1

4、 3 2，拋物線的表達式是 _y x2+ x + 2.圖 1 3-2y= x2+ bx + c 中，函數(shù) y 與自變量 x 的部分對應值如下表:x101234y1052125則該二次函數(shù)的表達式為 _y = x2 4x+ 5_.3.已知二次函數(shù) y = ax2+ bx + c,當 x = 1 和 x = 3 時，y 的值都是 0，當 x = 0 時，y =3，則這個二次函數(shù)的表達式是 _y =- x2+ 2x + 3_.圖 1 33(1)求這個二次函數(shù)的表達式；設該二次函數(shù)的圖象的對稱軸與x 軸交于點 C,連接 BA ,BC,求 ABC 的面積.12(1)把 A(2 , 0), B(0 , 6

5、)代入 y= x2+ bx + c,得b = 41解得 這個二次函數(shù)的表達式為y= x2+ 4x 6.c= 6 ,24(2) 該拋物線的對稱軸為直線 x= = 4 , 點 C 的坐標為(4 , 0),2X (2)1 1 - AC=OCOA=42=2, SAABC=?ACOB=2 2X6=6.素材三考情考向分析命題角度 1用一般式 y = ax2+ bx + c(a , b , c 為常數(shù)，0)求二次函數(shù)的表達式已知拋物線上任意三點，可選用一般式求二次函數(shù)的表達式，進而可用配方法或頂點公式求出拋物線的頂點坐標、對稱軸以及開口方向，如教材P23 習題 1.3A 組第 1, 2 題.命題角度 2用頂

6、點式 y = a(x h)2+ k(a , h , k 為常數(shù)，0)求二次函數(shù)的表達式已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸，可選用頂點式y(tǒng)= a(x h)2+ k(a , h , k 為常數(shù)，a* 0),如教材 P37 復習題 1A 組第 4 題.2.大港一模已知二次函數(shù)2+ 2b+ c= 0 ,c = 6 ,解:4.如圖 1 3 3,已知二次函數(shù)A(2 ,0), B(0, 6)兩點.命題角度 3用交點式求二次函數(shù)的表達式已知拋物線與 x 軸的兩個交點的坐標(x1, 0) , (x2, 0)和另一個點的坐標(m , n),通常設 二次函數(shù)的表達式為y= a(x x”(x X2),再將點(m , n)代入得

7、到關于 a 的一元一次方程，求出 a 的值，即可得到二次函數(shù)的表達式，如教材 P23 習題 1.3 A 組第 3 題.素材四教材習題答案P23 練習已知二次函數(shù) y= ax2+ bx + c 的圖像經(jīng)過三點 A(0 , 2), B(1 , 3), C( 1, 1),求這個 二次函數(shù)的表達式.2= c,a=1,解：將點 A(0, 2), B(1 , 3), C( 1, 1)代入，得3= a+ b + c,解得彳 b= 2,L1 = a b+ c,c= 2. y= x2+ 2x + 2.P23 習題 1.31 已知二次函數(shù) y = ax2+ bx + c 的圖像經(jīng)過三點 A( 1, 0), B(0

8、 , 2), C(2, 0)，求這 個二次函數(shù)的表達式.解：將點 A( 1, 0), B(0 , 2) , C(2, 0)代入，得0 = a b + c,a= 1,2 = c ,解得 Sb= 1,0 = 4a+ 2b+ c ,c= 2. y= x2+ x+ 2.2.已知二次函數(shù) y = ax2+ bx + c 中的部分自變量 x 與所對應的函數(shù)值 y 如下表：x432y353求當 x= 1 時，y 的函數(shù)值.解：(解法一)將點(4 , 3), ( 3 , 5) , ( 2 , 3)代入，得3 = 16a 4b+ c ,a= 2 ,= 9a 3b+ c ,解得b= 12 ,3 = 4a 2b +

9、 c ,c= 13. y= 2x2 12x 13.當 x= 1 時，y= 2X1212X113=21213=27.(解法二)由表可知，該二次函數(shù)的頂點坐標為(3 , 5)，可設 y = a(x+ 3)2+ 5,將(4 ,3)代入，得 3 = a( 4+ 3)2+ 5,解得 a= 2 ,y= 2(x + 3)2+ 5 ,即 y= 2x2 12x 13. 當 x = 1 時,y= 2X12 12X1 13 =2 12 13= 27.3.已知二次函數(shù)的圖像與x 軸的交點的橫坐標分別是 X1= 3 ,x2= 1,且與 y 軸的交點為(0 , 2),求這個二次函數(shù)的表達式.解：設二次函數(shù)的表達式為y=

10、a(x + 3)(x 1),將(0 , 2)代入,得一 2 = a(0+ 3)(0 1),2 2 解得 a= 3, y = 3(x + 3)(x 1).44 已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過一次函數(shù)y= x+ 3 的圖像與 x 軸、y 軸的交點，且過點 (1, 1),求這個二次函數(shù)的表達式.解：一次函數(shù) y= x+ 3 的圖像與 x 軸的交點為(3 , 0),與 y 軸的交點為(0 , 3),設二0= 9a+ 3b + c,次函數(shù)的表達式為 y= ax5+ bx + c,將(3 , 0), (0 , 3), (1 , 1)代入，得3= c,解得1 = a+ b+ c,廣1a=25b = 一Q,2c= 3

11、.125 c y=尹一 2x+ 3.5.已知三個點的坐標，是否有一個二次函數(shù)，它的圖像經(jīng)過這三個點？(1) P(1, 6), Q(2, 11), R( 1, 14)；(2) P(1, 6), Q(2 , 11), M( 1, 4).解：(1)假設存在這樣的二次函數(shù)y = ax2+ bx + c,它的圖像經(jīng)過點 P, Q, R，則得關于6= a+ b + c,a= 3,a, b, c 的三元一次方程組；11 = 4a+ 2b+ c,解得*；b = 4, 二次函數(shù) y = 3x2 4x + 7 的圖 14= a b+ c,& = 7.像經(jīng)過點 P, Q, R.(2)假設存在這樣的二次函數(shù)y

12、= ax2+ bx + c 的圖像經(jīng)過點 P, Q, R,則得關于 a, b, cB = a+ b+ c,a= 0,的三元一次方程組*11 = 4a+ 2b+ c,解得Jb=5, 一次函數(shù) y = 5x + 1 的圖像經(jīng)過點 P,Q, 4= a b+c,= 1.R 三點，這說明沒有一個這樣的二次函數(shù)，它的圖像經(jīng)過點P, Q, R.素材五圖書增值練習專題一二次函數(shù)的三種表達方式1.已知二次函數(shù) y =x2 bx c 中，函數(shù) y 與自變量 x 的部分對應值如下表:x-101234y1052125(1)求該二次函數(shù)的關系式；(2 )當 x 為何值時，y 有最小值，最小值是多少?（2）完成下表:邊上

13、的小圓圈數(shù)12345小圓圈的總數(shù)（3）如果用 n 表示六邊形邊上的小圓圈數(shù)，m 表示這個六邊形中小圓圈的總數(shù)，那么 m5( 1)你知道下面每一個圖形中各有多少個圓圈嗎？為什么OOO O O OO OO O OooooOOOOOOOO O OO O OOOOOOOOOOOQOOOOOQQOOOOOooooooooooo和 n 的關系是什么？3.美好而難忘的初中生活即將結(jié)束了，在一次難忘同窗情的班會上， 有人出了這樣一道題，如果在散會后全班每兩個同學之間都握一次手，那么全班同學之間共握了多少次？ 為解決該問題，我們可把該班人數(shù)n 與握手次數(shù) s 間的關系用下面的模型來表示.1）若把 n 作為點的橫

14、坐標，s 作為點的縱坐標，根據(jù)上述模型的數(shù)據(jù)，在給出的平面 直角坐標系中，找出相應 5 個點，并用平滑的曲線連接起來；（2） 根據(jù)圖象中各點的排列規(guī)律， 猜一猜上述各點會不會在某一函數(shù)的圖象上，如果在, 寫出該函數(shù)的表達式；（3） 根據(jù)（2）中的表達式，求該班 56 名同學間共握了多少次手？4張師傅在鋪地板時發(fā)現(xiàn)，用8 塊大小一樣的長方形瓷磚恰好可以拼成一個大的長方形，如圖（a）.然后，他用這 8 塊瓷磚又拼出一個正方形，如圖（ b）,中間恰好空出一個邊 長為 1 的小正方形（陰影部分），假設長方形的長為 y，寬為 x，且 y x.（1）請你求出圖（a）中 y 與 x 的函數(shù)關系式；（2）求出

15、圖（b）中 y 與 x 的函數(shù)關系式；（3）在圖（c）中作出兩個函數(shù)的圖象，寫出交點坐標，并解釋交點坐標的實際意義；（4） 根據(jù)以上討論完成下表，觀察x 與 y 的關系，回答：如果給你任意8 個相同的長方 形，你能否拼出類似圖（a）和圖（b）的圖形？說出你的理由.圖（b）中的小正方形邊長1234x6y10狀元筆記：【知識要點】用三種方式表示二次函數(shù)【溫馨提示】運用解析式、列表、畫圖象三種方法表示二次函數(shù)，為解決函數(shù)類實際問題打下堅實的基礎要求學生能夠分析和表示變量之間的二次函數(shù)關系，并解決用二次函數(shù)所表示的問題.參考答案1 解：（1）把（0, 5）, （1, 2）代入 y=x2+bx+c，得

16、b= 4, c=5，所以 4x+5.（2 ）當 x=42=2 時，y 的最小值為 1.2 X12.解：（1）第 1 個圖形中有 1 個小圓圈，第 2 個圖形中有 1+6=7 （個）小圓圈，第 3 個圖 形中有7+2X6=19 （個）小圓圈，第 4 個圖形中有 19+3X6= 37 （個）小圓圈.（2） 從左至右填 1, 7, 19, 37 , 61.（3）m=6Xn（n-1）+1=3n23n +1.23.解：（1）(2)各點在一個二次函數(shù)的圖象上，函數(shù)的表達式為S=1n2_丄 n .2 2(3) 當 n=56 時，S=!X562丄X56=1540 (次).2 24.解：(1 由圖(a)得 3y = 5x , y =5x.3(2)由圖(b)得 8xy + 1 = (2x + y)2，整理得(2x y)2= 1, 2x