第三章 動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律 問(wèn)題與習(xí)題解答

1、10級(jí)應(yīng)用數(shù)學(xué)本1、2班普通物理（含實(shí)驗(yàn)）B 第五版 動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律第3章 動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律 問(wèn)題與習(xí)題解答問(wèn)題：3-1、3-3、3-7、3-10、3-14、3-193-1如圖所示，設(shè)地球在太陽(yáng)引力的作用下，繞太陽(yáng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。試問(wèn)：在下述情況下，（1）地球從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B ,（2）地球從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，（3）地球從點(diǎn)A出發(fā)繞行一周又返回點(diǎn)A，地球的動(dòng)量增量和所受的沖量各為多少？答：選太陽(yáng)處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，且OC方向?yàn)閄軸正方向，OB方向?yàn)閅軸正方向，設(shè)地球和太陽(yáng)的質(zhì)量分別為，兩者間的距離為，地球沿反時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的速率為，故根據(jù)萬(wàn)有引力定律，有：，即 （1）地球

2、從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的動(dòng)量增量為：根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理，地球所受的沖量為：（2）地球從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的動(dòng)量增量和所受的沖量為：（3）同理，地球從點(diǎn)A出發(fā)繞行一周回到A點(diǎn)的動(dòng)量增量和所受的沖量為：3-3在上升氣球下方懸掛一梯子，梯子站一人。問(wèn)人站在梯子上不動(dòng)或以加速度向上攀升，氣球的加速度有無(wú)變化？答：（1）人不動(dòng)，則氣球的加速度不變。（2）以氣球及梯子（總質(zhì)量為M）與人（質(zhì)量為m）為系統(tǒng)，地面為參照系，且設(shè)人相對(duì)梯子上爬的速度為、氣球相對(duì)地面的速度為，人相對(duì)地面的速度為，則有如果設(shè)氣球及梯子與人初始為勻速率豎直上升，則可應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，得所以， 故得氣球的加速度為由此可知，當(dāng)人相對(duì)于梯子的加速度（

3、相對(duì)梯子勻速爬上）時(shí)；而當(dāng)（加速爬上）時(shí)，?！具x地面為參照系，豎直向上為坐標(biāo)的正方向；設(shè)氣球及梯子與人初始的加速度大小為，氣球浮力為；當(dāng)人以加速度向上爬時(shí)，氣球及梯子的加速度為，此時(shí)梯子與人之間的相互作用力大小為，則根據(jù)牛頓定律，有解得 當(dāng)人在梯子上不動(dòng)時(shí)， ，；當(dāng)人以相對(duì)加速度爬上時(shí)，氣球及梯子的加速度，有變化。】【或應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求解。將人與氣球及梯子看成一個(gè)系統(tǒng)，其質(zhì)心的加速度為因?yàn)橄到y(tǒng)所受合外力恒定，故即得 ，表明氣球加速度的改變與人的加速度變化有關(guān)，改變的方向相反?！?-7在水平光滑的平面上放一長(zhǎng)為，質(zhì)量為的小車(chē)，車(chē)的一端站有質(zhì)量為的人，人和車(chē)都是靜止不動(dòng)的。當(dāng)人以的速率相對(duì)地面從

4、車(chē)的一端走向另一端，在此過(guò)程中人和小車(chē)相對(duì)地面各移動(dòng)了多少距離？解：如右圖，設(shè)人、板相對(duì)于地面的速率分別為、，方向如圖所示；因?yàn)槿撕桶褰M成的系統(tǒng)沿水平方向的合外力為零，故根據(jù)動(dòng)量守恒定律得即 ， 人相對(duì)于板的速率為， 設(shè)從板的一端走到另一端需要的時(shí)間為，則有， 上式中，為人相對(duì)于地面移動(dòng)的距離， 所以，人相對(duì)于地面移動(dòng)的距離為 ， 板相對(duì)于地面移動(dòng)的距離為 。 【或應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求解：選地面為參照系，開(kāi)始時(shí)人的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，人走到車(chē)的另一端時(shí)人的坐標(biāo)為、車(chē)的中心位置坐標(biāo)為；人車(chē)系統(tǒng)所受合力為零，則根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律，有，即得 又由初始條件 ，得 所以質(zhì)心位置不變： 即有 解出 ， 】3-10

5、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量和動(dòng)能是否與慣性系的選擇有關(guān)？功是否與慣性系有關(guān)？質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理和動(dòng)能定理是否與慣性系有關(guān)？請(qǐng)舉例說(shuō)明。答：在兩慣性系（）中，質(zhì)點(diǎn)的速度關(guān)系為，故由和知（1）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量和動(dòng)能都與慣性系有關(guān)；（2）兩慣性系中質(zhì)點(diǎn)所受的合力，但移動(dòng)的路程不同，故功與慣性系有關(guān)；（3）不同的慣性系中均有，故，即，所以其動(dòng)量定理與慣性系無(wú)關(guān)；同理，根據(jù)，可得出，故其動(dòng)能定理也與慣性系無(wú)關(guān)。（舉例說(shuō)明）3-14如圖所示，光滑斜面與水平面間的夾角為。（1）一質(zhì)量為的物體沿斜面從點(diǎn)下滑至點(diǎn)C，重力所作的功是多少？（2）若物體從點(diǎn)自由下落至點(diǎn)B，重力所作的功又為多少？從所得結(jié)果你能得出什么結(jié)論（點(diǎn)在同一水平面上）？

6、解：（1）、m在斜面上沿下滑時(shí)，重力所作的功為：滑至C點(diǎn)重力所作的功為：（2）、點(diǎn)自由下落至點(diǎn)B，重力所作的功為：由此可見(jiàn)， m沿斜面下滑時(shí)重力所作的功與m自由下落相同的高度差時(shí)重力所作的功相等，且與斜面的傾角的大小無(wú)關(guān)。3-19在彈性碰撞中，有哪些量保持不變，在非彈性碰撞中又有哪些量保持不變？答：在碰撞過(guò)程中，因系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力，可認(rèn)為，則根據(jù)動(dòng)量定理，得知在彈性碰撞或非彈性碰撞中系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變；而在彈性碰撞中，因系統(tǒng)的機(jī)械能沒(méi)有轉(zhuǎn)化為其它形式的能量，故其機(jī)械能保持不變。習(xí)題3-1、3-2、3-3、3-4、3-5、（選擇題）3-8、3-11、3-15、3-19、3-

7、23、3-28、3-373-1對(duì)質(zhì)點(diǎn)組有以下幾種說(shuō)法：（1）質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)量的改變與內(nèi)力無(wú)關(guān)；（2）質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)能的改變與內(nèi)力無(wú)關(guān)；（3）質(zhì)點(diǎn)組機(jī)械能的改變與保守內(nèi)力無(wú)關(guān)；下列對(duì)上述說(shuō)法判斷正確的是（ C ）（A）只有（1）是正確的 （B）（1）、（2）是正確的（C）（1）、（3）是正確的 （D）（2）、（3）是正確的3-2有兩個(gè)傾角不同、高度相同、質(zhì)量一樣的斜面放在光滑的水平面上，斜面是光滑的，有兩個(gè)一樣的物塊分別從這兩個(gè)斜面的頂點(diǎn)由靜止開(kāi)始滑下，則（ D ）（A）物塊到達(dá)斜面底端時(shí)的動(dòng)量相等（B）物塊到達(dá)斜面底端時(shí)的動(dòng)能相等（C）物塊和斜面（以及地球）組成的系統(tǒng)，機(jī)械能不守恒（D）物塊和斜面組成

8、的系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒3-3對(duì)功的概念有以下幾種說(shuō)法：（1）保守力作正功時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)相應(yīng)的勢(shì)能增加；（2）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)經(jīng)一閉合路徑，保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功為零；（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以兩者所作功的代數(shù)和必為零。下列對(duì)上述說(shuō)法中判斷正確的是（ C ）（A）（1）、（2）是正確的 （B）（2）、（3）是正確的（C）只有（2）是正確的 （D）只有（3）是正確的3-4如圖所示，質(zhì)量分別為和的物體A和B，置于光滑桌面上，A和B之間連有一輕彈簧，另有質(zhì)量為和的物體C和D分別置于物體A與B之上，且物體A和C、B和D之間的摩擦因數(shù)均不為零。首先用外力沿水平方向相向推壓A和B，使彈簧被壓縮，然后撤

9、掉外力，則在A和B彈開(kāi)的過(guò)程中，對(duì)A、B、C、D以及彈簧組成的系統(tǒng)，有（ D ）（A）動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒 （B）動(dòng)量不守恒，機(jī)械能守恒（C）動(dòng)量不守恒，機(jī)械能不守恒 （D）動(dòng)量守恒，機(jī)械能不一定守恒3-5如圖所示，子彈射入放在水平光滑地面上靜止的木塊后而穿出。以地面為參考系，下列說(shuō)法中正確的說(shuō)法是（ C ）（A）子彈減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)槟緣K的動(dòng)能（B）子彈-木塊系統(tǒng)的機(jī)械能守恒（C）子彈動(dòng)能的減少等于子彈克服木塊阻力所作的功（D）子彈克服木塊阻力所作的功等于這一過(guò)程中產(chǎn)生的熱3-8（式中的單位為，的單位為）的合外力作用在質(zhì)量為的物體上，試求：（1）在開(kāi)始內(nèi)此力的沖量；（2）若沖量，此力作用的時(shí)間

10、；（3）若物體的初速度，方向與相同，在時(shí)，此物體的速度。解： ，（1）由定義，得開(kāi)始內(nèi)此力的沖量（2）設(shè)從開(kāi)始到秒內(nèi)此力的沖量為則有 解得 （舍去）（3）由動(dòng)量定理，得 由上可知， 時(shí)，所以，得 3-11如圖所示，在水平地面上，有一橫截面的直角彎管，管中有流速為的水通過(guò)，求彎管所受力的大小和方向。解：如圖所示，穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，在時(shí)間間隔內(nèi)從管里流出的水的質(zhì)量為：，管的彎曲部分AB的水的動(dòng)量的增量為：，則根據(jù)動(dòng)量定理，得管在內(nèi)對(duì)水的沖量為：而依據(jù)沖量的定義，得管在內(nèi)對(duì)水的平均沖力為：，故水流對(duì)管的作用力為：， 其大小為：，方向如圖所示。 3-15一質(zhì)量均勻柔軟的繩豎直的懸掛著，繩的下端剛好觸到水平面

11、上。如果把繩的上端放開(kāi)，繩將落在桌面上。是試證明：在繩下落的過(guò)程中的任意時(shí)刻，作用于桌面上的壓力等于已落到桌面上繩的重量的三倍。解：如圖所示，設(shè)開(kāi)始時(shí)繩的上端在原點(diǎn)O，繩的總長(zhǎng)為，總質(zhì)量為，在時(shí)刻時(shí)落在桌面上的繩長(zhǎng)為，其質(zhì)量為。受力情況如圖所示，其中為重力，為桌面的支撐力，為下落的繩子部分對(duì)它的沖力。根據(jù)力的平衡條件有： 在時(shí)間間隔內(nèi)落到桌面的線元的速度由（）變?yōu)?，因，故可忽略的重力的影響，則根據(jù)動(dòng)量定理得： 整理上式，得： 而 故由上幾式得：，所以，任意時(shí)刻桌面所受壓力的大小為：3-19一物體在介質(zhì)中按規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，為一常量。設(shè)介質(zhì)對(duì)物體的阻力正比于速度的平方。試求物體由運(yùn)動(dòng)到時(shí)，阻力所

12、做的功。（已知阻力系數(shù)為）解：依題意，得阻力為：所作的功為：3-23如圖所示，A和B兩板用一輕彈簧連接起來(lái)，它們的質(zhì)量分別為和。問(wèn)在A板上需加多大的壓力，方可使力停止作用后，恰能使A在跳起來(lái)時(shí)B稍被提起。（設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為）解：選板A、板B、彈簧和地球?yàn)橥幌到y(tǒng)，則該系統(tǒng)在外力F撤去后不受外力作用，且無(wú)非保守內(nèi)力，故此后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)原點(diǎn)O處的重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能為零，外力F撤去的一瞬間為初狀態(tài)，A跳到最高點(diǎn)時(shí)為末狀態(tài)，則根據(jù)能量守恒定律，有： 故將上式整理，有： ，即： 又因?yàn)?，所以： ，另從圖中可知： 由上面幾式，得： ，在末狀態(tài)時(shí)，B板剛被提起，則要求：，而 ，所以，

13、得： 。或 （彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)）撤外力F前，撤外力F后，A受合力大小為F，方向向上，系統(tǒng)只受保守力作用，故機(jī)械能守恒，且A作簡(jiǎn)諧振動(dòng)；A在最高處受合力大小仍為F，方向向下，此時(shí)設(shè)彈力為 ，對(duì)A：，對(duì)B：，所以，得：3-28如圖所示，把質(zhì)量的小球放在位置A時(shí)，使彈簧被壓縮，然后在彈簧的彈性力作用下，小球從位置A由靜止被釋放，小球沿軌道ABCD運(yùn)動(dòng)。小球與軌道間的摩擦不計(jì)。已知為半徑的半圓弧，AB相距為。求彈簧勁度系數(shù)的最小值。解：設(shè)小球要沿ABCD運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)C時(shí)的最小速率為，此時(shí)軌道對(duì)小球的支持力為零，故有： ，另設(shè)A點(diǎn)的重力勢(shì)能為零，則根據(jù)機(jī)械能守恒定律，得：，故解得： 3-37如圖所示，質(zhì)