高等數(shù)學(xué)上冊(cè)公式整合

1、高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：一些初等函數(shù)： 兩個(gè)重要極限：三角函數(shù)公式：·誘導(dǎo)公式： 函數(shù)角Asincostgctg-sincos-tg-ctg90°-cossinctgtg90°+cos-sin-ctg-tg180°-sin-cos-tg-ctg180°+-sin-costgctg270°-cos-sinctgtg270°+-cossin-ctg-tg360°-sincos-tg-ctg360°+sincostgctg·和差角公式： ·和差化積公式：

2、83;倍角公式：·半角公式：·正弦定理： ·余弦定理： ·反三角函數(shù)性質(zhì)：高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式：中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：曲率：定積分的近似計(jì)算：定積分應(yīng)用相關(guān)公式：空間解析幾何和向量代數(shù)：多元函數(shù)微分法及應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用：方向?qū)?shù)與梯度：多元函數(shù)的極值及其求法：重積分及其應(yīng)用：柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：曲線積分：曲面積分：高斯公式：斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)審斂法：絕對(duì)收斂與條件收斂：冪級(jí)數(shù)：函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：一些函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：歐拉公式：三角級(jí)數(shù)：傅立葉級(jí)數(shù)：周期為的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)：微分方程的相關(guān)

3、概念：一階線性微分方程：全微分方程：二階微分方程：二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根兩個(gè)相等實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第一篇 函數(shù)、連續(xù)、極限 本章重點(diǎn)、熱點(diǎn)及?？碱}型特別注意：數(shù)一、二、三、四考查要求基本相同。屬二級(jí)重點(diǎn)章。 重點(diǎn)、熱點(diǎn)求極限。求函數(shù)的極限是每年的必考題。本章的另一塊內(nèi)容判斷函數(shù)是否連續(xù)，其實(shí)質(zhì)仍是求函數(shù)極限。所以本章只要抓住了極限就基本上把握了全章的核心內(nèi)容，求極限的方法很多但在考試中常用的主要有1 利用極限的四則運(yùn)算法則求極限（這是求極限的最基本知識(shí)）2 利用重要極限求極限3 利用羅必達(dá)法則求極限（求關(guān)于函數(shù)的未定式的極限）

4、4 利用無(wú)窮小替換（它往往在求極限的過(guò)程中使用能使問(wèn)題簡(jiǎn)化）5 利用夾逼定理6 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則（主要求通項(xiàng)由遞推公式給出的極限）7 利用定積分定義（主要求通項(xiàng)是項(xiàng)和的數(shù)列的極限）8 利用導(dǎo)數(shù)定義求極限（主要用于已知條件中給出函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)求關(guān)于該函數(shù)的某個(gè)極限）9 利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（這一條不會(huì)單獨(dú)命題，但它常用在求極限的過(guò)程中，是求極限的基礎(chǔ)知識(shí)）10利用極限與無(wú)窮小的關(guān)系（主要用于已知極限，求另一形式的極限）典型題型典型題型一：求未定式的極限典型的未定式共有七種：。讀者在遇到這七種未定式時(shí)，建議采用羅必達(dá)法則試一試。（使用羅畢達(dá)法則時(shí)應(yīng)注意：（1）使用羅畢達(dá)法則時(shí)，要先判定是否為或；（2

5、）在使用法則前應(yīng)先化簡(jiǎn)，（3）當(dāng)不存在（或非）時(shí)，不能推出不存在（4）當(dāng)時(shí)，若式子中含有（或時(shí)，式子中含有）則不宜使用羅畢達(dá)法則。典型題型二： 求非未定式的極限這類題通常要利用函數(shù)的連續(xù)性、極限的四則運(yùn)算法則、定積分定義、夾逼定理、無(wú)窮小性質(zhì)來(lái)完成。在近幾年的考試中，求函數(shù)的極限還是絕大部分以求未定式函數(shù)的極限為主。典型題型三：無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較在近年來(lái)的考試中經(jīng)常出現(xiàn)，解這類題的根本方法還是求極限，同樣可用羅必達(dá)法則、泰勞展開(kāi)式等求極限的方法考查。下面給出一些常用的等價(jià)無(wú)窮??；當(dāng)時(shí)， ，典型題型四：判斷函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)的類型此類題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)的極限。這種題一般與函數(shù)的可導(dǎo)性連在一

6、起，并且考到的知識(shí)點(diǎn)還包括變上限積分函數(shù)的求導(dǎo)等。典型題型五：討論函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)或方程在給定區(qū)間上有無(wú)實(shí)根解這類題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么1在上有界；2在上有最大、最小值；3若是介于間的任何一個(gè)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)，使；4若，則至少存在一點(diǎn)，使得典型題型六：求分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)分段函數(shù)的復(fù)合要注意定義域，適用方法分析法。典型題型七：已知數(shù)列的前幾項(xiàng)數(shù)值及通項(xiàng)表達(dá)式，求數(shù)列的極限此類題利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求，求解程序：（1）判斷極限的存在性（單調(diào)性、有界性，方法可用數(shù)學(xué)歸納法或不等式的放縮法）。（2）先令，然后在通項(xiàng)的兩邊取極限得出的方程，求出的值，從而求得極限典型題型八

7、：分段函數(shù)中參數(shù)的確定此類題的基本思路是：根據(jù)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的性質(zhì)來(lái)確定所含常數(shù)的值。（注意函數(shù)在一點(diǎn)存在極限、在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件）第二篇 一元函數(shù)微分學(xué)本章重點(diǎn)、熱點(diǎn)及?？碱}型特別注意：該章內(nèi)容數(shù)一、二、三、四都考，主要內(nèi)容大同小異，請(qǐng)注意大綱的細(xì)微差別。屬于一級(jí)重點(diǎn)章。 重點(diǎn)、熱點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)和微分的定義，掌握用導(dǎo)數(shù)定義討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)的可導(dǎo)性。注意可導(dǎo)與可微，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。2 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式、微分公式（要熟記），及反函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)。3 羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勞中值定理的應(yīng)用（泰勞中值定理只有數(shù)一、數(shù)二考）。4 用導(dǎo)數(shù)研究

8、函數(shù)的形態(tài)（單調(diào)、極值、凹凸、拐點(diǎn)、漸近線）以及最值應(yīng)用。典型題型典型題型一：求函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分（包括高階導(dǎo)數(shù)）。高階導(dǎo)數(shù)是?？紗?wèn)題，另外應(yīng)注意隱函數(shù)、參數(shù)方程確定的函數(shù)，反函數(shù)的求導(dǎo)。典型題型二：利用中值定理證明有關(guān)等式1 證明至少存在一點(diǎn)，使；一般思路：（1）找的一個(gè)子區(qū)間，使（2）對(duì)在區(qū)間上使用羅爾定理2 證明至少存在一點(diǎn)，使為的函數(shù)；一般思路：（1）利用倒推法（或常數(shù)變易法）構(gòu)造輔助函數(shù)（2）找的一個(gè)子區(qū)間，使（3）對(duì)在區(qū)間上使用羅爾定理，可得到所證結(jié)論3 證明至少存在兩點(diǎn)，滿足某等式一般思路：（1）將欲證結(jié)論化為一端只含，另一端只含的形狀。（2）根據(jù)含一端的形狀，選擇在區(qū)間上使用拉格朗

9、日或柯西中值定理得到關(guān)于的一個(gè)關(guān)系式（*）（3）根據(jù)含一端的形狀，選擇在區(qū)間上使用拉格朗日或柯西中值定理得到關(guān)于的一個(gè)關(guān)系式（*）（4）結(jié)合（*），（*）式可得欲證結(jié)論。4 證明至少存在一點(diǎn)，使一般思路：（1）構(gòu)造輔助函數(shù)（2）驗(yàn)證滿足羅爾定理?xiàng)l件，（3）由羅爾定理得出所證結(jié)論常用輔助函數(shù)的一般構(gòu)造方法：（1） 將欲證結(jié)論中的換成（2） 通過(guò)恒等變形將式子化為易于消去導(dǎo)數(shù)符號(hào)的形式（3） 通過(guò)觀察法或積分法求出原函數(shù)（即不含導(dǎo)數(shù)符號(hào)的式子）（4） 移項(xiàng)使等式一端為零，另一端為所求輔助函數(shù)5 如已知條件中出現(xiàn)了高階導(dǎo)數(shù)，且知道最高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)這種等式的證明一般用泰勞公式完成一般思路：（1） 根據(jù)已

10、知條件或欲證明的結(jié)論選取展開(kāi)的點(diǎn)。（如已知條件中給出了某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，或在區(qū)間內(nèi)部某點(diǎn)取到最大或最小值，一般選此點(diǎn)為）（2） 將函數(shù)在點(diǎn)展開(kāi)為階泰勞公式一般取為比已知條件中的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)減一的數(shù)值）（3） 利用展開(kāi)式湊出結(jié)論。典型題三：證明不等式1證明代數(shù)不等式（一般用微分中值定理完成）2證明函數(shù)不等式（一般用單調(diào)性完成）3，證明函數(shù)與數(shù)之間的不等式（一般用最大、最小值完成）5 如已知條件中出現(xiàn)了高階導(dǎo)數(shù)，且給出了最高階導(dǎo)數(shù)的取值范圍，此類不等式的證明一般用泰勞公式完成。典型題四：關(guān)于方程的根的討論1證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 解這種題一般思路有兩種：思路一利用零點(diǎn)定理完成（1） 構(gòu)造輔助函

11、數(shù)（將方程移項(xiàng)，一端為零，另一端全部為）；（2） 找的一個(gè)子區(qū)間，使（3） 將在區(qū)間使用零點(diǎn)定理即可。思路二利用羅爾定理完成（1） 構(gòu)造輔助函數(shù)（將方程移項(xiàng)，一端為零，則另一端的原函數(shù)為）；（2） 找的一個(gè)子區(qū)間，使（3） 對(duì)在區(qū)間上使用羅爾定理，可得到所證結(jié)論說(shuō)明：對(duì)此類題應(yīng)先嘗試思路一如不能解決問(wèn)題再用思路二2證明方程在內(nèi)有唯一實(shí)根一般思路：（1） 先證明方程至少有一個(gè)實(shí)根（2） 證明方程至多有一個(gè)實(shí)根（一般用單調(diào)性或用反證法）說(shuō)明：對(duì)此類題一般是用零點(diǎn)定理證明至少有一個(gè)，用單調(diào)性證明至多有一個(gè)。3討論方程有幾個(gè)實(shí)根。一般思路;（1） 構(gòu)造輔助函數(shù)（將方程移項(xiàng)，一端為零，則另一端為）；（2

12、） 求出函數(shù)的定義域（3） 在定義域內(nèi)求出和不存在的點(diǎn)（4） 這些點(diǎn)將定義域分成許多小區(qū)間，在每一個(gè)小區(qū)間上利用零點(diǎn)定理判定方程是否有根（如有則只有一個(gè)）。4已知方程實(shí)根個(gè)數(shù)確定方程中參數(shù)的取值范圍一般思路（同上）典型題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)和描述函數(shù)的圖形(應(yīng)特別注意漸近線的求法)典型題型六：應(yīng)用題（在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用）第三篇 一元函數(shù)積分學(xué)本章重點(diǎn)、熱點(diǎn)及?？碱}型特別注意：該章內(nèi)容對(duì)數(shù)一、二、三、四考查要求基本相同，屬于一級(jí)重點(diǎn)章。重點(diǎn)、熱點(diǎn)1定積分的概念；2定積分與不定積分的換元積分法積分部積分法； 3積分等式與積分不等式的證明，在此應(yīng)注意中值定理的理解和應(yīng)用。4運(yùn)用定

13、積分求弧長(zhǎng)、求面積、求旋轉(zhuǎn)體的體積，求變力沿直線做功、求靜液側(cè)壓力、求引力。對(duì)于用定積分求面積、弧長(zhǎng)、體積等的公式，讀者當(dāng)然要在理解的基礎(chǔ)上熟記。（請(qǐng)讀者特別注意此部分知識(shí)與切線，最大最小值結(jié)合的綜合性的題）典型題型典型題型一 ：計(jì)算不定積分、定積分及廣義積分。 做這類題最常用的方法是分部積分與換元積分法。應(yīng)注意下面幾點(diǎn)（1） 關(guān)于換元積分法常見(jiàn)的幾種情況及對(duì)策 如被積函數(shù)中含有，分別應(yīng)作變量代換：，將根式去掉變成三角函數(shù)的積分； 如被積函數(shù)是由所構(gòu)成的代數(shù)式時(shí)，一般用指數(shù)代換來(lái)求解； 如被積函數(shù)分子、分母的最高次數(shù)分別為且，此時(shí)一般可考慮用倒代換來(lái)解決（2） 關(guān)于分部積分法常見(jiàn)的幾種情況（下

14、列式中為多項(xiàng)式）如被積函數(shù)為，令；如被積函數(shù)為，令；如被積函數(shù)為，令；如被積函數(shù)為，令；如被積函數(shù)為，兩種函數(shù)都可作；如被積函數(shù)中含抽象函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，一般用分部積分，抽象函數(shù)導(dǎo)函數(shù)與湊出；如被積函數(shù)中含變上限的定積分，一般用分部積分，變上限的定積分作。另外值得注意：如果在考研的試題中見(jiàn)到被積函數(shù)中含有反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)這種類型的積分一般都是用分部積分來(lái)做的，其中反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)應(yīng)作。典型題型二：關(guān)于變上限定積分的題目，比如求導(dǎo)數(shù)、求極限等。變上限的積分求導(dǎo)數(shù)、求極限，都是利用變上限積分的求導(dǎo)公式，故應(yīng)記住下列公式（1） 設(shè)在上連續(xù)，則，都有 （2） 一般典型題型三：關(guān)于積分等式的證明（1

15、） 僅知被積函數(shù)連續(xù)的積分等式的證明此類題一般用換元積分法完成。注意：作何變量代換，主要是考察等式兩邊關(guān)于被積函數(shù)或其主要部分的形式來(lái)確定。例如一端的被積函數(shù)或其主要部分為，另一端為，則令。若一端為，另一端為，則所作的變換通過(guò)分析等式兩端的積分限去確定。（若一端為，另一端為。由于，于是，令，而不是由積分限來(lái)確定）（2） 積分限上含的積分等式的證明此類題看成“證明方程至少有一個(gè)實(shí)根”這類題型，利用相應(yīng)的方法來(lái)解決。（3） 被積函數(shù)中含抽象函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，或變上限的定積分的積分等式的證明此類題一般采用分部積分法完成。（4） 已知條件中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)，并求給出了最高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的的積分等式的證明此類題一般

16、用泰勞公式完成。注意：做這類題時(shí)，需對(duì)變上限的定積分進(jìn)行泰勞展開(kāi)，展開(kāi)成泰勞公式的的階數(shù)為已知條件中給出的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，而變上限的定積分為把所證等式中的定積分的上限換成變量。典型題型四：關(guān)于積分不等式的證明（1） 已知被積函數(shù)連續(xù)且單調(diào)的積分不等式的證明 此類題一般用“單調(diào)性”來(lái)完成。做題思路為：(a) 構(gòu)造輔助函數(shù) 構(gòu)造輔助函數(shù)的一般方法為：將所證積分不等式中的積分上限換成變量，不等式中相應(yīng)字母也變成，然后移項(xiàng)，使其一端為零，另一端即為。(b) 判定的單調(diào)性(c ) 計(jì)算在某點(diǎn)的函數(shù)值，得到所證不等式。注意：對(duì)僅知道被積函數(shù)連續(xù)的積分不等式的證明一般也采用此方法完成。（2） 如果所證明積

17、分不等式的一端為積分的平方（即形如）或平方的積分（即形如）此類題一般用“柯西不等式來(lái)完成”?？挛鞑坏仁綖椋骸捌渲小保?） 如果已知被積函數(shù)可導(dǎo)，且被積函數(shù)在積分區(qū)間的某個(gè)端點(diǎn)上函數(shù)值為零的積分不等式的證明此類題一般用拉格朗日中值定理來(lái)完成。（4） 已知條件中給出了高階導(dǎo)數(shù)，且給出了最高階導(dǎo)數(shù)的取值范圍的積分不等式的證明此類題一般用泰勞公式來(lái)完成。（需對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行泰勞展開(kāi)）典型題型五：關(guān)于積分中值定理的證明題關(guān)于這種類型的證明題，主要是對(duì)積分中值定理運(yùn)用的考查，這類題一般容易解決。典型題六：利用定積分求面積、旋轉(zhuǎn)體體積及引力、功等物理量 這一類題應(yīng)注意“微元法”的思想，記住一些常用公式。 第四

18、篇 空間解析幾何本章重點(diǎn)、熱點(diǎn)及?？碱}型特別注意：該章內(nèi)容只適用于數(shù)學(xué)一的考生。屬于非重點(diǎn)章。本章的重點(diǎn)是向量的運(yùn)算、平面的各種方程、直線的各種方程、以及直線與直線、平面與平面、直線與平面之間的關(guān)系。本章需記住下面兩個(gè)常用的公式1 點(diǎn)到平面的距離2 點(diǎn)到直線的距離 典型題型典型題型一：求直線或平面的方程典型題型二：確定直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的關(guān)系此類題多出現(xiàn)在選擇題中。典型題三：求旋轉(zhuǎn)曲面、柱面的方程典型題四：與多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用相結(jié)合的綜合性的題第五篇 多元函數(shù)微分學(xué)本章重點(diǎn)、熱點(diǎn)及常考題型特別注意：本章內(nèi)容數(shù)一、二、三、四都考。屬于一級(jí)重點(diǎn)章重點(diǎn)、熱點(diǎn)1 多元函數(shù)

19、偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念；2 偏導(dǎo)數(shù)和全微分的計(jì)算，特別是求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)及隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；3 方向?qū)?shù)與梯度（只對(duì)數(shù)學(xué)一要求）；4 多元函數(shù)微分在幾何上的應(yīng)用（只對(duì)數(shù)學(xué)一要求）；5 多元函數(shù)極值和條件極值；典型題型典型題型一：求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（一般為一階、二階）主要是在二元、三元領(lǐng)域里，在對(duì)一個(gè)變量求偏導(dǎo)時(shí)，把其余變量當(dāng)作常數(shù)處理。典型題型二：求復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（1） 復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)是近幾年的典型考試題，解此類題需把握兩點(diǎn)(a) 借助函數(shù)的復(fù)合關(guān)系圖，弄清變量之間的復(fù)合關(guān)系；(b) 在對(duì)其中一個(gè)自變量求偏導(dǎo)后，所得到的偏導(dǎo)函數(shù)仍然是復(fù)合函數(shù)，復(fù)合關(guān)系圖與原函數(shù)

20、的復(fù)合關(guān)系圖一致。（2） 隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)有兩種情況(a) 一個(gè)方程確定的隱函數(shù)：設(shè)由方程確定，則（其中）(b) 方程組確定的隱函數(shù)：設(shè)確定隱函數(shù)，則可求得，從而， 。典型題型三：求方向?qū)?shù)與梯度若函數(shù)在點(diǎn)處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在，且注意：梯度是一個(gè)向量，方向?qū)?shù)是一個(gè)數(shù)。方向?qū)?shù)就是梯度在向量上的投影，而梯度的模就是在點(diǎn)的最大的方向?qū)?shù)。典型題型四：求空間曲線的切線與法平面方程，求空間曲面的切平面和法線方程對(duì)此類題一般為多元函數(shù)微分學(xué)與上一篇向量代數(shù)與空間解析幾何的綜合題，除應(yīng)記住空間曲線在其上一點(diǎn)處的切向量，空間曲面在其上一點(diǎn)處的法向量的計(jì)算公式外應(yīng)與前一篇結(jié)合在一起復(fù)

21、習(xí)。（1）曲線在處的切向量；（2）。曲線上點(diǎn)處的切向量為（3）。曲面上點(diǎn)處的法向量為 典型題型五：多元函數(shù)極值在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用題。（?？季C合性的題）極值應(yīng)用題多要用到其它領(lǐng)域的知識(shí)，特別在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用涉及到經(jīng)濟(jì)學(xué)的一些概念和規(guī)律，考生在復(fù)習(xí)是應(yīng)引起特別的注意。（1） 極值存在的必要條件 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有極值，且偏導(dǎo)數(shù)存在，那么（2） 極值存在的充分條件 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn)，令，則在點(diǎn)是否取得極值的條件如下： (a)時(shí)有極值；且是有極大值；時(shí)有極小值。 (b)時(shí)沒(méi)有極值 (c)時(shí)需進(jìn)一步討論（3） 條件極值的拉格朗日乘數(shù)法 在約束條

22、件之下求目標(biāo)函數(shù)的極值(a) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) （b）求駐點(diǎn)解方程組從中求出(c )判斷是否為極值點(diǎn)。注意：如有幾個(gè)條件的約束，可設(shè)拉格朗日乘數(shù)為。第六篇 多元函數(shù)積分學(xué)本章重點(diǎn)、熱點(diǎn)及常考題型 特別注意：該章內(nèi)容數(shù)一全考，數(shù)二、三、四考查要求較少，請(qǐng)注意大綱對(duì)該部分的具體考查要求。是一級(jí)重點(diǎn)章 重點(diǎn)、熱點(diǎn)1 重積分的計(jì)算。2 格林公式以及平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，并會(huì)利用它們計(jì)算曲線積分3 曲面積分的計(jì)算4 高斯公式與斯托克斯公式的應(yīng)用5 散度與旋度的計(jì)算6 重積分與曲線、曲面積分在幾何、物理中的應(yīng)用。典型題型典型題型一：二次積分交換積分次序 解題思路（1） 寫(xiě)出二重積分積分域的不等式

23、 （2） 畫(huà)出域的圖形（3） 寫(xiě)出另一種次序下的二次積分典型題型二：計(jì)算二重積分 解題思路（1）畫(huà)出域的圖形（2）根據(jù)圖形判定能否利用對(duì)稱性將二重積分簡(jiǎn)化（3）選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（4） 如果選擇直角坐標(biāo)系還應(yīng)適當(dāng)選擇積分的先后次序（原則是“先積的積分比較容易積出”）（5） 轉(zhuǎn)化為二次積分計(jì)算注：二重積分的對(duì)稱性*如果積分域關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中是被軸分出來(lái)的其中一部分。*如果積分域關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中是被軸分出來(lái)的其中一部分。*如果積分域關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中是被直線分出來(lái)的其中一部分。典型題型三：計(jì)算三重積分典型題型四：重積分在幾何、物理中的應(yīng)用讀者在這類題中不要化太多的精力，只要記住公式即可。

24、典型題型五：對(duì)弧長(zhǎng)和對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算及格林公式的應(yīng)用（1） 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算方法有兩種（積分曲線為平面曲線）。第一種：利用對(duì)稱性來(lái)完成（對(duì)稱性類似二重積分的對(duì)稱性）第二種：利用定積分計(jì)算（第一類曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算時(shí)，注意定積分的上限一定大于下限）說(shuō)明：計(jì)算第一類曲線積分時(shí)，應(yīng)首先分析能否利用對(duì)稱性來(lái)化簡(jiǎn)。（2） 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法有兩種（積分曲線為平面曲線）。第一種：利用定積分計(jì)算（第二類曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算時(shí)，注意定積分的下限一定對(duì)應(yīng)曲線的起點(diǎn)，上限一定對(duì)應(yīng)曲線的終點(diǎn)）第二種：利用二重積分計(jì)算（借助格林公式完成）。（3） 兩類曲線積分的關(guān)系其中是上點(diǎn)處與方向一致

25、的切向量的方向角典型題型六：對(duì)面積和對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算及高斯公式的應(yīng)用。（1） 對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算方法有三種第一種：利用對(duì)稱性計(jì)算（對(duì)稱性的類似三重積分的對(duì)稱性）第二種：利用二重積分計(jì)算（這是最基本的一種方法）第三種：利用三重積分計(jì)算（先將第一類曲面積分轉(zhuǎn)化為第二類曲面積分，然后利用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分。此方法適應(yīng)于積分曲面的方程沒(méi)有給出具體表達(dá)式的第一類曲面積分）說(shuō)明：計(jì)算第一類曲面積分時(shí)，應(yīng)首先分析能否利用對(duì)稱性來(lái)化簡(jiǎn)（2） 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算方法有三種 第一種：利用二重積分計(jì)算。（這是最基本的一種方法） 第二種：利用三重積分計(jì)算。（借助于高斯公式完成） 第三種：轉(zhuǎn)化為第一類

26、曲面積分計(jì)算。（此方法一般適應(yīng)于積分曲面是平面的第二類曲面積分）典型題型七：空間曲線上的第二類曲線積分的計(jì)算 此類題用斯托可斯公式或定積分來(lái)計(jì)算。典型題八：散度、旋度的計(jì)算設(shè)向量，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則散度 旋度 典型題型九：曲線、曲面積分在幾何、物理上的應(yīng)用此類題只要記住公式即可。 第七篇 無(wú)窮級(jí)數(shù)本章重點(diǎn)、熱點(diǎn)及?？碱}型特別注意：該章內(nèi)容數(shù)一、三考，數(shù)二、四不考。數(shù)一屬于一級(jí)重點(diǎn)章，數(shù)三為二級(jí)重點(diǎn)章。重點(diǎn)、熱點(diǎn)1 判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性2 證明數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散3 求冪級(jí)數(shù)的收斂域4 將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)5 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)或求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和6 將函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理典

27、型題型典型題型一：判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 首先判別級(jí)數(shù)的類型若是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則（1） 求，若，則級(jí)數(shù)發(fā)散；若=0，進(jìn)一步判別。（2） 根據(jù)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)的特點(diǎn)選擇判別法(a)一般項(xiàng)中含或是幾個(gè)因式乘積的形式，一般用比值法。(b)一般項(xiàng)中含因子的一般用比較判別法，比較判別法的實(shí)質(zhì)是比無(wú)窮小量的階 ，比較的主要對(duì)象是級(jí)數(shù)，等比級(jí)數(shù)。（3） 某些級(jí)數(shù)可以利用已知斂散的一些級(jí)數(shù)結(jié)合級(jí)數(shù)的性質(zhì)判別其收斂性（4） 最后利用定義。若是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，則（1） 求，若，則級(jí)數(shù)發(fā)散；若=0，進(jìn)一步判別。（2） 判別級(jí)數(shù)，若收斂，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若發(fā)散，則看是否為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。 若是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則用萊布尼茲判別法判別（若滿足萊布尼茲

28、判別法），若收斂則為條件收斂；若是交錯(cuò)級(jí)數(shù)但不能用萊布尼茲判別法判別或不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，則用定義判別。典型題型二：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的證明題 證明通項(xiàng)沒(méi)有給出具體表達(dá)式的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散請(qǐng)注意下列幾點(diǎn)（1） 已知某級(jí)數(shù)收斂，欲證另一級(jí)數(shù)收斂，一般不用比值判別法和根值判別法，而用比較判別法。已知收斂的級(jí)數(shù)用作比較的級(jí)數(shù)。（2） 已知某數(shù)列有某種性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、有極限）欲證某級(jí)數(shù)收斂，通常是利用這些性質(zhì)對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的通項(xiàng)作某種估計(jì)，再利用比較判別法或級(jí)數(shù)斂散的定義（3） 若欲證級(jí)數(shù)的通項(xiàng)與已知斂散的級(jí)數(shù)的通項(xiàng)有某種四則運(yùn)算關(guān)系，一般用級(jí)數(shù)斂散的定義完成。典型題型三：求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或求冪級(jí)數(shù)的

29、收斂域解題思路（1） 求（2） 解不等式，得到級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間（3） 考察時(shí)對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)與的斂散性（4） 寫(xiě)出級(jí)數(shù)的收斂域。 注意：收斂區(qū)間和收斂域是兩個(gè)不同的概念，收斂區(qū)間總是開(kāi)區(qū)間。典型題型四：將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)將函數(shù)在某點(diǎn)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)有兩種方法：直接展開(kāi)法和間接展開(kāi)法，一般用間接展開(kāi)法（即利用下面的七個(gè)展開(kāi)式，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q、四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算以及“逐項(xiàng)積分”、“逐項(xiàng)求導(dǎo)”將一個(gè)函數(shù)展開(kāi)成要求形式的冪級(jí)數(shù)）常用的七個(gè)展開(kāi)式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7） 注意：反三角函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，首先對(duì)其導(dǎo)函數(shù)展開(kāi)，然后利用逐項(xiàng)積分得到反三角函數(shù)的展開(kāi)式；對(duì)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，或者利用上面

30、的公式（4）展開(kāi)，或者先對(duì)其導(dǎo)函數(shù)展開(kāi)，然后利用逐項(xiàng)積分得到對(duì)數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式。典型題型五：冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)解題思路（1） 求出冪級(jí)數(shù)的收斂域；（2） 通過(guò)逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)微分把給定的冪級(jí)數(shù)的系數(shù)中的一部分因子去掉，化為七個(gè)展開(kāi)是中的一種形式，從而得出新級(jí)數(shù)的和函數(shù)（3） 對(duì)于得到的和函數(shù)作相反的分析運(yùn)算，便得到原冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)注意：對(duì)于無(wú)論怎樣都無(wú)法借助七個(gè)展開(kāi)式求出和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)，一般是通過(guò)建立關(guān)于該冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的微分方程來(lái)完成。典型題型六：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和解此類題常用方法有兩種：第一種：“定義法” 設(shè)有數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，將的通項(xiàng)拆成，此時(shí)級(jí)數(shù)的部分和為，其中存在，則。第二種：“構(gòu)造冪級(jí)數(shù)法” （此法比較重要）設(shè)有數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，構(gòu)造一個(gè)相應(yīng)的冪級(jí)數(shù)，求出該冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則。典型題型七：傅里葉級(jí)數(shù)只需記住傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理并會(huì)使用、記住求傅里葉系數(shù)的公式便可。 第八篇 微分方程本章重點(diǎn)、熱點(diǎn)及?？碱}型特別注意：該章內(nèi)容全部考生都考，但考查