第十五章 含參變量的積分(數(shù)學(xué)分析)課件

1、第十五章 含參變量的積分教學(xué)目的與要求1 掌握含參變量的常義積分的定義及分析性質(zhì)；2 能應(yīng)用含參變量的常義積分的分析性質(zhì)證明某些理論問題.3 理解含參變量的反常積分的一致收斂的定義；4 掌握含參變量的反常積分的一致收斂性的判別法及分析性質(zhì)；5 能利用參變量的反常積分的分析性質(zhì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分等；6 掌握函數(shù)和函數(shù)的定義及其相互關(guān)系；7 掌握函數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)1 應(yīng)用含參變量的常義積分的分析性質(zhì)證明某些理論問題；2 求含參變量的常義積分的極限、導(dǎo)數(shù)、積分；3 含參變量的反常積分的一致收斂的定義；4 掌握含參變量的反常積分的一致收斂性的判別法及分析性質(zhì)；5 利用參變量的反常積分的分析性質(zhì)

2、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分等6 函數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)1 應(yīng)用含參變量的常義積分的分析性質(zhì)證明某些理論問題；2 含參變量的反常積分的一致收斂的定義；3 掌握含參變量的反常積分的一致收斂性的判別法及分析性質(zhì)； §1 含參變量的常義積分教學(xué)目的1 掌握含參變量的常義積分的定義及分析性質(zhì)；2 能應(yīng)用含參變量的常義積分的分析性質(zhì)證明某些理論問題.教學(xué)過程1 含參變量的常義積分的定義（P373）2 含參變量的常義積分的分析性質(zhì)2.1 連續(xù)性定理P374 1 若函數(shù)在矩形域上連續(xù) , 則函數(shù)在上連續(xù) . 2 若函數(shù)在矩形域上連續(xù), 函數(shù)和在上連續(xù) , 則函數(shù)在上連續(xù). 例 1 求下列極限(1) (2

3、) 2.2 積分次序交換定理P375例2 見教材P375.2.3 積分號下求導(dǎo)定理P375376 3 若函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都在矩形域上連續(xù), 則函數(shù)在上可導(dǎo) , 且 .( 即積分和求導(dǎo)次序可換 ) . 4設(shè)函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都在矩形域上連續(xù), 函數(shù)和定義在, 值域在上, 且可微 , 則含參積分在上可微 , 且 . 例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) (2) 例3 計(jì)算積分 . 例 4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù) . 驗(yàn)證當(dāng)充分小時(shí) , 函數(shù) 的階導(dǎo)數(shù)存在 , 且 .2.4(P376定理15.1.4)例4 求的導(dǎo)數(shù)例5 研究函數(shù) 的連續(xù)性，其中是上連續(xù)且為正的函數(shù)。解 令，則在連續(xù)，其中。從而在連續(xù)。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)

4、，記 ，則若存在，則 故在不連續(xù)?；蛴枚ǚe分中值定理，當(dāng)時(shí)， ，使 若存在，則 故在不連續(xù)。問題1 上面最后一個(gè)式子能否寫為。事實(shí)上，是依賴于的，極限的存在性還難以確定。例6 設(shè)在連續(xù)，求證 （其中 ）滿足微分方程 。證 令，則， 它們都在上連續(xù)，則 例7 設(shè)為連續(xù)函數(shù)， 求。解 令，則在第一項(xiàng)中令，在第二項(xiàng)中令，則問題2 是否有 例8 利用積分號下求導(dǎo)法求積分 ， 解 令 時(shí)，無定義，但，故補(bǔ)充定義 ， 則在連續(xù)（），從而在連續(xù)。顯然在點(diǎn)不連續(xù)，但分別在和連續(xù)，故有 ， 或令 ， 或積分之， ， 因?yàn)樵谶B續(xù)，故得，從而得 ， 作業(yè)：P378-379 2、3、5、6、8（2）（3）、11 &#

5、167;2 含參變量的反常積分教學(xué)目的1 理解含參變量的反常積分的一致收斂的定義；2 掌握含參變量的反常積分的一致收斂性的判別法及分析性質(zhì)；3 能利用參變量的反常積分的分析性質(zhì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分等；教學(xué)過程1 含參變量的反常積分的一致收斂含參變量的反常積分有兩種: 無窮區(qū)間上的含參變量的反常積分和無界函數(shù)的含參變量的反常積分. 定義P379-381無窮積分在區(qū)間:一致收斂: 有;非一致收斂: 有.2 一致收斂性的判別法2.1(收斂原理) P3812.2(判別法)P382例1 證明:無窮積分在R一致收斂.2.3 (判別法和判別法)P382-3852.4 (定理)P3853 一致收斂積分的分析性質(zhì)

6、3.1 連續(xù)性定理3.2 積分次序交換定理3.3 積分號下求導(dǎo)定理例 2 利用積分號下求導(dǎo)求積分 ， （為正整數(shù)，）解 因?yàn)?， 而 收斂，故 在一致收斂。因?yàn)?故 由數(shù)學(xué)歸納法易證于是 例3 證明（1）關(guān)于一致收斂； （2）關(guān)于不一致收斂。證 （1）用分段處理的方法。 ， 令 得因?yàn)?，則 ，當(dāng)時(shí)，有 （1）又 ， 而 收斂，由M判別法，在一致收斂，即，有， （2）上式對顯然成立，結(jié)合（1）（2）式，有 ， 即關(guān)于一致收斂。（2）因?yàn)闀r(shí)，發(fā)散，因此關(guān)于不可能一致收斂。例4 計(jì)算積分 。解 令 在第二項(xiàng)積分中令 ，得故 作業(yè)：P392393 2、4（1）（2）、5、8、10、12、15 §3 積分 教學(xué)目的1 掌握函數(shù)和函數(shù)的定義及其相互關(guān)系；2 掌握函數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)過程1 函數(shù)(第一類積分) 1.1 定義 確定定義域1.2 函數(shù)的性質(zhì)P3942 函數(shù)(第