高考數(shù)學(xué)第一輪.1099 12.3抽樣方法、總體分布的估計

1、12.3 抽樣方法、總體分布的估計一、知識梳理(一抽樣1.簡單隨機抽樣:設(shè)一個總體的個體數(shù)為N .如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本,且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等,就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣 用簡單隨機抽樣從含有N 個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本時,每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為N1;在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為Nn; 簡單隨機抽樣的特點是,逐個抽取,且各個個體被抽到的概率相等; 簡單隨機抽樣方法,體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性,是其他更復(fù)雜抽樣方法的基礎(chǔ).(4.簡單隨機抽樣的特點:它是不放回抽簡單抽樣常用方法:(1抽簽法:先將總體中的所有個體(共有N 個編

2、號(號碼可從1到N ,并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上(號簽可用小球、卡片、紙條等制作,然后將這些號簽放在同一個箱子里,進行均勻攪拌,抽簽時每次從中抽一個號簽,連續(xù)抽取n 次,就得到一個容量為n 的樣本適用范圍:總體的個體數(shù)不多時優(yōu)點:抽簽法簡便易行,當(dāng)總體的個體數(shù)不太多時適宜采用抽簽法. (2隨機數(shù)表法: 隨機數(shù)表抽樣“三步曲”:第一步,將總體中的個體編號;第二步,選定開始的數(shù)字;第三步,獲取樣本號碼2.系統(tǒng)抽樣:當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時,可將總體分成均衡的幾個部分,然后按預(yù)先定出的規(guī)則,從每一部分抽取一個個體,得到需要的樣本,這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣.系統(tǒng)抽樣的步驟:采用隨機的方式將總體中的個

3、體編號見,有時可直接采用個體所帶有的號碼,如考生的準(zhǔn)考證號、街道上各戶的門牌號,等等 為將整個的編號分段(即分成幾個部分,要確定分段的間隔k Nn(N 為總體中的個體的個數(shù),n 為樣本容量是整數(shù)時,k=N n ;當(dāng)Nn不是整數(shù)時,通過從總體中剔除一些個體使剩下的總體中個體的個數(shù)N '能被n 整除,這時k=N n'.在第一段用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號l 按照事先確定的規(guī)則抽取樣本(通常是將l 加上間隔k ,得到第2個編號l +k,第3個編號l +2k ,這樣繼續(xù)下去,直到獲取整個樣本系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較多的情況,它與簡單隨機抽樣的聯(lián)系在于:將總體均分后的每一部分進

4、行抽樣時,采用的是簡單隨機抽樣;與簡單隨機抽樣一樣,系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣,它是客觀的、公平的. 總體中的個體數(shù)恰好能被樣本容量整除時,可用它們的比值作為系統(tǒng)抽樣的間隔;當(dāng)總體中的個體數(shù)不能被樣本容量整除時,可用簡單隨機抽樣先從總體中剔除少量個體,使剩下的個體數(shù)能被樣本容量整除在進行系統(tǒng)抽樣3.分層抽樣:當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時,為了使樣本更充分地反映總體的情況,常將總體分成幾部分,然后按照各部分所占的比例進行抽樣,這種抽樣叫做分層抽樣,所分成的部分叫做層 總體,稱這樣的抽樣為不放回抽樣;如果每次抽出個體后再將它放回總體,稱這樣的抽樣為放回抽樣.(二總體分布1.總體:在數(shù)理統(tǒng)計中,通常

5、把被研究的對象的全體叫做總體.2.頻率分布:用樣本估計總體,是研究統(tǒng)計問題的基本思想方法,樣本中所有數(shù)據(jù)(或數(shù)據(jù)組的頻數(shù)和樣本容量的比,就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)(或數(shù)據(jù)組的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來表示.3.總體分布:從總體中抽取一個個體,就是一次隨機試驗,從總體中抽取一個容量為n 的樣本,就是進行了n次試驗,試驗連同所出現(xiàn)的結(jié)果叫隨機事件,所有這些事件的概率分布規(guī)律稱為總體分布.4.總體密度曲線:樣本容量越大,所分組數(shù)越多,各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率.設(shè)想樣本容量無限增大,分組的組距無限縮小,那么頻率分布直

6、方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線. 它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率.根據(jù)這條曲線,可求出總體在區(qū)間(a,b內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線,直線x=a,x=b及x軸所圍圖形的面時間(小時 積.二、基礎(chǔ)訓(xùn)練1.一個總體中共有10個個體,用簡單隨機抽樣的方法從中抽取一容量為3的樣本,則某特定個體入樣的概率是CA.310C 3B.89103C.103 D.101 2.(2004年江蘇,6某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況,隨機調(diào)查了50名學(xué)生,得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù),結(jié)果用下面的條形圖表示.根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時間為B A.0.6

7、 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h3.一個年級有12個班,每個班有50名同學(xué),隨機編號為150號,為了了解他們在課外的興趣愛好,要求每班的33號學(xué)生留下來參加閱卷調(diào)查,這里運用的抽樣方法是DA.分層抽樣法B.抽簽法C.隨機數(shù)表法D.系統(tǒng)抽樣法4.為調(diào)查參加運動會的1000名運動員的年齡情況,從中抽查了100名運動員的年齡,就這個問題來說,下列說法正確的是A.1000名運動員是總體B.每個運動員是個體C.抽取的100名運動員是樣本D.樣本容量是100 解析:這個問題我們研究的是運動員的年齡情況.因此應(yīng)選D. 答案:D5.一個容量為n 的樣本,分成若干組,已知某數(shù)的頻數(shù)和頻率分別為40

8、、0.125,則n 的值為A.640B.320C.240D.160解析:n40=0.125,n =320.故選B. 答案:B6.某單位有老年人27人,中年人54人,青年人81人,為了調(diào)查他們的健康狀況,需從他們中抽取一個容量為36的樣本,在簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣這三種方法中較合適的抽樣方法是_.解析:要研究的總體里各部分情況差異較大,因此用分層抽樣. 答案:分層抽樣 _(精確到0.01.解析:由頻率計算方法知:總?cè)藬?shù)=45.分數(shù)在100,110中的頻率為458=0.1780.18. 分數(shù)不滿110分的累積頻率為458652+=45210.47.答案:0.18 0.47三、例題剖析【例

9、1】 (2004年湖南,5某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況,需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本,記這項調(diào)查為;在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點,要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況,記這項調(diào)查為.則完成、這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是A.分層抽樣法,系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法,簡單隨機抽樣法C.系統(tǒng)抽樣法,分層抽樣法D.簡單隨機抽樣法,分層抽樣法剖析:此題為抽樣方法的選取問題.當(dāng)總體中個體較多時宜采用系統(tǒng)抽樣;當(dāng)總體中的個體差異較大時,宜采用分層抽樣;當(dāng)總體中個體較少時,宜采用隨機抽樣.依據(jù)題意,第項

10、調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法、第項調(diào)查應(yīng)采用簡單隨機抽樣法.故選B. 答案:B評述:采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個體情況來定.【例2】 (2004年福建,15一個總體中有100個個體,隨機編號為0,1,2,99,依編號順序平均分成10個小組,組號依次為1,2,3,10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本,規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為m ,那么在第k 小組中抽取的號碼個位數(shù)字與m +k 的個位數(shù)字相同.若m =6,則在第7組中抽取的號碼是_.剖析:此問題總體中個體的個數(shù)較多,因此采用系統(tǒng)抽樣.按題目中要求的規(guī)則抽取即可.m =6,k =7,m +k =13,在第7小組中抽取的號碼是

11、63. 答案:63評述:當(dāng)總體中個體個數(shù)較多而差異又不大時可采用系統(tǒng)抽樣.采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時應(yīng)按規(guī)則進行.【例3】 把容量為100的某個樣本數(shù)據(jù)分為10組,并填寫頻率分布表,若前七組的累積頻率為0.79,而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列,則剩下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為_.剖析:已知前七組的累積頻率為0.79,而要研究后三組的問題,因此應(yīng)先求出后三組的頻率之和為1-0.79=0.21,進而求出后三組的共有頻數(shù),或者先求前七組共有頻數(shù)后,再計算后三組的共有頻數(shù).由已知知前七組的累積頻數(shù)為0.79×100=79,故后三組共有的頻數(shù)為21,依題意qq a -11(31

12、=21,a 1(1+q +q 2=21.a 1=1,q =4.后三組頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為16.答案:16評述:此題剖析只按第二種思路給出了解答,你能按第一種思路來解嗎? (2畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖;(3估計電子元件壽命在100400 h 以內(nèi)的概率; (4估計電子元件壽命在400 h 以上的概率.剖析:通過本題可掌握總體分布估計的各種方法和步驟. (2頻率分布直方圖如下: (h 1.0.0.0.0.(3由累積頻率分布圖可以看出,壽命在100400 h 內(nèi)的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.65,所以我們估計電子元件壽命在100400 h 內(nèi)的概率為0.65.(4由頻率分布表可知,壽命在40

13、0 h 以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+0.15=0.35,故我們估計電子元件壽命在400 h 以上的概率為0.35.評述:畫頻率分布條形圖、直方圖時要注意縱、橫坐標(biāo)軸的意義.【例5】 某批零件共160個,其中,一級品48個,二級品64個,三級品32個,等外品16個.從中抽取一個容量為20的樣本.請說明分別用簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時總體中的每個個體被取到的概率均相同.【例 6】一個容量為 100 的樣本，數(shù)據(jù)的分組和各組的一些相關(guān)信息如下： 分 組 頻 6 0.08 0.30 21 0.69 16 0.10 1.00 100 1.00 數(shù) 頻 率 累積頻率 12，15 15

14、，18 18，21 21，24 24，27 27，30 30，33 33，36 合 計 （1）完成上表； （2）畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖； （3）根據(jù)累積頻率分布圖，總體中小于 22 的樣本數(shù)據(jù)大約占多大的百分比? 四、同步練習(xí) g3.1099 抽樣方法、總體分布的估計 1某公司甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有 150 個、120 個、180 個、150 個銷售點公司為 了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況， 需從這 600 個銷售點中抽取一個容量為 100 的樣本， 記這項調(diào) 查為；在丙地區(qū)中有 20 個特大型銷售點，要從中抽取 7 個調(diào)查其收入和售后服務(wù)等 情況，記這項調(diào)查為則完成、這兩項調(diào)查宜采用

15、的抽樣方法依次是 （ B ） ( A 分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 ( B 分層抽樣法，簡單隨機抽樣法 ( C 系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 ( D 簡單隨機抽樣法，分層抽樣法 2 2已知樣本方差由 s = 2 å (x 10 i =1 1 10 i - 5 ，求得，則 x1 + x 2 + K + x10 = 50 3 設(shè)有 n 個樣本 x1 , x 2 , L , x n ， 其標(biāo)準(zhǔn)差為 s x ， 另有 n 個樣本 y1 , y 2 , L , y n ， y k = 3 x k + 5 且 ( k = 1, 2, L , n ，其標(biāo)準(zhǔn)差為 s y ，則下列關(guān)系正確的是 （ B ） ( A

16、 s y = 3sx + 5 ( B s y = 3sx (C s y = 3sx 人數(shù)(人 20 15 10 5 0 (D sy = 3sx + 5 4某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機調(diào)查了 50 名學(xué)生，得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間 的數(shù)據(jù)，結(jié)果用右側(cè)的條形圖表示. 根據(jù)條形圖可 得這 50 名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時間為 （ B ） ( A 0.6 小時 ( B 0.9 小時 ( C 1.0 小時 ( D 1.5 小時 5 x 是 x1 , x 2 K , x100 的平均數(shù)， a 是 x1 , x 2 K , x 40 的平 均數(shù)，b 是 x 41 , x 42 K

17、, x100 的平均數(shù)，則 x ， a ，b 之間的關(guān)系為 x = 40 a + 60 b 100 0.5 1.0 1.5 2.0 時間(小時 6某校有老師 200 人，男學(xué)生 1200 人，女學(xué)生 1000 人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中 抽取一個容量為 n 的樣本；已知從女學(xué)生中抽取的人數(shù)為 80 人，則 n = 112 7一個總體中有 100 個個體，隨機編號 0，1，2，99，依編號順序平均分成 10 個小 組，組號依次為 1，2，3，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為 10 的樣本，規(guī)定如果 在第 1 組隨機抽取的號碼為 m ， 那么在第 k 組中抽取的號碼個位數(shù)字與 m +

18、k 的個位數(shù) 字相同，若 m = 6 ，則在第 7 組中抽取的號碼是 63 8在樣本的頻率分布直方圖中，共有 11 個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于 1 其他 10 個小長方形的面積之和的 ，且樣本容量為 160 ，則中間一組的頻數(shù)為 32 4 9某中學(xué)有員工 160 人，其中中高級教師 48 人，一般教師 64 人，管理人員16 人，行 政人員 32 人，從中抽取容量為 20 的一個樣本以此例說明，無論使用三種常用的抽樣方法 中的哪一種方法，總體中的每個個體抽到的概率都相同 10. 現(xiàn)有 30 個零件，需從中抽取 10 個進行檢查，問如何采用簡單隨機抽樣得到一個容 量為 10 的樣本？ 11質(zhì)檢部門對甲、乙兩種日光燈的使用時間進行了破壞性試驗，10 次試驗得到的兩 種日光燈的使用時間如下表所示，問：哪一種質(zhì)量相對好一些？ 甲 乙 使用時間（h） 2100 2110 2120 2130 2140 頻數(shù) 1 2 3 3 1 使用時間（h） 2100 2110 2120 2130 2140 頻數(shù) 1 1 5 2 1 12. 下表給出了某學(xué)校 120 名 12 歲男生的身高統(tǒng)計分組與頻數(shù)（單位：cm） 122,126 126,1