帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)(超經(jīng)典)..

1、帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題“臨界問題”大量存在于高中物理的許多章節(jié)中，如“圓周運(yùn)動(dòng)中小球能過最高點(diǎn)的速度條件” “動(dòng)量中的避免碰撞問題”等等，這類題目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等詞語，其最終的求解一般涉及極值，但關(guān)鍵是找準(zhǔn)臨界狀態(tài)。帶電粒子在有界磁 場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題，在解答上除了有求解臨界問題的共性外，又有它自身的一些特點(diǎn)。、解題方法畫圖T動(dòng)態(tài)分析T找臨界軌跡。（這類題目關(guān)鍵是作圖，圖畫準(zhǔn)了，問題就解決了一大半，余下的就只有計(jì)算了這一般都不難。）、常見題型 （B為磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度，V。為粒子進(jìn)入磁場的初速度）r旳方向一定，大小不確定一第一類 I確宦 <V。

2、犬小一亦方向不確定第二類旳大小、方向都不確定一第三類2.行不確宦-巾確定第四類五類分述如下:第一類問題：例1如圖1所示，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B,寬度為d,邊界為CD和EF。一電子從 CD邊界外側(cè)以速率 V。垂直勻強(qiáng)磁場射入，入射方向與CD邊界夾角為0。已知電子的質(zhì)量為 m電荷量為e,為使電子能從磁場的另一側(cè) EF射出，求電子的速率 vo至少多大？分析：如圖2，通過作圖可以看到：隨著 界EF相切，然后就不難解答了。第二類問題：Vo的增大，圓半徑增大，臨界狀態(tài)就是圓與邊例2如圖3所示，水平線 MN下方存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場，在 MN線上某點(diǎn)O正下方與之相距 L的質(zhì)子源S,

3、可在紙面內(nèi)360°范圍內(nèi)發(fā)射質(zhì)量為 m電量 為e、速度為Vo=BeL/ m的質(zhì)子，不計(jì)質(zhì)子重力，打在 MN上的質(zhì)子在 O點(diǎn)右側(cè)最遠(yuǎn)距離 OP，打在O點(diǎn)左側(cè)最遠(yuǎn)距離 OO。分析：首先求出半徑得r=L,然后作出臨界軌跡如圖 4所示（所有從 S發(fā)射出去的質(zhì)子 做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道圓心是在以S為圓心、以r=L為半徑的圓上，這類問題可以先作出這一圓就是圓心的集合，然后以圓上各點(diǎn)為圓心，作出一系列動(dòng)態(tài)圓），O諒L , OQL?！揪毩?xí)】如圖5所示，在屏MN勺上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面 向里。P為屏上的一小孔，PC與MN垂直。一群質(zhì)量為 m帶電荷量為一q的粒子（不計(jì)重力），以相同

4、的速率v,從P處沿垂直于磁場的方向射入磁場區(qū)域。粒子入射方向在與磁場B垂直的平面內(nèi)，且散開在與 PC夾角為0的范圍內(nèi)，則在屏 MN上被粒子打中的區(qū)域的長度為（ ） rV62mv2ffsvcos52wv(l - sin ff)cosff)A.-1 -B.扛C.L-D .分析：如圖6所示，打在屏上距 P最遠(yuǎn)的點(diǎn)是以 0為圓心的圓與屏的交點(diǎn)，打在屏上最 近的點(diǎn)是以02或O為圓心的圓與屏的交點(diǎn) （與例2相似，可先作出一系列動(dòng)態(tài)圓）。故答案選 “D'。第三類問題:例3 （2009年山東卷）如圖甲所示，建立Oxy坐標(biāo)系，兩平行極板 P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱，極板長度和板間距均為I，第一、四象

5、限有磁場，方向垂直于Oxy平面向里。位于極板左側(cè)的粒子源沿 x軸向右連續(xù)發(fā)射質(zhì)量為 m電量為+q、速度相同、重力不計(jì)的帶 電粒子。在03to時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮極板邊緣的影響）。IItQ圖甲yXXXX X X XXX XXXXXXXBX XXXXJw1111 .1 1 -U.to %3/o ft圖乙已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在to時(shí)刻經(jīng)極板邊緣射入磁場。 上述m q、I、t。、B為已知量。（不考慮粒子間相互影響及返回極板間的情況）（1）求電壓U0的大小。1（2）求2 to時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。（3）何時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場中的運(yùn)

6、動(dòng)時(shí)間最短？求此最短時(shí)間。圖丙分析：粒子進(jìn)入電場做類平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可求得偏轉(zhuǎn)電壓U0;t=2to時(shí)刻進(jìn)入1的粒子先做類平拋運(yùn)動(dòng)，t 0后沿末速度方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，利用相應(yīng)規(guī)律可求得射出電場的速度大小，進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，可求提半徑R; 2to時(shí)刻進(jìn)入的帶電粒子加速時(shí)間最長（如圖丙所示），加上此時(shí)粒子進(jìn)入磁場是向上偏轉(zhuǎn)，故運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，同樣應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即可求得此最短時(shí)間。第四類問題：例4如圖7所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0. 15T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場分布在半徑F=0. 10m的圓形區(qū)域內(nèi)，圓的左端跟 y軸相切于直角坐標(biāo)系原點(diǎn) 0

7、,右端跟熒光屏 MN相 切于x軸上的A點(diǎn)。置于原點(diǎn)的粒子源可沿 x軸正方向射出速度 Vo=3. 0X 106m/s的帶正電 的粒子流，粒子的重力不計(jì)，荷質(zhì)比q/m=1. ox lO8C/kg?，F(xiàn)以過O點(diǎn)并垂直于紙面的直線為軸，將圓形磁場逆時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)90°,求此過程中粒子打在熒光屏上離A的最遠(yuǎn)距離。分析：本題可先設(shè)想磁場是無界的，那么粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的一段圓弧如圖8中的弧0E（半徑r=2R=0. 20m,圓心為O ）,現(xiàn)在圓形磁場以 O為軸在旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于直徑 OA也在旋轉(zhuǎn)， 當(dāng)直徑OA旋轉(zhuǎn)至OD位置時(shí)，粒子從圓形磁場中離開射向熒光屏MN時(shí)離A有最遠(yuǎn)距離（落gOC = r tan 點(diǎn)為F

8、）。圖中 O O為等邊三角形，F(xiàn)D與O 02延長交于C點(diǎn)，圖中0 =60°1 ,練習(xí)：如圖9所示，一個(gè)質(zhì)量為 m帶電荷量為+ q的粒子以速度Vo從O點(diǎn)沿y軸正方向 射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場區(qū)域后， 從x軸上的b點(diǎn)穿過，其速度方向與x軸正方向的夾角為30°,粒子的重力可忽略不計(jì)， 試 求：（1）圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積；（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（3） b到O的距離。o$X分析：如圖10,過b點(diǎn)作速度的反向延長線交 y軸于C點(diǎn)，作/ OCb的角平分線交x軸 于O,再以O(shè)為圓心、以O(shè)O為半徑畫弧，與直線Cb相切于點(diǎn)A,粒子

9、運(yùn)動(dòng)的軌跡即為 O-gb, 圓形磁場即為以O(shè)A為直徑的圓，利用相關(guān)物理公式及幾何知識(shí)不難計(jì)算出本題的結(jié)果。第五類問題：例5電子質(zhì)量為 m電荷量為e,從坐標(biāo)原點(diǎn) O處沿xOy平面射入第一象限， 射入時(shí)速 度方向不同，速度大小均為vo,如圖11所示。現(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于 xOy平面 的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B,若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏 MN上，熒光屏 與y軸平行，求：（1）熒光屏上光斑的長度；（2）所加磁場范圍的最小面積。分析：本題可先作出這些射入第一象限的電子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道圓心的集合，必在弧OQ上（如圖12）,然后設(shè)想以該弧上的各點(diǎn) （如圖12中的O等四點(diǎn)）為圓心作

10、出粒子運(yùn)動(dòng)的 軌跡，最終垂直射到 MN上的PQ間，所以熒光屏上光斑的長度即為PQ=R=mv/eB;所加磁場范圍即為圖中由弧 OOOO所圍的區(qū)域，其中弧 OO可看成是由弧OO向上平移R得到的。練習(xí)：例5若改為"磁場方向垂直于 xOy平面向里，熒光屏MN移至y軸右側(cè)，”其他條 件不變，情況又怎樣呢？讀者可試作分析。（所加磁場的最小范圍為一“樹葉”形狀）綜合以上題型，我們可以看到，這些問題的解答很能體現(xiàn)學(xué)生的分析思維能力以及想象能力，要求學(xué)生能夠由一條確定的軌跡想到多條動(dòng)態(tài)軌跡，并最終判定臨界狀態(tài)， 這需要在平時(shí)的復(fù)習(xí)中讓學(xué)生能有代表性地涉獵一些習(xí)題，才能在高考應(yīng)試中得心就手，應(yīng)對(duì)自如。例

11、析用圓心軌跡確定帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)區(qū)域問題同種帶電粒子從同一點(diǎn)以相同速率、沿不同方向進(jìn)入同一勻強(qiáng)磁場中，粒子可能達(dá)到的區(qū)域的確定是教學(xué)中常遇，學(xué)生感到棘手， 高考又考查的問題?，F(xiàn)就此類問題舉例分析。題目1 （2005年全國高考） 如圖1，在一水平放置的平板 MN的上方有一勻強(qiáng)磁 場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 B ，磁場方向垂直紙面向里，許多質(zhì)量為 m、帶電荷量為+ q 的粒子，以相同的速率 V0沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔 O射入磁場區(qū)域。不計(jì)重 力，不計(jì)粒子間的相互影響。圖2中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中r =m vo/B q，哪個(gè)圖是正確的（）X X共* 共V VvVjn()析與

12、解 依據(jù)題意，所有帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同r = m Vo/B q所以，在紙面內(nèi)由O點(diǎn)沿不同方向入射的帶電粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的圓心軌跡是以O(shè)為圓心，r為半徑的圓周（A圖中虛線圓示）。又因?yàn)閹щ娏Ｗ訋д?、進(jìn)磁場時(shí)只分布在以O(shè)N和0M為邊界的上方空間，而向心力由洛侖茲力提供，它既指向圓心又始終垂直速度，可確定：圓心軌跡只能是 A圖中虛線圓直徑分隔的左半邊虛線圓周；再以 A圖中左半 虛線圓上各點(diǎn)為圓心、以 r為半徑作圓，圓周在磁場中所能達(dá)到的區(qū)域應(yīng)為A圖陰影區(qū)。所以A圖正確。題目2如圖3所示，有許多電子（每個(gè)電子的質(zhì)量為 m ,電量為e）在xOy平面 內(nèi)從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷地以相同大小的速度

13、V。沿不同方向射入第一象限。現(xiàn)加上一個(gè)方 向向里垂直于xOy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場，要求這些電子穿過該磁場后都 能平行于x軸并向x軸的正方向運(yùn)動(dòng)。試求符合該條件的磁場的最小面積。析與解 因?yàn)樗须娮佣荚趧驈?qiáng)磁場中作半徑為r = m vo/B e的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。而沿y軸的正方向射入的邊緣電子需轉(zhuǎn)過 1 /4圓周才能沿 x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，它的軌跡應(yīng)為所求最小面積磁場區(qū)域的上邊界如圖中弧線 a,其圓心在垂直入射速度的 x軸上（ r ，0）?，F(xiàn)設(shè)沿與x軸成任意角a （0 < a < 90° ）射入的電子在動(dòng)點(diǎn)P離開磁場。這些從 O 點(diǎn)沿不同方向入射的電子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心

14、O'到入射點(diǎn)O的距離又都為半徑r。所以，O'形成一個(gè)以入射點(diǎn) O （即坐標(biāo)原點(diǎn)）為圓心、r為半徑的1 /4圓弧軌跡如圖3中弧線c。根據(jù)題目要求，各電子射出磁場時(shí)速度v要為平行x軸的正方向。故由做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的圓心又應(yīng)在垂直出射速度的直線上可知，從不同點(diǎn)p射出的電子的圓心O'又必在對(duì)應(yīng)出射點(diǎn) p的正下方，即曲線c上各點(diǎn)到對(duì)應(yīng)正上方出射點(diǎn)p的距離也都等于r；因此將1 /4圓弧軌跡c沿y軸正向平移距離后如圖中弧線 b,弧線b就是各出射點(diǎn)p的軌跡，它實(shí)際是以 。2（0 , r）為圓心，半徑為r的1 /4圓弧；既然點(diǎn)p是出射點(diǎn)-即磁場的下邊界，故弧線 b應(yīng)為所求最小面積磁場區(qū)域

15、的下邊界。所以,所求面積為圖中弧線a與b所圍陰影面積。由幾何得:帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)”解析2011-12-15 13:58:53| 分類： 高三物理 |字號(hào)大中小 訂閱處理帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)問題，其本質(zhì)是平面幾何知識(shí)與物理知識(shí)的綜合運(yùn)用。重要的 是正確建立完整的物理模型，畫岀準(zhǔn)確、清晰的運(yùn)動(dòng)軌跡。下面我們從基本問題岀發(fā)對(duì)“帶電粒子在磁場 中的圓周運(yùn)動(dòng)”進(jìn)行分類解析。一、“帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)”的基本型問題找圓心、畫軌跡是解題的基礎(chǔ)。帶電粒子垂直于磁場進(jìn)入一勻強(qiáng)磁場后在洛侖茲力作用下必作勻速圓 周運(yùn)動(dòng)，抓住運(yùn)動(dòng)中的任兩點(diǎn)處的速度，分別作岀各速度的垂線，則二垂線的交點(diǎn)必為圓

16、心；或者用垂徑 定理及一處速度的垂線也可找出圓心；再利用數(shù)學(xué)知識(shí)求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑及粒子經(jīng)過的圓心角從而解答 物理問題。【例1】圖示在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B; 帶正電的粒子以速度V0從0點(diǎn)射入磁場中，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正方向的夾角為 9 ;纟若粒子射岀磁場的位置與 0點(diǎn)的距離為L。求該粒子的電荷量和質(zhì)量比"；粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。分析：粒子受洛侖茲力后必將向下偏轉(zhuǎn)，過0點(diǎn)作速度V。的垂線必過粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心 O ;由于圓的對(duì)稱性知粒子經(jīng)過點(diǎn) P時(shí)的速度方向與x軸正方向的夾角必為 B ,故點(diǎn)P作速度的垂線

17、與點(diǎn) 0處速度垂線的交點(diǎn)即為圓心 0 （也可以用垂徑定理作弦 0P的垂直平分線與點(diǎn) 0處速度的垂線的交點(diǎn)也為圓心）由圖可知粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑由再由洛侖茲力作向心力得岀粒子在Lq2v0sin5磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑為故有2 sin 5，解之mBL 由圖知粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角為2開 開丿 I tv) qB v0 sin &故粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為【例2】如圖以ab為邊界的二勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 Bi = 2B2,現(xiàn)有一質(zhì)量為 m帶電+q的粒子從0 點(diǎn)以初速度V。沿垂直于ab方向發(fā)射；在圖中作岀粒子運(yùn)動(dòng)軌跡， 并求岀粒子第6次穿過直線ab所經(jīng)歷的時(shí) 間、路程及離開點(diǎn)0的距離。（粒子重力不計(jì)

18、）XXXXKXXXXXXXXXXXXXXxxXXX分析：粒子在二磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑分別為洛侖茲力的方向可以作岀粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。粒子從點(diǎn)0出發(fā)第6次穿過直線ab時(shí)的位置必為點(diǎn)P；故粒子運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為2丿，而粒子的運(yùn)動(dòng)周期代入前式有齊3網(wǎng)+砒*叱。點(diǎn)O與P的距離為OP = 3x2R. = “帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)”的范圍型問題尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑然后利用粒子運(yùn)動(dòng)的實(shí)際軌道半徑 R與R的大小關(guān)系確定范圍【例3】如圖所示真空中寬為 d的區(qū)域內(nèi)有強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場方向如圖，質(zhì)量 m帶電-q的粒子以與CD成9角的速度Vo垂直射入磁場中；要使粒子必能從 EF射出則初速度Vo應(yīng)

19、滿足什么條件？ EF上有粒子射岀的區(qū)域？分析：粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場后受洛侖茲力作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒子必能從EF射岀，則相應(yīng)的臨界軌跡必為過點(diǎn)A并與EF相切的軌跡如圖示，作出 A P點(diǎn)速度的垂線相交于 O即為該臨界軌跡的圓心,臨界半徑R。由A) +/i)COSff = ddl + cos5故粒子必能穿岀EF的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡半徑 R>Ro，即>由圖知粒子不可能從 P點(diǎn)下方向射出EF,即只能從P點(diǎn)上方某一區(qū)域射出；又由于粒子從點(diǎn)A進(jìn)入磁 場后受洛侖茲力必使其向右下方偏轉(zhuǎn)，故粒子不可能從AG直線上方射岀；由此可見 EF中有粒子射岀的區(qū)PG = Rasincot6-+/cot5域?yàn)镻G且由圖知

20、1 + COS3【例4】如圖所示S為電子射線源能在圖示紙面上和360。范圍內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率相等的質(zhì)量為m帶電-e的電子，MN是一塊足夠大的豎直檔板且與 S的水平距離0S= L,檔板左側(cè)充滿垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場；若電子的發(fā)射速率為 Vo，要使電子一定能經(jīng)過點(diǎn) 0,則磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B的條件？若磁場的 磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,要使S發(fā)射岀的電子能到達(dá)檔板，則電子的發(fā)射速率多大？若磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,從S發(fā)射出的電子的速度為聊 ，則檔板上出現(xiàn)電子的范圍多大？分析：電子從點(diǎn)S發(fā)出后必受到洛侖茲力作用而在紙面上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于電子從點(diǎn) S射出的方 向不同將使其受洛侖茲力方向不同，導(dǎo)致電子的軌跡不同

21、，分析知只有從點(diǎn) S向與SO成銳角且位于SO上 方發(fā)射出的電子才可能經(jīng)過點(diǎn) 0。要使電子一定能經(jīng)過點(diǎn) 0,即S0為圓周的一條弦，則電子圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑必滿足1 ，由吧J E W加要使電子從S發(fā)岀后能到達(dá)檔板，則電子至少能到達(dá)檔板上的0點(diǎn)，故仍有粒子圓周運(yùn)動(dòng)半徑1叭、LeBLsma-2 >4 ,由召B 2有加。2eBL當(dāng)從s發(fā)出的電子的速度為工時(shí)，電子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑，但由于電子發(fā)射出的方向不同則其軌道不同，因而到達(dá)MN板的位置不同。由此作出圖示的二臨界軌跡 凋胡，故電子擊中檔板的范圍在 PlP2間；對(duì)SP弧由圖知0P、二 J(2£-用二血，且該電子的發(fā)射方向與SO必成3

22、0°向SO下方發(fā)射；對(duì)SP弧由圖知0P2 = J(4Z? = y/15L，且該電子的發(fā)射方向與為卩二 32x10%/ S而向SO的左上方發(fā)射。三、“帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)”的極值型問題尋找產(chǎn)生極值的條件：直徑是圓的最大弦；同一圓中大弦對(duì)應(yīng)大的圓心角；由軌跡確定半徑的 極值?！纠?】圖中半徑r = 10cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點(diǎn)O處相切；磁場B= 0.33T 垂直于紙面向內(nèi)，在O處有一放射源S可沿紙面向各個(gè)方向射出速率均為 v = 3.2xl06/ £的a粒子； 已知a粒子質(zhì)量為列=6”6，電量3.2x10_9cJ，則a粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角

23、9及在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間 t各多少？|a = = 0.2w=2r|分析：a粒子從點(diǎn)O進(jìn)入勻強(qiáng)磁場后必作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)半徑由定；由于a粒子從點(diǎn)O進(jìn)入磁場的方向不同故其相應(yīng)的軌跡與出場位置均不同，則粒子通過磁場的速度偏向角9不同；要使a粒子在運(yùn)動(dòng)中通過磁場區(qū)域的偏轉(zhuǎn)角9最大，則必使粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的弦長最大；因而圓形磁場區(qū)域的直徑 OP即為粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的最大弦；故 a粒子從點(diǎn)O入磁場而從 點(diǎn)P出場的軌跡如圖圓 O所對(duì)應(yīng)的圓弧示，該弧所對(duì)的圓心角即為最大偏轉(zhuǎn)角9。由前面計(jì)算知厶SO/P必為等邊三角形，故 a =30°且9 =2 a =60°。此過程中粒子在磁

24、場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由£=Z = 1 = 6.54x106 & 牡即為粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間。【例6】一質(zhì)量m帶電q的粒子以速度V0從A點(diǎn)沿等邊三角形 ABC的AB方向射入強(qiáng)度為B的垂直于 紙面的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域中，要使該粒子飛岀磁場后沿BC射岀，求圓形磁場區(qū)域的最小面積。分析：由題中條件求岀粒子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為一定，故作岀粒子沿AB進(jìn)入磁場而從BC射岀磁場的運(yùn)動(dòng)軌跡圖中虛線圓所示，只要小的一段圓弧PQ能處于磁場中即能完成題中要求；故由直徑是圓的最大弦可得圓形磁場的最小區(qū)域必為以直線PQ為直徑的圓如圖中實(shí)線圓所示。由于三角形ABC為等邊三角形，故圖中 a =30&

25、#176;，那么，故最小磁場區(qū)域的面積為【例7】有一粒子源置于一平面直角坐標(biāo)原點(diǎn)0處，如圖所示相同的速率 Vo向第一象限平面內(nèi)的不同方向發(fā)射電子，已知電子質(zhì)量為m,電量為e。欲使這些電子穿過垂直于紙面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場后，都能平行于x軸沿+X方向運(yùn)動(dòng)，求該磁場方向和磁場區(qū)域的最小面積分析：由于電子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R= mWBe是確定的，設(shè)磁場區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動(dòng)軌道如圖所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，所以電子運(yùn)動(dòng)的最上面一條軌跡必為圓 O,它就是磁場的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點(diǎn)0為圓心，以R為半徑的圓弧 OC2Q。由于要求所有電子均平行于

26、 x軸向右飛岀磁場，故由幾何知識(shí)有電子的飛岀點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)。 如對(duì)圖中任一軌跡圓 02而言，要使電子能平行于 x軸向右飛岀磁場，過O作弦的垂線QA,則電子必將從點(diǎn) A飛出，相當(dāng)于將此軌跡的圓心 Q沿y方向平移了半徑 R即為此電子的出場位置。由此可見我們將軌跡的 圓心組成的圓弧QQQ沿y方向向上平移了半徑 R后所在的位置即為磁場的下邊界，圖中圓弧QAP示。綜上 所述，要求的磁場的最小區(qū)域?yàn)榛AP與弧OBP所圍。利用正方形 OGPC的面積減去扇形 OQP的面積即為OBPC勺面積；即R2- n R/4。根據(jù)幾何關(guān)系有最小磁場區(qū)域的面積為S = 2 (成n R2/4 ) = ( n /2

27、 -1 ) ( mv/Be)2。四、“帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)”的多解型問題抓住多解的產(chǎn)生原因：速度方向的不確定引起的多解，與自然數(shù)相關(guān)的多解即粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間與運(yùn) 動(dòng)周期的倍數(shù)不確定。qBL【例8】在前面“【例4】”中若將檔板取走，磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,當(dāng)電子以速率城 從點(diǎn)S射出后要擊中Q點(diǎn)，則點(diǎn)S處電子的射出方向與 OS的夾角為多少？從 S到點(diǎn)0的時(shí)間多少？押 -廣二二厶分析：由已知條件知電子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，電子從點(diǎn)S射出后要經(jīng)過點(diǎn) 0即直線so為圓的一條弦，由圖知必有兩種運(yùn)動(dòng)軌跡存在；由于題中S0= L = r，故/ OSQ=60° 那么電子從點(diǎn) S的發(fā)射速度V的方向與SQ所成的夾

28、角a =30°圖中/ QSQi=60°,故電子的發(fā)射速度 Vi的方向與SQ所成的 夾角 9 =150°?！纠?】一質(zhì)量m帶電q的粒子以速率 V垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，粒子經(jīng)過一段時(shí)間 受到的沖量的大小為 mv,粒子重力不計(jì)。則此過程經(jīng)歷的時(shí)間為多少?分析：粒子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，右圖示設(shè)粒子的初位置為a，因其受沖量的Pi、P2兩個(gè)，對(duì)應(yīng)的沖量方向仍有ii、大小為mv而方向未知故必有右圖中的兩種情況，即未動(dòng)量的方向有可知12兩個(gè)。粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)中動(dòng)量的大小始終為mv不變，由動(dòng)量定理5tt a= 6_;故粒子在該過程中經(jīng)歷的時(shí)間為逖+1?，其

29、中【例10】在半徑為r的圓筒中有沿筒軸線方向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B; 一質(zhì)量為m帶電+q的粒子以速度V從筒壁A處沿半徑方向垂直于磁場射入筒中；若它在筒中只受洛侖茲力作用且與筒壁發(fā)生彈性碰撞，欲使粒子與筒壁連續(xù)相碰撞并繞筒壁一周后仍從A處射岀；則B必須滿足什么條件？帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間？分析：由于粒子從A處沿半徑射入磁場后必作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒子又從 A處沿半徑方向射向磁場,且粒子與筒壁的碰撞次數(shù)未知，故設(shè)粒子與筒壁的碰撞次數(shù)為n （不含返回A處并從A處射出的一次），由2開1 花住=二圖可知 ：1，其中n為大于或等于2的整數(shù)（當(dāng)n = 1時(shí)即粒子必沿圓 0的直徑作直線水二尸tan必二

30、"an運(yùn)動(dòng)，表示此時(shí)B= 0）;由圖知粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R為片+ 1，再由粒子在磁場2 ，竺卅丄中的運(yùn)動(dòng)半徑可求出 I/'' -r 1粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)周期為粒子每碰撞一次在磁場中轉(zhuǎn)過的角度由圖得0 二托 _2&二-7V- ，粒子從A射入磁場再從A沿半徑射出磁場的過程中將經(jīng)過n+1段圓弧，故粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為:丄二3,將前面B代入T后*共同代入前式得巾+1）痔二斗叵函浄五、“帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)”的動(dòng)力學(xué)問題注意洛侖茲力不做功，洛侖茲力的方向?qū)㈦S物體的運(yùn)動(dòng)方向的變化而發(fā)生相應(yīng)的變化；正確結(jié)合變速圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)關(guān)系與能量守恒定律處理【例11】金屬小球質(zhì)

31、量 m帶電-q，由長L的絕緣細(xì)線懸掛于圖示勻強(qiáng)磁場中的0點(diǎn)，然后將小球拉到9 = 600處由靜止釋放，小球沿圓弧運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)懸線上的張力恰好為0 ;求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=?小球住復(fù)擺動(dòng)中懸線上的最大張力多少？分析：小球從點(diǎn)A由靜止釋放后在繞點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)中必同時(shí)受到重力、線的拉力及洛侖茲力作用，由左手定則知小球從A向P運(yùn)動(dòng)中洛侖茲力方向必沿半徑指向圓心，且洛侖茲力對(duì)小球不做功；故小球到達(dá)；小球在p點(diǎn)受力如圖示由圓周運(yùn)動(dòng)有點(diǎn)的速度大小為；由共得，由“”小球從右向左運(yùn)動(dòng)或從左向右運(yùn)動(dòng)中由于所受洛侖茲力的方向?qū)l(fā)生變化故懸線上的張力大小將作相應(yīng)的變化，分析可知當(dāng)小球從左向右運(yùn)動(dòng)經(jīng)過點(diǎn)p時(shí)線上的張力必有

32、最大值，小球從左向右經(jīng)過點(diǎn)p小球從左向右過p點(diǎn)時(shí)其受T -f +到的洛侖茲力方向必沿半徑向外，故P點(diǎn)處線上的張力Tp為' 一可得-_ 二 一，二，-丄 二；-，L'_ 二，-丄，將及9 = 600代入前式得到I 7總之在處理帶電粒子在磁場中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題中，我們必須將物理規(guī)律與數(shù)學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合，準(zhǔn)確分析粒子運(yùn)動(dòng)過程及臨界狀態(tài)與極值條件；處理帶電粒子在磁場中的變速圓周運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，時(shí)刻注意洛 侖茲力的方向變化并在解答中注意洛侖茲力不做功，正確利用動(dòng)力學(xué)規(guī)律與能量守恒定律。帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的六類高考題型歸類解析2011-12-14 21:44:40| 分類：高三物理|字號(hào)大中

33、小訂閱、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中勻速圓周運(yùn)動(dòng)基本問題找圓心、畫軌跡是解題的基礎(chǔ)。帶電粒子垂直于磁場進(jìn)入一勻強(qiáng)磁場后在洛倫茲力作用下必作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，抓住運(yùn)動(dòng)中的任兩點(diǎn)處的速度，分別作出各速度的垂線，則二垂線的交點(diǎn)必為圓心；或者用垂徑定理及一處速度的垂線也可找出圓心；再利用數(shù)學(xué)知識(shí)求出圓周（04天津）釷核運(yùn)動(dòng)的半徑及粒子經(jīng)過的圓心角從而解答物理問題。丄和乞間電場時(shí)，其速度為發(fā)生衰變生成鐳核麗 皿 并放出一個(gè)粒子。設(shè)該粒子的質(zhì)量為 朋、 電荷量為q，它進(jìn)入電勢差為 U的帶窄縫的平行平板電極 經(jīng)電場加速后，沿方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B、方向垂直紙面向外的有界勻強(qiáng)磁場，直平板電極當(dāng)粒子從P點(diǎn)離開磁場時(shí)，其速

34、度方向與 0!方位的夾角，如圖所示，整個(gè)裝置處于真空中。(1)寫出釷核衰變方程;(2)求粒子在磁場中沿圓弧運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R；(3)求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間O解析：（1）釷核衰變方程(2)設(shè)粒子離開電場時(shí)速度為F ,對(duì)加速過程有qvB - w 粒子在磁場中有.由、得(3)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的回旋周期粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間由、得3qB、帶電粒子在磁場中軌道半徑變化問題導(dǎo)致軌道半徑變化的原因有： 帶電粒子速度變化導(dǎo)致半徑變化。如帶電粒子穿過極板速度變化；帶電粒子使空氣電離導(dǎo)致速度變化；回旋加速器加速帶電粒子等。磁場變化導(dǎo)致半徑變化。如通電導(dǎo)線周圍磁場，不同區(qū)域的勻強(qiáng)磁場不同；磁場隨時(shí)間變化。動(dòng)量變化導(dǎo)致

35、半徑變化。如粒子裂變，或者與別的粒子碰撞；電量變化導(dǎo)致半徑變化。如吸收電tnvr -荷等。總之，由 ："看m v、q、B中某個(gè)量或某兩個(gè)量的乘積或比值的變化就會(huì)導(dǎo)致帶電粒子的軌道半徑變化。X 腫X1X XXXX X場XXX V XXXXXX如XX筈XXX XXXX XXX（06年全國2）如圖所示，在xv 0與x>0的區(qū)域中，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B與B2的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，且B> B2。一個(gè)帶負(fù)電的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v沿x軸負(fù)方向射出，要使該粒子經(jīng)過一段時(shí)間后又經(jīng)過O點(diǎn)，B與B的比值應(yīng)滿足什么條件？解析：粒子在整個(gè)過程中的速度大小恒為 V,交替地在x

36、y平面內(nèi)B與B磁場區(qū)域中做 勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡都是半個(gè)圓周。設(shè)粒子的質(zhì)量和電荷量的大小分別為m和q,圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為和2，有分析粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡。如圖所示，在xy平面內(nèi)，粒子先沿半徑為 ri的半圓C運(yùn)動(dòng)至y軸上離O點(diǎn)距離為2 r i的A點(diǎn)，接著沿半徑為2 r 2的半圓D運(yùn)動(dòng)至y軸的O點(diǎn)，OO距離d= 2 （2 r 1）AA ,此后，粒子每經(jīng)歷一次“回旋”（即從y軸出發(fā)沿半徑ri的半圓和半徑為2的半圓回到原點(diǎn)下方y(tǒng)軸），粒子y坐標(biāo)就減小do設(shè)粒子經(jīng)過n次回旋后與y軸交于O點(diǎn)。若OO即nd滿足 nd= 2ri 則粒子再經(jīng)過半圓 G+i就能夠經(jīng)過原點(diǎn)，式中 n = 1, 2, 3,為回旋次數(shù)。由式

37、解得；1 '由式可得B、B應(yīng)滿足的條件二 -n= 1, 2, 3,三、帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題和帶電粒子在多磁場中運(yùn)動(dòng)問題帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題的原因有：粒子運(yùn)動(dòng)范圍的空間臨界問題； 磁場所占據(jù)范圍的空間臨界問題， 運(yùn)動(dòng)電荷相遇的時(shí)空臨界問題等。 審題時(shí)應(yīng)注意恰好，最大、最多、 至少等關(guān)鍵字（07全國1）兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點(diǎn)O為原點(diǎn)，如圖所示。在 y>0，0<x<a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場， 在y>0, x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。在

38、O點(diǎn)處有一小孔，一束質(zhì)量為m帶電量為q （q>0）的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值.已知速度最大的粒子在 0<x<a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與在x>a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2: 5，在磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為 7T/12，其中T為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)的周期。試求兩個(gè)熒光屏上亮線的范圍（不計(jì)重力的影響）。dL-yXX p'K*IIXX 1XXII*I-XXIk1 >1*xX解析：粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)半徑為:速度小的粒子將在 x<a的區(qū)

39、域走完半圓，射到豎直屏上。半圓的直徑在y軸上，半徑的 范圍從0到a,屏上發(fā)亮的范圍從0到2a。軌道半徑大于a的粒子開始進(jìn)入右側(cè)磁場，考慮r=a的極限情況，這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與x軸在D點(diǎn)相切（虛線），0!=2a，這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界。33速度最大的粒子的軌跡如圖中實(shí)線所示，它由兩段圓弧組成，圓心分別為 在y軸上，有對(duì)稱性可知 一在x=2a直線上。設(shè)ti為粒子在0<x<a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，t2為在x>a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由題意可由式和對(duì)稱性可得二m 二亠 ' MS噸網(wǎng) 所以 ZW=150fl-60B = 90D*衛(wèi)12T5T,一12由此解得:33即弧長AP

40、為1/4圓周。因此，圓心 /在x軸上。設(shè)速度為最大值粒子的軌道半徑為R有直角hCOCf可得2R sin 60"二 2a3由圖可知OP=2s+R因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標(biāo)四、帶電粒子在有界磁場中的極值問題尋找產(chǎn)生極值的條件： 直徑是圓的最大弦； 同一圓中大弦對(duì)應(yīng)大的圓心角；由軌跡確定半徑的極值。有一粒子源置于一平面直角坐標(biāo)原點(diǎn)0處，如圖所示相同的速率 Vo向第一象限平面內(nèi)的不同方向發(fā)射電子，已知電子質(zhì)量為m電量為e。欲使這些電子穿過垂直于紙面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場后，都能平行于 x軸沿+x方向運(yùn)動(dòng)，求該磁場方向和磁場區(qū)域的最小 面積s。解析：由于電子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)

41、的半徑R= mv/Be是確定的，設(shè)磁場區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動(dòng)軌道如圖所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，所以電子運(yùn)動(dòng)的最上面一條軌跡必為圓 O,它就是磁場的上邊界。 其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為 以點(diǎn)O為圓心，以R為半徑的圓弧 OOO。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場，故由幾何知識(shí)有電子的飛出點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)。如對(duì)圖中任一軌跡圓 0而言，要使電子能平行于x軸向右飛出磁場，過 Q作弦的垂線 OA,則電子必將從點(diǎn) A飛出，相當(dāng)于 將此軌跡的圓心 02沿y方向平移了半徑 R即為此電子的出場位置。 由此可見我們將軌跡的圓 心組成的圓弧 OQO沿y方向向上平移了半徑 R

42、后所在的位置即為磁場的下邊界，圖中圓弧 OAP示。綜上所述，要求的磁場的最小區(qū)域?yàn)榛AP與弧OBP所圍。利用正方形 OOPC的面積減去扇形OOP的面積即為 OBPC勺面積；即R2- n R/4。根據(jù)幾何關(guān)系有最小磁場區(qū)域的面 積為 S= 2 ( R2- n R/4 ) = ( n /2 -1 ) ( mvo/Be) 2。五、帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)問題復(fù)合場包括：磁場和電場，磁場和重力場，或重力場、電場和磁場。有帶電粒子的平衡 問題，勻變速運(yùn)動(dòng)問題，非勻變速運(yùn)動(dòng)問題， 在解題過程中始終抓住洛倫茲力不做功這一特 點(diǎn)。粒子動(dòng)能的變化是電場力或重力做功的結(jié)果。(07四川)如圖所示，在坐標(biāo)系Oxy的第

43、一象限中存在沿 y軸正方形的勻強(qiáng)電場， 場強(qiáng)大小為E。在其它象限中存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里。A是y軸上的一點(diǎn)，它到座標(biāo)原點(diǎn)O的距離為h； C是x軸上的一點(diǎn)，至U O點(diǎn)的距離為I，一質(zhì)量為m電荷量為q 的帶負(fù)電的粒子以某一初速度沿 x軸方向從A點(diǎn)進(jìn)入電場區(qū)域，繼而通過C點(diǎn)進(jìn)入大磁場區(qū) 域，并再次通過 A點(diǎn)。此時(shí)速度方向與 y軸正方向成銳角。不計(jì)重力作用。試求：XXXXXXX X爐X x xPXXXXXXXXXXXXXL-1Xw-XXXXXXXXXXX(1) 粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度的大小合方向；(2) 磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小 Bo解析：(1)以a表示粒子在電場作用下的加速度，有加速度沿y軸負(fù)方向。設(shè)粒子從? 1h 二at2的時(shí)間為t，則有A點(diǎn)進(jìn)入電場時(shí)的初速度為vo,由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)經(jīng)歷由式得vo =設(shè)粒子從點(diǎn)進(jìn)入磁場時(shí)的速度為v, v垂直于x軸的分量由式得Vi設(shè)粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度方向與 X軸的夾角為a,則有tan a = 11.(2)粒子經(jīng)過 則有由式得C點(diǎn)進(jìn)入磁場后在磁場中作速率為v的圓周運(yùn)動(dòng)。若圓周的半徑為RVqvB =