2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版必修五學(xué)案：2.2.1等差數(shù)列的概念

1、2. 2.1 等差數(shù)列的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解等差數(shù)列的定義 2 會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的問題.3掌握等差中項(xiàng)的概念.問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列的概念 思考給出以下三個(gè)數(shù)列：(1) 0,5,10,15,20 ;(2) 4,4,4,4，；(3) 18,15.5,13,10.5,8,5.5.它們有什么共同的特征？梳理 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 _項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)_ ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 _ ，公差通常用字母 d 表示，可正可負(fù)可為零.知識(shí)點(diǎn)二等差中項(xiàng)的概念思考 所給的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后三個(gè)

2、數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列:(1)2,4 ; (2) - 1,5; (3)a, b; (4)0,0.2.2數(shù)列等差數(shù)列a + ba + b梳理 如果 a, A, b 這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，那么A=2，我們把A=2叫做 a 和 b 的等 差中項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)三等差數(shù)列的判定與證明思考 1 如何判定有窮數(shù)列為等差數(shù)列？思考 2 如何判定無窮數(shù)列為等差數(shù)列?梳理 一般地，要判定和證明數(shù)列 an為等差數(shù)列，只需證明 an+1- an= d 始終成立.題型探究類型一等差數(shù)列的概念例 1 判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列？(1)9,7,5,3，一 2n+ 11,;1,11,23,35,，12 n- 13,；(3)1,2,1

3、,2，；(4) 1,2,4,6,8,10,;(5) a, a, a, a, a,反思與感悟判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，就是判斷該數(shù)列的每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)的差是否為同一個(gè)常數(shù)，但數(shù)列項(xiàng)數(shù)較多或是無窮數(shù)列時(shí)，逐一驗(yàn)證顯然不行，這時(shí)可以驗(yàn)證an+1- an(n1, n N N )是不是一個(gè)與 n 無關(guān)的常數(shù).跟蹤訓(xùn)練 1 下列是等差數(shù)列的有_.(填序號(hào))13,4,5,6,7,8，；21，1，2 3，-5,- 乙；32,2,2,2,；45,55,555,5555，類型二等差中項(xiàng)例 2 在1 與 7 之間順次插入三個(gè)數(shù) a, b, c,使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列.反思與感悟在等差數(shù)列an中，由定義

4、有 an+1 an= an an1(n2, n N N )，即 an=2，從而由等差中項(xiàng)的定義知，等差數(shù)列從第2 項(xiàng)起的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).跟蹤訓(xùn)練 2 若 m 和 2n 的等差中項(xiàng)為 4,2m 和 n 的等差中項(xiàng)為 5,求 m 和 n 的等差中項(xiàng).an+1+ an1類型三 等差數(shù)列的證明例 3 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an= 2n+5求證an是等差數(shù)列.反思與感悟 為了確保從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減前一項(xiàng)的差始終是同一個(gè)常數(shù)當(dāng)證明項(xiàng)數(shù)較多或者無窮的數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，不宜逐項(xiàng)驗(yàn)證，而需證an+1-an= d.跟蹤訓(xùn)練 3 數(shù)列an中，an= 2n，求證In an為等差數(shù)列.當(dāng)堂訓(xùn)練

5、1 已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an= 3-2n,則它的公差 d=_.2 .已知在厶 ABC 中，三內(nèi)角 A、B、C 成等差數(shù)列，則角 B 等于_13.等差數(shù)列an中，已知 ai= -, a2+4，則公差 d的值為.4.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an= n2,試證明a.不是等差數(shù)列.p-規(guī)律與方法-1.判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列的常用方法：*(1) an+1- an= d(d 為常數(shù)，n N N )? an是等差數(shù)列；(2) 2an+1= an+ an+2(n N N*)? an是等差數(shù)列.但若要說明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出一個(gè)反例即可.a+ b2.任意兩個(gè)實(shí)數(shù) a, b 的等差中項(xiàng)即為它

6、們的平均值，等差數(shù)列an中，從第 2 項(xiàng)起, 每一項(xiàng)都是它前后鄰項(xiàng)的等差中項(xiàng).答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考 從第 2 項(xiàng)起，每項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差是同一個(gè)常數(shù).梳理二常數(shù)公差知識(shí)點(diǎn)二a 亠 b思考 插入的數(shù)分別為 3,2,號(hào)，0.知識(shí)點(diǎn)三思考 1 因?yàn)橛懈F數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限， 可逐項(xiàng)驗(yàn)證從第二項(xiàng)起， 是否每一項(xiàng)減前一項(xiàng)所得的差始 終相等即可.思考 2 因?yàn)闊o窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限多，逐項(xiàng)驗(yàn)證不可行，需要證明an+1 an= d, n N N*.題型探究例 1 解 由等差數(shù)列的定義得(1), (2), (5)為等差數(shù)列，(3), (4)不是等差數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練 1解析 由等差數(shù)列定義可知 均為等差數(shù)列對(duì)于

7、，55 5豐555 55,故不是.例 2 解/ 1, a, b, c,7 成等差數(shù)列， b 是一 1 與 7 的等差中項(xiàng)，1 + 7 b = 2=3.又 a 是一 1 與 3 的等差中項(xiàng),=1.又 c 是 3 與 7 的等差中項(xiàng),=5.該數(shù)列為1,135,7.跟蹤訓(xùn)練 2 解 由 m 和 2n 的等差中項(xiàng)為 4,得 m+ 2n = 8又由 2m 和 n 的等差中項(xiàng)為 5，得 2m+ n= 10.兩式相加，得 m+ n= 6 所以 m 和 n 的等差中項(xiàng)為一廠=3. 例 3 證明/an= 2n+ 5,an+1=2( n+ 1) + 5.*n+1 an= 2(n+ 1) + 5 (2n + 5) = 2, n N N ,二an是公差為 2 的等差數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練 3 證明 ln an+1- ln ann+1an+12*=In = In = ln 2.n N N ,an2二ln an是公差為