Hermite矩陣與反Hermite矩陣

1、Hermite矩陣與反Hermite矩陣摘 要Hermite矩陣是矩陣類中的一種特殊形式，它在矩陣?yán)碚撝刑幱谥匾牡匚唬绕涫窃谟峡臻g、酉變換及復(fù)系數(shù)二次型的應(yīng)用中起著主導(dǎo)的作用，它一方面是對實(shí)對稱矩陣的推廣，另一方面它在復(fù)矩陣的地位相當(dāng)于實(shí)數(shù)在復(fù)數(shù)C的地位，復(fù)矩陣中的Hermite矩陣與實(shí)對稱矩陣在其性質(zhì)和證明方法上都十分的相似，本文主要從Hermite矩陣和反Hermite矩陣的定義、性質(zhì)、基本定理和Hermite矩陣的正定性四個(gè)方面討論Hermite矩陣和反Hermite矩陣.關(guān)鍵詞：Hermite矩陣；反Hermite矩陣；正定性；酉矩陣.AbstractThe Hermite mat

2、rix forms a special class of matrices in matrix theory.It occupies an important position in the matrix theory and plays a leading role,especially in the unitary space,unitary transformation and the application of the quadratic form of coefficient of polytropy.On the one hand,it is the promotion of t

3、he real symmetric matrix ,on the other hand,the staues it occupies in the complex matrix comes up to the position that real number in the plural form C. In the nature and methods of proof ,Hermite matrices and real symmetric matrix are very similar. This article is concerned about the definition,nat

4、ure,fundamental theorem of the Hemite matrix and anti-Hermite matrix and the positive definiteness of Hermite matrix.Key words：Hermite matrix;Anti-Hermite matrix;Positive definite;Unitary matrix目 錄一、引言(01)二、Hermite矩陣和反Hermite矩陣的定義(01)三、Hermite矩陣的性質(zhì)定理（一）Hermite矩陣的性質(zhì)(02)（二）Hermite矩陣的定理(02)（三）Hermite矩陣

5、的正定性(05)四、反Hermite矩陣的性質(zhì)定理（一）反Hermite矩陣的性質(zhì)(14)（二）反Hermite矩陣的定理(15)五、結(jié)論(20)參考文獻(xiàn)(21)致謝(22)Hermite矩陣與反Hermite矩陣一、引言眾所周知，矩陣?yán)碚撛跉v史上至少可追溯到Sylvester與Cayley，特別是Cayley1858年的工作.近代數(shù)學(xué)的一些學(xué)科，如代數(shù)結(jié)構(gòu)理論與泛函分析可以在矩陣?yán)碚撝袑さ剿鼈兊母?，另一方面，隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，矩陣?yán)碚撛诓粩嗟匕l(fā)展，矩陣已成為處理數(shù)值問題的有力工具.作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，矩陣?yán)碚摼哂袠O為豐富的內(nèi)容，在數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有十分重要的應(yīng)用，如數(shù)值分

6、析、最優(yōu)化理論、運(yùn)籌學(xué)與控制論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、力學(xué)、電學(xué)、信息科學(xué)、管理科學(xué)與工程技術(shù)等都與矩陣?yán)碚撚兄芮械年P(guān)系.對稱矩陣是一類非常重要的矩陣，近年來，在矩陣?yán)碚撝?，Hermite矩陣的應(yīng)用越來越廣泛，對其研究也取得很大的進(jìn)展.在復(fù)矩陣中，Hermite矩陣實(shí)際上是實(shí)對稱矩陣的推廣，它在復(fù)矩陣中的地位相當(dāng)于實(shí)數(shù)在復(fù)數(shù)中的地位，本文主要從Hermite矩陣和反Hermite矩陣的定義、性質(zhì)，基本定理以及Hermite矩陣正定性幾個(gè)方面討論Hermite矩陣和反Hermite矩陣并給出了相關(guān)的證明，來加深對矩陣?yán)碚摰睦斫猓瑥亩芨玫厥褂眠@些工具.二、Hermite矩陣和反Hermite矩陣

7、的定義定義 1 設(shè)是一個(gè)階復(fù)矩陣，即，為的共軛轉(zhuǎn)置，=，則將稱為Hermite 矩陣.若，則稱之為反Hermite矩陣.定義 2 設(shè)是一個(gè)階Hermite 矩陣，若對于任一非零的維復(fù)向量，均有，則稱為Hermite 正定矩陣.定義 3 設(shè)是一個(gè)階復(fù)矩陣，為的共軛轉(zhuǎn)置，若，則稱為正規(guī)矩陣.定義 4 設(shè)是一個(gè)階復(fù)矩陣，為的共軛轉(zhuǎn)置，則將稱為酉矩陣，它的行列式的絕對值等于1.三、Hermite矩陣的性質(zhì)定理（一）Hermite矩陣的性質(zhì)由Hermite矩陣的定義可知，Hermite矩陣具有如下簡單的性質(zhì)：（1）對所有，則，和都是Hermite矩陣；（2）如果是Hermite矩陣，則對正整數(shù)，也是He

8、rmite矩陣；（3）如果是可逆Hermite矩陣，則也是Hermite矩陣；（4）如果，是Hermite矩陣，則對實(shí)數(shù)，也是Hermite矩陣；（5）如果，是Hermite矩陣，則是Hermite矩陣的充分必要條件是；（6）是Hermite矩陣的充分必要條件是對于任意階方陣，是Hermite矩陣.（二）Hermite矩陣的定理定理3-1 若是階復(fù)矩陣，則是Hermite矩陣的充分必要條件是對于任意，是實(shí)數(shù)；證明 必要性 因?yàn)槭菙?shù)，所以因此是實(shí)數(shù).充分性 因?yàn)閷τ谌我猓?，都是實(shí)數(shù)，而于是對任意，是實(shí)數(shù)，令，則是實(shí)數(shù)，這表明與的虛部值相等，但符號相反，即再令，其中，是實(shí)數(shù)，則與的實(shí)部相等，即因

9、此，即是Hermite矩陣.定理3-2（Hermite矩陣的譜定理） 設(shè)是給定的，則是Hermite矩陣當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)酉矩陣和一個(gè)實(shí)對角矩陣，使得，其中均為實(shí)數(shù)，此外，是實(shí)Hermite矩陣（即實(shí)對稱的），當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)正交矩陣和一個(gè)實(shí)對角矩陣，使得，其中均為實(shí)數(shù).雖然Hermite矩陣的實(shí)線性組合總是Hermite矩陣，但它們的復(fù)線性組合就不一定是Hermite矩陣，例如，如果是Hermite矩陣，那么，只有當(dāng)時(shí)才是Hermite矩陣.另外，如果和是Hermite矩陣，那，因此，是Hermite矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)與可交換.定理3-3 設(shè)為階Hermite矩陣，則（）是正規(guī)矩陣且所有特征值全

10、是實(shí)數(shù)；（）的不同特征值所對應(yīng)的特征向量是互相正交的.證明 （）為階Hermite矩陣，由定理3-2可知必酉相似于實(shí)對角矩陣，即存在階酉矩陣，使得其中，是的是特征值，且即是正規(guī)矩陣.設(shè)，為的特征值，非零向量為的特征向量，即，又所以即 所以為實(shí)數(shù).（）設(shè)，是的兩個(gè)不同特征值，相應(yīng)的特征向量分別為，則，從而，因?yàn)槭荋ermite矩陣，均為實(shí)數(shù)，則于是由于，故與正交.定理3-4（Hermite矩陣的慣性定理） 設(shè)是階Hermite矩陣，則（復(fù)）合同與，而且,由唯一確定.其中稱為的規(guī)范型，表示階單位矩陣，,，分別稱為的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)和符號差.注：由慣性定理導(dǎo)出的Hermite矩陣的正慣性指數(shù)、

11、負(fù)慣性指數(shù)及符號差等，不僅是代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，而且在幾何學(xué)、物理學(xué)中都有許多重要的應(yīng)用，構(gòu)成幾何對象及物理對象的“指標(biāo)”或“守恒量” .下面討論一下Hermite矩陣的正定性.（三）Hermite矩陣的正定性 在討論Hermite矩陣的正定性之前，我們先來引入矩陣的UR分解定理及其引理.矩陣UR分解定理 設(shè)，則可以唯一地分解為或其中，是正線上三角陣，是正線下三角陣。（即和的主對角線上元素全是正的）.引理 若是正線上三角陣，又是酉矩陣，則是單位陣.與實(shí)對稱矩陣一樣，同樣我們可以利用Hermite二次型的正定，來定義Hermite矩陣的正定.定義 由個(gè)復(fù)變量，系數(shù)為復(fù)數(shù)的二次齊式（3-1）其中，

12、稱為Hermite二次型.記則為Hermite矩陣.我們稱矩陣為Hermite二次型矩陣，并且稱的秩為Hermite二次型的秩.于是，Hermite二次型（3-1）可改寫成其中，因此，一個(gè)Hermite二次型與一個(gè)Hermite矩陣相對應(yīng).如果對任一組不全為零的實(shí)數(shù)，都有，則稱該二次型齊式是正定的（非負(fù)定的），并稱相對應(yīng)的Hermite矩陣是正定的（非負(fù)定的）.正定（非負(fù)定）矩陣具有如下基本性質(zhì)：（1）單位矩陣；（2）若，數(shù)，則；（3）若，則；（4）若，則.顯然這些基本性質(zhì)可以由定義直接推導(dǎo)得出，下面我們給出Hermite矩陣正定（半正定）的條件.定理3-5 設(shè)是階Hermite矩陣，則下列命

13、題等價(jià)：（1）是正定矩陣；（2）對任意階可逆矩陣，都是Hermite正定矩陣；（3）的個(gè)特征值均為正數(shù)；（4）存在階可逆矩陣，使得；（5）存在階可逆矩陣，使得；（6）存在正線上三角矩陣,使得，且分解是唯一的；（7）存在階可逆Hermite矩陣，使得. 證明 首先按進(jìn)行證明. 對任意階可逆矩陣及任意且，令，則且故是Hermite正定矩陣； 對Hermite矩陣，存在酋矩陣使得（3-2）其中為的特征值，由定理3-5（2）知是正定矩陣，則均為正數(shù)； 因?yàn)榈奶卣髦稻鶠檎龜?shù)，令則令，代入上式得，是可逆矩陣. 因?yàn)榇嬖陔A可逆矩陣使得，則令,有 因?yàn)椋渲袨榭赡婢仃?，根?jù)矩陣UR 分解定理得到，其中是酉矩陣

14、，是正線上三角陣，因此現(xiàn)證分解的唯一性：設(shè)有兩種正線上三角分解，即故容易驗(yàn)證仍是上三角陣，又由上式知是酉矩陣，根據(jù)引理可得，即. 因?yàn)?，所以由于為正線上三角陣，故當(dāng)時(shí)，于是此即是正定的.下面證明， 因?yàn)榇嬖陔A可逆矩陣,使得，則對任意且都有，從而.故是正定矩陣. 設(shè)為的任一特征值，為相應(yīng)的特征向量，則因?yàn)槭钦ň仃?，所以，從?因此的特征值均為正數(shù).由（3-2）得其中為的正特征值.令則是階可逆Hermite矩陣，并且. 因?yàn)榇嬖陔A可逆Hermite矩陣使得，類似于即知是正定矩陣.定理3-6 設(shè)是階Hermite矩陣，則下列命題等價(jià)（1）是非負(fù)定矩陣；（2）對于任何階可逆矩陣，都有是Hermite

15、非負(fù)定矩陣；（3）的個(gè)特征值均為非負(fù)數(shù)；（4）存在階可逆矩陣，使得，其中；（5）存在秩為的階矩陣使得.證明 的證明與定理1相似； 存在，滿足其中，令則令，則 由可得其中 由于，故因?yàn)椋苑匠探M有非零解，即存在，滿足，從而所以是半正定的.定理3-7 階Hermite矩陣為正定（非負(fù)定）矩陣的充分必要條件是的所有特征值都是正數(shù)（非負(fù)數(shù)）.證明 必要性 設(shè)，是的任一特征值，是對應(yīng)的單位特征向量，于是充分性 由定理3-2知，存在酉矩陣,使得若的特征值（）都為正數(shù)（非負(fù)數(shù)），則對任意維非零向量， 都有式中，從而.定理3-8 階Hermite矩陣為正定矩陣的充分必要條件是存在階非奇異矩陣，使得.證明 充

16、分性顯然成立.必要性 由定理3-2知，存在酉矩陣,使得（3-3）若，則由定理3-7可知，.令則非奇異，且由（3-3）式得.若將條件中的“非奇異”去掉就得到為非負(fù)定矩陣的充分必要條件，即得到：定理3-9 階Hermite矩陣為非負(fù)定矩陣的充分必要條件是存在階矩陣，使得.推論1 若，則可逆且；推論2 若，是任一階非奇異矩陣，則；推論3 若，是任一矩陣，則.定理3-10 階正定Hermite矩陣的各階順序主子矩陣都是正定矩陣.證明 設(shè)是的階順序主子矩陣，是任意維非零向量（），令，其中0為維零向量，將作如下分塊：，于是即是正定矩陣.定理3-11 階Hermite矩陣為正定矩陣的充分必要條件是的順序主子

17、式均為正數(shù)，即，證明 必要性 當(dāng)時(shí)，的行列式，這是因?yàn)榈扔诘奶卣髦档某朔e，由定理3-10知的各階順序主子式都是正定矩陣，故它們的行列式均為正數(shù)，即的順序主子式均為正數(shù).充分性 對矩陣階數(shù)作歸納法，階為1時(shí)結(jié)論顯然成立，假設(shè)階為時(shí)結(jié)論成立，對階Hermite矩陣，我們作如下分塊，其中為的階順序主子矩陣，因?yàn)榉瞧娈?，令則根據(jù)歸納假設(shè)，有，于是，（），從而所以，這說明了階時(shí)結(jié)論成立，從而證明了充分性.定理3-12 階Hermite矩陣為正定矩陣的充分必要條件是的所有主子式全大于零.證明 充分性由定理3-11可得必要性 對的任一階主子式只要適當(dāng)（若干次）對調(diào)的行和相應(yīng)的列，可使上述的成為一個(gè)階順序主子

18、式，即存在可逆矩陣，使的階順序主子式為，因?yàn)?，由前面推?知，從而由定理3-11有.定理3-13 設(shè)，都是階Hermite矩陣，且，則存在非奇異矩陣，使得，（3-4）證明 由定理3-8知，存在非奇異矩陣，使得，由此得（3-5）又亦為Hermite矩陣，故有酉矩陣，使（3-6）令，則非奇異，從而由（3-4）和（3-5）知（3-6）成立.定理3-14 設(shè)是正定（非負(fù)定）Hermite矩陣，則存在唯一的正定（非負(fù)定）Hermite矩陣，滿足.證明 因?yàn)槭钦ǎǚ秦?fù)定）Hermite矩陣，故其中是酉矩陣，全大于零（非負(fù)）.令顯然.現(xiàn)證是唯一的.設(shè)還有一個(gè)正定Hermite矩陣，滿足，故可設(shè)，由得到，于

19、是根據(jù)，所以下面進(jìn)一步證明事實(shí)上（3-7）設(shè)酉矩陣代入（3-7）得比較等式兩端得，當(dāng)時(shí),故；當(dāng)時(shí)，于是有即 四、反Hermite矩陣的性質(zhì)定理（一）反Hermite矩陣的性質(zhì)根據(jù)反Hermite矩陣的定義可知，不難得出反Hermite矩陣具有如下一些性質(zhì)：（1）對所有，是反Hermite矩陣；（2）如果是反Hermite矩陣，則是反Hermite矩陣；（3）如果是反Hermite矩陣，則對正整數(shù)，是Hermite矩陣；（4）如果是反Hermite矩陣，則的奇數(shù)次方也是反Hermite矩陣；（5） 如果，是反Hermite矩陣，則對實(shí)數(shù)，也是反Hermite矩陣；（6）如果，是反Hermite矩

20、陣，則是反Hermite矩陣的充分必要條件是；（7）是反Hermite矩陣的充分必要條件是對于任意階方陣，是反Hermite矩陣.（8）偶數(shù)階反Hermite矩陣的行列式為實(shí)數(shù)，奇數(shù)階反Hermite矩陣的行列式為復(fù)數(shù)；（9）若反Hermite矩陣可逆，則也是反Hermite矩陣（10）若是Hermite矩陣，則是反Hermite矩陣（）；（11）若是反Hermite矩陣，則是Hermite矩陣（）；（12）任意可寫成，其中是的Hermite部分，而是的反Hermite部分；（二）反Hermite矩陣的定理定理4-1 每個(gè)可以唯一地寫成，其中和都是Hermite矩陣.證明 把寫成由Hermit

21、e矩陣和反Hermite矩陣的基本性質(zhì)可知，和都是Hermite矩陣，根據(jù)唯一性論斷，我們知道，如果,其中和都是Hermite矩陣，那么因而.類似地可以證明.定理4-2 任一個(gè)階矩陣都可表示為一個(gè)Hermite矩陣和一個(gè)反Hermite矩陣之和.證明 設(shè)任一個(gè)階矩陣，令，其中，由于顯然是Hermite矩陣，是反Hermite矩陣.定理4-3 設(shè)，若（的伴隨矩陣）是偶數(shù)階反Hermite矩陣，則（）是反Hermite矩陣；（）是反Hermite矩陣.證明 （） 設(shè)，是（）階反Hermite矩陣，即，由反Hermite矩陣的性質(zhì)（8）知，又，故兩邊取行列式，得因此，從而，從而是反Hermite矩陣

22、；（）令，由于，則，從而，進(jìn)而，于是，因而是反Hermite矩陣.定理4-4 若是反Hermite矩陣，則（）的主對角線上的元素均為0或純虛數(shù)；（）對任何，還是反Hermite矩陣.證明 （）設(shè)復(fù)矩陣，則， 由于是反Hermite矩陣,即，故當(dāng)時(shí)，有或?yàn)榧兲摂?shù)即的主對角線上的元素均為0或純虛數(shù)；（）對任意，記，下證，因?yàn)槭欠碒ermite矩陣,即，故這就是說，對任意，是反Hermite矩陣，還是反Hermite矩陣. 推論4 若是反Hermite矩陣，則對任意，矩陣的主對角線上的元素均為0或純虛數(shù).定理4-5 對任意，存在一個(gè)階酉矩陣和一個(gè)上三角矩陣，使得其中的對角元素是的特征值.定理4-6

23、若是階反Hermite矩陣，則存在一個(gè)階酉矩陣，使得其中，是的純虛數(shù)特征值.證明 由定理4-5可知，存在一個(gè)階酉矩陣,使得其中是上三角矩陣，記由于,令,即因此，即存在階酉矩陣，使得由于，有，即，從而是純虛數(shù).定理4-7 設(shè)為階反Hermite矩陣，則（）的特征值均為純虛數(shù)；（）的不同特征值所對應(yīng)的特征向量相互正交.證明 （）由定理4-4可以直接得出.（）設(shè)，是的兩個(gè)不同特征值，相應(yīng)的特征向量分別為，則，從而，因?yàn)槭欠碒ermite矩陣，均為純虛數(shù)，則于是由于，故與正交.定理4-8 設(shè)、都是Hermite矩陣或都是反Hermite矩陣，則（）為Hermite矩陣；（）為反Hermite矩陣.證明

24、 （）設(shè)、都是Hermite矩陣，即，則即為Hermite矩陣；同理可證當(dāng)、都是反Hermite矩陣時(shí)為Hermite矩陣.（）當(dāng)、都是Hermite矩陣，即，則即是反Hermite矩陣；同理可證當(dāng)、都是反Hermite矩陣時(shí)為反Hermite矩陣.定理4-9 若、都是反Hermite矩陣，則為Hermite矩陣的充分必要條件是，即、可交換.證明 因?yàn)?、都是反Hermite矩陣，則，.必要性 由，得所以為Hermite矩陣；充分性 因?yàn)闉镠ermite矩陣，則即、可交換.推論5 若為Hermite矩陣，為反Hermite矩陣，則為反Hermite矩陣的充分必要條件是.證明 因?yàn)闉镠ermite矩陣，為反Hermite矩陣，則，.必要性 由，得所以為反Hermite矩陣；充分性 因?yàn)闉榉碒ermite矩陣，則從而.五、結(jié)論作為一個(gè)矩陣，Hermite矩陣在矩陣?yán)碚撝械匚徊谎远鳎疚膶ermite矩陣和反Hermite矩陣的定義，性質(zhì)，基本定理以及Hermite的正定性做了初略地歸納總結(jié)，并通過一些證明來更好的理解定理，以此來達(dá)到更完整的認(rèn)識和學(xué)習(xí)Hermite矩陣.當(dāng)然，對