變化率與導數(shù)導數(shù)的運算

1、【2013年高考會這樣考】1 利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程.2 考查導數(shù)的有關計算，尤其是簡單的函數(shù)求導.【復習指導】本講復習時，應充分利用具體實際情景，理解導數(shù)的意義及幾何意義，應能靈活運用導數(shù)公式及導數(shù)運算法則進行某些函數(shù)求導.01KCJIZIHUDAQXUE -$ 考基自主導學基礎梳理1 .函數(shù)y= f(x)從xi到X2的平均變化率 函數(shù)y = f(x)從X1到X2的平均變化率為 匸.X2 X1若Ax= X2- X!,勾=f(X2)f(Xi),則平均變化率可表示為號.2. 函數(shù)y= f(x)在x= xo處的導數(shù)(1) 定義稱函數(shù)y= f(x)在x = x0處的瞬時變化率li

2、 Ax”0 fy=li Axn> 0 fXo+?為函數(shù)y = f(x)在x=Xo處的導數(shù)，記作f'(x°)或y'|x= xo,即LA,Ayf (X0)= li Axn» 0 ax.(2) 幾何意義函數(shù)f(x)在點X0處的導數(shù)f' (X0)的幾何意義是在曲線y= f(x)上點(X0, f(X0)處切線的斜率.相應地，切線方程為y f(x0) = f' (x0)(x X0).3. 函數(shù)f(x)的導函數(shù)稱函數(shù)f' (x)= li Am>0 f X + %- f X為f(x)的導函數(shù)，導函數(shù)有時也記作y'.4. 基本初等函

3、數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)若 f(x) = c則 f' (x) = 0若 f(x) = xn則f' (x) = nxn 1, n為自然數(shù)若 f(x)= xx>0,嚴 0)則f' (x) = 口廠1, 為有理數(shù)若 f(x) = sin x則 f' (x)= cos X若 f(x) = cos X貝U f' (x)= sin x若 f(x) = ax(a>0，且1)貝U f' (x) = axln a若 f(x)= ex則 f' (x) = ex若 f(x) = log ax(a>0，且 a 豐 1)則 f' (x)=

4、 xln a若 f(x)= In x1則 f' (x)=-x5導數(shù)四則運算法則f(X)±(x)'= f'(X)±' (x)；(2)f(x) g(x)' = f' (x)g(x) + f(x)g' (x);=f- xgx孕卷丄xgx(g(x)豐 0).6.復合函數(shù)的求導法則yx'= yu' u3復合函數(shù)y= f(g(x)的導數(shù)和函數(shù)y = f(u), u = g(x)的導數(shù)間的關系為助蓉 < 博一個區(qū)別曲線y = f(x) “在”點P(xo, yo)處的切線與“過”點P(xo, yo)的切線的區(qū)別:

5、曲線y= f(x)在點P(xo, yo)處的切線是指 P為切點，若切線斜率存在時，切線斜率為k=f' (xo)，是唯一的一條切線；曲線 y= f(x)過點P(xo, yo)的切線，是指切線經過 P點，點P 可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條.兩種法則導數(shù)的四則運算法則.(2)復合函數(shù)的求導法則. 三個防范1 利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.2 要正確理解直線與曲線相切和直線與曲線只有一個交點的區(qū)別.3正確分解復合函數(shù)的結構，由外向內逐層求導，做到不重不漏. 雙基自測1.下列求導過程中1 '吉(x)'1=亦;(logax

6、)'=Inx ' ln aB.2_22D._221xxxln axln ax,xln a :(a )= (eln a )= (e )= e In a = a In a其中正確的個數(shù)是().A. 1B. 2C. 3D . 4答案 D2. (人教B版教材習題改編)函數(shù)f(x)= (x+ 2a)(x a)222A . 2(x a )B . 2(x + a )2222C. 3(x a)D. 3(x + a )解析f ' (x) = (x a) + (x+ 2a)2(x a) = 3(x a ).答案 C3. (2011湖南)曲線y= 1在點M 'n 0處的切線的斜率為(

7、).sin x+ cos x 24的導數(shù)為().解析 本小題考查導數(shù)的運算、導數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力.y'=cos x sin x+ cos x sin x cos x sin x1n121，把x=4代入得導數(shù)值為1.(s in x+ cos x j1 + sin 2x42答案B4. (2011 江西)若 f(x) = x2 2x 4ln x,則 f' (x)>0 的解集為().A. (0,+ )C. (2,+s )B. ( 1,0) U (2,+s )D. ( 1,0)42fx 2fx + 1 解析 令f' (x) = 2x 2 =>0,利用數(shù)軸標

8、根法可解得一1 v xv 0或xxx>2，又x>0，所以x> 2故選C.答案 Cy4T!J/Jz11/02 3£5 fi *5. 如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段 ABC,其中A, B, C的坐標分別為(0,4), (2,0), (6,4), 則f(f(0) =; li Axn>0土壬匚吐=(用數(shù)字作答).答案 2 202KAOXIANGTANJIUDAOXU - - V 考向探究導桁考向一導數(shù)的定義【例1】？利用導數(shù)的定義求函數(shù)f(x)= x3在x= x0處的導數(shù)，并求曲線f(x)= x3在x = x0處切線與曲線f(x)= x3的交點.審題視點正確理解導數(shù)

9、的定義是求解的關鍵.f'(x0) = X呱f(X 一 f(X0)=x X0limx X0=X!lmX0 (x2 + XX0+ Xo)= 3X0.曲線f(x) = X3在X= X0處的切線方程為(3y = x ,23y = 3X0X 2x0,y x0= 3xo (x X0), 即 y = 3x°x 2x3，由得(x X0)2(x+ 2X0)= 0,解得 x= X0, X= 2X0.若 0，則交點坐標為(X0, x0), ( 2x0, 8x0)； 若X0= 0，則交點坐標為(0,0).冬：A "：；?|I： ”利用定義求導數(shù)的一般過程是：(1)求函數(shù)的增量(2)求平均變

10、化率Ay.Ax；Ay(3) 求極限 li Ax 0 A【訓練1】 利用導數(shù)的定義證明奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù).證明 法一設y= f(x)是奇函數(shù)，即對定義域內的任意 x都有f( x) = f(x)f' (x) = li Ax 0f x+ Ax f xAx則 f' (- X)= li 礙 0f- X+Ax f 一 X=li 礙0f2S今嚴=f'(X)因此f' (x)為偶函數(shù)，同理可證偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù). 法二 設y= f(x)是奇函數(shù)，即對定義域內的任意 x都有 f( x) = - f(x),即 f(x)=- f(- x)因此 f' (

11、x)= - f( - x) '=-f( - x)'= f' (-x)則f' (x)為偶函數(shù)同理可證偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù).考向二導數(shù)的運算【例2】？求下列各函數(shù)的導數(shù):(i)y=x+ X5 丁 Sin Xx(2) y= (x+ 1)(x + 2)(x+ 3);(3) y= sin1 - 2cos2：；1 1戸 1- *x+ 1+ ,x；審題視點先把式子化為最簡式再進行求導.x1+ x5 + sin x(1) - y=x-2 '+ (x3)'-2+ (x sin x)35 c 2 c -3-2=-x-2 + 3x 2x sin x + x cos x

12、.法 一y = (x?+ 3x+ 2)(x + 3) = x + 6x? + 11 x+ 6, y'= 3x2 + 12x+ 11.法二 y'= (x+ 1)(x+ 2) ' (x+ 3) + (x+ 1)(x+ 2)(x + 3)=(x + 1)' (x+ 2) + (x+ 1)(x+ 2)' (x+ 3) + (x + 1) (x+ 2) =(x+ 2+ x+ 1)(x+ 3)+ (x+ 1)(x+ 2)=(2x+ 3)(x+ 3) + (x+ 1)(x+ 2) =3x2 + 12x+ 11.x( x1(3) y= sin? cos2 =- qS&q

13、uot; x, ， f 1 )1,1y = sin x =- (sin x) =- ?cos x.=1 + 1 = 1 + G+ 1 -長=2 ()y= 1-& 1+yx (1-G【1+vx)1-x，(2)y'2 2sin x cos x.2sin x1.2 . sin x(3) y,= exln x+ ex 1= ex£+ In x .2232(4) / y= (x+ 1) (x 1)= (x+ 1)(x 1) = x + x x 1, y'= 3x2 + 2x 1.考向三求復合函數(shù)的導數(shù)【例3】？求下列復合函數(shù)的導數(shù).(1)y= (2x 3)5; (2)y

14、= 3 x；2(3)y= sin(4)y= In (2x+ 5).審題視點正確分解函數(shù)的復合層次，逐層求導.解 (1)設 u= 2x 3,則 y= (2x 3)=e (2cos 2x sin 2x).,由y = u5與u = 2x 3復合而成， yz= fz (u) uz (x) = (u5)' (2x- 3) '= 5ux 2 =10u4= 10(2x 3)4.設 u = 3 x,貝U y=；3 x.1由y = u與u = 3 x復合而成.1 1 1 y，= f' (u) u (x) = (u?)' (3 x) '= ?u 2( 1)_ 11_13-x

15、=屮2= 3 x= 2x 6.2n(3) 設 y= uy'= (2sin 2x)(cos 2x)x 2= 2sin 4xx x y'= ( e )sin 2x+ e (cos 2x)x 2, u = sin v, v = 2x+3,Vx = 2u cos v -n_r 3.廠設 y廠 ln u, u廠 2x + 5,貝U yx'= yu, 1 , 2 y廠 k（2x+5）廠由復合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應是基本函數(shù)的結構,Uv=4sin 2x+ 3 cos 2x+則 yx'= yu2sin 4x+ 牛ux解這類問題(1)y'12 ,x2+ 1(4)

16、y'_11_寸 1 + x2 21 + x22x=1 + x2.的關鍵是正確分析函數(shù)的復合層次，一般是從最外層開始，由外向內，一層一層地分析，把 復合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)，逐步確定復合過程.【訓練3】求下列函數(shù)的導數(shù):(1) y= .x2+ 1;(2)y= si n22x;(3) y= e xsin 2x;(4) y= In < 1 + x2.x2x= -2,x2+ 1KAQTIZHUANXIAHGTUPO - -a-凈考題專項突破規(guī)范解答6如何求曲線上某一點的切線方程【問題研究】利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)在某一點的坐標或某一點處的切線方程是高考常常涉及的問題.而導致錯誤

17、.【解決方案】這類問題最容易出現(xiàn)的錯誤就是分不清楚所求切線所過的點是不是切線解這類問題的關鍵就是抓住切點.看準題目所求的是“在曲線上某點處的切線方程”還是“過某點的切線方程”，然后求某點處的斜率，用點斜式寫出切線方程.1 一 a【示例】？(本題滿分12分)(2010山東)已知函數(shù)f(x)= In x ax+ 1(a R). X(1)當a = 1時，求曲線y= f(x)在點(2, f(2)處的切線方程；1當a< 時，討論f(x)的單調性.兀d汕"(1)求出在點(2, f(2)處的斜率及f(2)，由點斜式寫出切線方程;(2)求f' (x),再對a分類討論.2 解答示范(1)

18、當 a = 1 時，f(x) = In x+ x+ x 1,x2+ x 2x (0 ,+s )所以 f (x)=x7，x (0 ,+s ), (1 分)因此f' (2) = 1，即曲線y= f(x)在點(2, f(2)處的切線斜率為1. 又 f(2) = In 2 + 2,所以曲線y= f(x)在點(2, f(2)處的切線方程為y (In 2 + 2)= x 2，即 x y+ In 2= 0.(3 分)21 a 4十./,、1a 1 ax 一 x+ 1 一 a(2)因為 f(x)= In x ax+1,所以 f (x) = x a+= x2，x (0 ,+ m ). (4 分) 令 g

19、(x) = ax2 x+ 1 a, x (0 , + ). 當 a= 0 時，g(x)= x+ 1, x (0 , + ),所以當 x (0,1)時，g(x)>0 ,此時f' (x)< 0,函數(shù)f(x)單調遞減；當x (1, +s )時,g(x)< 0,此時f' (x) >0,函數(shù)f(x)單調遞增；(6分) 當0時，由f' (x)= 0 ,即 ax2 x+ 1 a= 0,解得 x1 = 1, x2 =1 一 1.a1a. 當a= 2時，X1 = X2 , g(x)> 0恒成立，此時f' (x)< 0,函數(shù)f(x)在(0 , + )上單調遞減；(7分)11b. 當 0< a<了時，-1> 1>0.2ax (0,1)時，g(x) > 0,此時 f' (x)< 0,函數(shù) f(x)單調遞減；x 1 , 1 時，g(x)< 0，此時 f'