高中奧林匹克物理競(jìng)賽解題方法-微元法3

1、 三、微元法方法簡(jiǎn)介微元法是分析、解決物理問(wèn)題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過(guò)程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在使用微元法處理問(wèn)題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元過(guò)程”，而且每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過(guò)程”，然后再將“元過(guò)程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問(wèn)題求解。使用此方法會(huì)加強(qiáng)我們對(duì)已知規(guī)律的再思考，從而引起鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí)和提高能力的作用。賽題精講例1：如圖31所示，一個(gè)身高為h的人在燈以悟空速度v沿水平直線行走。設(shè)燈距地面高為H，求證人影的頂端C點(diǎn)是做勻速直線運(yùn)動(dòng)。解析：該題

2、不能用速度分解求解，考慮采用“微元法”。設(shè)某一時(shí)間人經(jīng)過(guò)AB處，再經(jīng)過(guò)一微小過(guò)程t（t0），則人由AB到達(dá)AB，人影頂端C點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)，由于SAA=vt則人影頂端的移動(dòng)速度可見(jiàn)vc與所取時(shí)間t的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，所以人影的頂端C點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng).例2：如圖32所示，一個(gè)半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點(diǎn)，B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為.試求鐵鏈A端受的拉力T.解析：以鐵鏈為研究對(duì)象，由由于整條鐵鏈的長(zhǎng)度不能忽略不計(jì)，所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點(diǎn)，要分析鐵鏈的受力情況，須考慮將鐵鏈分割，使每一小段鐵鏈可以看成質(zhì)點(diǎn)，分析每一小段鐵邊的受力，根據(jù)物

3、體的平衡條件得出整條鐵鏈的受力情況.在鐵鏈上任取長(zhǎng)為L(zhǎng)的一小段（微元）為研究對(duì)象，其受力分析如圖32甲所示.由于該元處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以受力平衡，在切線方向上應(yīng)滿足： 由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大T，所以整個(gè)鐵鏈對(duì)A端的拉力是各段上T的和，即 觀察 的意義，見(jiàn)圖32乙，由于很小，所以CDOC，OCE=Lcos表示L在豎直方向上的投影R，所以 可得鐵鏈A端受的拉力 例3：某行星圍繞太陽(yáng)C沿圓弧軌道運(yùn)行，它的近日點(diǎn)A離太陽(yáng)的距離為a，行星經(jīng)過(guò)近日點(diǎn)A時(shí)的速度為，行星的遠(yuǎn)日點(diǎn)B離開(kāi)太陽(yáng)的距離為b，如圖33所示，求它經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)日點(diǎn)B時(shí)的速度的大小.解析：此題可根據(jù)萬(wàn)有引力提供行星的向心力

4、求解.也可根據(jù)開(kāi)普勒第二定律，用微元法求解.設(shè)行星在近日點(diǎn)A時(shí)又向前運(yùn)動(dòng)了極短的時(shí)間t，由于時(shí)間極短可以認(rèn)為行星在t時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度為，半徑為a，可以得到行星在t時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積 同理，設(shè)行星在經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)日點(diǎn)B時(shí)也運(yùn)動(dòng)了相同的極短時(shí)間t，則也有 由開(kāi)普勒第二定律可知：Sa=Sb 即得 此題也可用對(duì)稱(chēng)法求解.例4：如圖34所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的船靜止在平靜的水面上，立于船頭的人質(zhì)量為m，船的質(zhì)量為M，不計(jì)水的阻力，人從船頭走到船尾的過(guò)程中，問(wèn)：船的位移為多大？解析：取人和船整體作為研究系統(tǒng)，人在走動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)所受合外力為零，可知系統(tǒng)動(dòng)量守恒.設(shè)人在走動(dòng)過(guò)程中的t時(shí)間內(nèi)為勻速運(yùn)動(dòng)，則可計(jì)算出船的

5、位移.設(shè)v1、v2分別是人和船在任何一時(shí)刻的速率，則有 兩邊同時(shí)乘以一個(gè)極短的時(shí)間t， 有 由于時(shí)間極短，可以認(rèn)為在這極短的時(shí)間內(nèi)人和船的速率是不變的，所以人和船位移大小分別為， 由此將式化為 把所有的元位移分別相加有 即 ms1=Ms2 此式即為質(zhì)心不變?cè)? 其中s1、s2分別為全過(guò)程中人和船對(duì)地位移的大小， 又因?yàn)?L=s1+s2 由、兩式得船的位移 例5：半徑為R的光滑球固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性繩圈，原長(zhǎng)為R，且彈性繩圈的勁度系數(shù)為k，將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上，使彈性繩圈水平停留在平衡位置上，如圖35所示，若平衡時(shí)彈性繩圈長(zhǎng)為，求彈性繩圈的勁度系數(shù)k.解析

6、：由于整個(gè)彈性繩圈的大小不能忽略不計(jì)，彈性繩圈不能看成質(zhì)點(diǎn)，所以應(yīng)將彈性繩圈分割成許多小段，其中每一小段m兩端受的拉力就是彈性繩圈內(nèi)部的彈力F.在彈性繩圈上任取一小段質(zhì)量為m作為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析.但是m受的力不在同一平面內(nèi)，可以從一個(gè)合適的角度觀察.選取一個(gè)合適的平面進(jìn)行受力分析，這樣可以看清楚各個(gè)力之間的關(guān)系.從正面和上面觀察，分別畫(huà)出正視圖的俯視圖，如圖35甲和235乙.先看俯視圖35甲，設(shè)在彈性繩圈的平面上，m所對(duì)的圓心角是，則每一小段的質(zhì)量 m在該平面上受拉力F的作用，合力為因?yàn)楫?dāng)很小時(shí)， 所以再看正視圖35乙，m受重力mg，支持力N，二力的合力與T平衡.即 現(xiàn)在彈性繩圈的半徑為

7、 所以 因此T= 、聯(lián)立，解得彈性繩圈的張力為： 設(shè)彈性繩圈的伸長(zhǎng)量為x 則 所以繩圈的勁度系數(shù)為：例6：一質(zhì)量為M、均勻分布的圓環(huán)，其半徑為r，幾何軸與水平面垂直，若它能經(jīng)受的最大張力為T(mén)，求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度.解析：因?yàn)橄蛐牧=mr2，當(dāng)一定時(shí)，r越大，向心力越大，所以要想求最大張力T所對(duì)應(yīng)的角速度，r應(yīng)取最大值.如圖36所示，在圓環(huán)上取一小段L，對(duì)應(yīng)的圓心角為，其質(zhì)量可表示為，受圓環(huán)對(duì)它的張力為T(mén)，則同上例分析可得 因?yàn)楹苄?，所以，?解得最大角速度 例7：一根質(zhì)量為M，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的鐵鏈條，被豎直地懸掛起來(lái)，其最低端剛好與水平接觸，今將鏈條由靜止釋放，讓它落到地面上，如圖

8、37所示，求鏈條下落了長(zhǎng)度x時(shí)，鏈條對(duì)地面的壓力為多大？解析：在下落過(guò)程中鏈條作用于地面的壓力實(shí)質(zhì)就是鏈條對(duì)地面的“沖力”加上落在地面上那部分鏈條的重力.根據(jù)牛頓第三定律，這個(gè)沖力也就等于同一時(shí)刻地面對(duì)鏈條的反作用力，這個(gè)力的沖量，使得鏈條落至地面時(shí)的動(dòng)量發(fā)生變化.由于各質(zhì)元原來(lái)的高度不同，落到地面的速度不同，動(dòng)量改變也不相同.我們?nèi)∧骋粫r(shí)刻一小段鏈條（微元）作為研究對(duì)象，就可以將變速?zèng)_擊變?yōu)楹闼贈(zèng)_擊.設(shè)開(kāi)始下落的時(shí)刻t=0，在t時(shí)刻落在地面上的鏈條長(zhǎng)為x，未到達(dá)地面部分鏈條的速度為v，并設(shè)鏈條的線密度為.由題意可知，鏈條落至地面后，速度立即變?yōu)榱?從t時(shí)刻起取很小一段時(shí)間t，在t內(nèi)又有M=x

9、落到地面上靜止.地面對(duì)M作用的沖量為 因?yàn)?所以 解得沖力：，其中就是t時(shí)刻鏈條的速度v，故 鏈條在t時(shí)刻的速度v即為鏈條下落長(zhǎng)為x時(shí)的即時(shí)速度，即v2=2gx，代入F的表達(dá)式中，得 此即t時(shí)刻鏈對(duì)地面的作用力，也就是t時(shí)刻鏈條對(duì)地面的沖力.所以在t時(shí)刻鏈條對(duì)地面的總壓力為 例8：一根均勻柔軟的繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m，對(duì)折后兩端固定在一個(gè)釘子上，其中一端突然從釘子上滑落，試求滑落的繩端點(diǎn)離釘子的距離為x時(shí)，釘子對(duì)繩子另一端的作用力是多大？解析：釘子對(duì)繩子另一端的作用力隨滑落繩的長(zhǎng)短而變化，由此可用微元法求解.如圖38所示，當(dāng)左邊繩端離釘子的距離為x時(shí)，左邊繩長(zhǎng)為，速度 ，右邊繩長(zhǎng)為 又經(jīng)過(guò)一段很短

10、的時(shí)間t以后，左邊繩子又有長(zhǎng)度的一小段轉(zhuǎn)移到右邊去了，我們就分析這一小段繩子，這一小段繩子受到兩力：上面繩子對(duì)它的拉力T和它本身的重力為繩子的線密度），根據(jù)動(dòng)量定理，設(shè)向上方向?yàn)檎?由于t取得很小，因此這一小段繩子的重力相對(duì)于T來(lái)說(shuō)是很小的，可以忽略，所以有 因此釘子對(duì)右邊繩端的作用力為例9：圖39中，半徑為R的圓盤(pán)固定不可轉(zhuǎn)動(dòng)，細(xì)繩不可伸長(zhǎng)但質(zhì)量可忽略，繩下懸掛的兩物體質(zhì)量分別為M、m.設(shè)圓盤(pán)與繩間光滑接觸，試求盤(pán)對(duì)繩的法向支持力線密度.解析：求盤(pán)對(duì)繩的法向支持力線密度也就是求盤(pán)對(duì)繩的法向單位長(zhǎng)度所受的支持力.因?yàn)楸P(pán)與繩間光滑接觸，則任取一小段繩，其兩端受的張力大小相等，又因?yàn)槔K上各點(diǎn)受的支

11、持力方向不同，故不能以整條繩為研究對(duì)象，只能以一小段繩為研究對(duì)象分析求解.在與圓盤(pán)接觸的半圓形中取一小段繩元L，L所對(duì)應(yīng)的圓心角為，如圖39甲所示，繩元L兩端的張力均為T(mén)，繩元所受圓盤(pán)法向支持力為N，因細(xì)繩質(zhì)量可忽略，法向合力為零，則由平衡條件得：當(dāng)很小時(shí)， N=T又因?yàn)?L=R則繩所受法向支持力線密度為 以M、m分別為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓定律有 MgT=Ma Tmg=ma 由、解得： 將式代入式得：例10：粗細(xì)均勻質(zhì)量分布也均勻的半徑為分別為R和r的兩圓環(huán)相切.若在切點(diǎn)放一質(zhì)點(diǎn)m，恰使兩邊圓環(huán)對(duì)m的萬(wàn)有引力的合力為零，則大小圓環(huán)的線密度必須滿足什么條件？解析：若要直接求整個(gè)圓對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬(wàn)有引力

12、比較難，當(dāng)若要用到圓的對(duì)稱(chēng)性及要求所受合力為零的條件，考慮大、小圓環(huán)上關(guān)于切點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的微元與質(zhì)量m的相互作用，然后推及整個(gè)圓環(huán)即可求解.如圖310所示，過(guò)切點(diǎn)作直線交大小圓分別于P、Q兩點(diǎn)，并設(shè)與水平線夾角為，當(dāng)有微小增量時(shí)，則大小圓環(huán)上對(duì)應(yīng)微小線元其對(duì)應(yīng)的質(zhì)量分別為 由于很小，故m1、m2與m的距離可以認(rèn)為分別是 所以m1、m2與m的萬(wàn)有引力分別為由于具有任意性，若F1與F2的合力為零，則兩圓環(huán)對(duì)m的引力的合力也為零， 即 解得大小圓環(huán)的線密度之比為：例11：一枚質(zhì)量為M的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出氣體的速度為v，那么火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率是多少？解析：火箭噴氣時(shí)，要對(duì)氣體做功，

13、取一個(gè)很短的時(shí)間，求出此時(shí)間內(nèi)，火箭對(duì)氣體做的功，再代入功率的定義式即可求出火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率.選取在t時(shí)間內(nèi)噴出的氣體為研究對(duì)象，設(shè)火箭推氣體的力為F，根據(jù)動(dòng)量定理，有Ft=m·v 因?yàn)榛鸺o止在空中，所以根據(jù)牛頓第三定律和平衡條件有F=Mg即 Mg·t=m·v t=m·v/Mg 對(duì)同樣這一部分氣體用動(dòng)能定理，火箭對(duì)它做的功為： 所以發(fā)動(dòng)機(jī)的功率 例12：如圖311所示，小環(huán)O和O分別套在不動(dòng)的豎直桿AB和AB上，一根不可伸長(zhǎng)的繩子穿過(guò)環(huán)O，繩的兩端分別系在A點(diǎn)和O環(huán)上，設(shè)環(huán)O以恒定速度v向下運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)AOO=時(shí)，環(huán)O的速度.解析：O、O之間的速度關(guān)系與

14、O、O的位置有關(guān)，即與角有關(guān)，因此要用微元法找它們之間的速度關(guān)系.設(shè)經(jīng)歷一段極短時(shí)間t，O環(huán)移到C，O環(huán)移到C，自C與C分別作為OO的垂線CD和CD，從圖中看出. 因此OC+OC= 因極小，所以ECED，ECED，從而OD+ODOOCC 由于繩子總長(zhǎng)度不變，故 OOCC=OC 由以上三式可得：OC+OC= 即 等式兩邊同除以t得環(huán)O的速度為 例13： 在水平位置的潔凈的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，水銀近似呈現(xiàn)圓餅形狀（側(cè)面向外凸出），過(guò)圓餅軸線的豎直截面如圖312所示，為了計(jì)算方便，水銀和玻璃的接觸角可按180°計(jì)算.已知水銀密度，水銀的表面張力系數(shù)當(dāng)圓餅的半徑很

15、大時(shí)，試估算其厚度h的數(shù)值大約為多少？（取1位有效數(shù)字即可）解析：若以整個(gè)圓餅狀水銀為研究對(duì)象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液體的體積不是h的簡(jiǎn)單函數(shù)，而且支持力N和重力mg都是未知量，方程中又不可能出現(xiàn)表面張力系數(shù)，因此不可能用整體分析列方程求解h.現(xiàn)用微元法求解.在圓餅的側(cè)面取一個(gè)寬度為x，高為h的體積元，如圖312甲所示，該體積元受重力G、液體內(nèi)部作用在面積x·h上的壓力F，還有上表面分界線上的張力F1=x和下表面分界線上的張力F2=x.作用在前、后兩個(gè)側(cè)面上的液體壓力互相平衡，作用在體積元表面兩個(gè)彎曲分界上的表面張力的合力，當(dāng)體積元的寬度較小時(shí)，這兩個(gè)力也是平衡的

16、，圖中都未畫(huà)出.由力的平衡條件有： 即 解得：由于 故2.7×103m<h<3.8×103m題目要求只取1位有效數(shù)字，所以水銀層厚度h的估算值為3×103m或4×103m.例14：把一個(gè)容器內(nèi)的空氣抽出一些，壓強(qiáng)降為p，容器上有一小孔，上有塞子，現(xiàn)把塞子拔掉，如圖313所示.問(wèn)空氣最初以多大初速度沖進(jìn)容器？（外界空氣壓強(qiáng)為p0、密度為）解析：該題由于不知開(kāi)始時(shí)進(jìn)入容器內(nèi)分有多少，不知它們?cè)谌萜魍馊绾畏植?，也不知空氣分子進(jìn)入容器后壓強(qiáng)如何變化，使我們難以找到解題途徑.注意到題目中“最初”二字，可以這樣考慮：設(shè)小孔的面積為S，取開(kāi)始時(shí)位于小孔外一

17、薄層氣體為研究對(duì)象，令薄層厚度為L(zhǎng)，因L很小，所以其質(zhì)量m進(jìn)入容器過(guò)程中，不改變?nèi)萜鲏簭?qiáng)，故此薄層所受外力是恒力，該問(wèn)題就可以解決了. 由以上分析，得：F=(p0p)S 對(duì)進(jìn)入的m氣體，由動(dòng)能定理得： 而 m=SL 聯(lián)立、式可得：最初中進(jìn)容器的空氣速度 例15：電量Q均勻分布在半徑為R的圓環(huán)上（如圖314所示），求在圓環(huán)軸線上距圓心O點(diǎn)為x處的P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.解析：帶電圓環(huán)產(chǎn)生的電場(chǎng)不能看做點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，故采用微元法，用點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)結(jié)合對(duì)稱(chēng)性求解.選電荷元 它在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)的x分量為：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性 由此可見(jiàn)，此帶電圓環(huán)在軸線P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小相當(dāng)于帶電圓環(huán)帶電量集中在圓環(huán)的某一點(diǎn)

18、時(shí)在軸線P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小，方向是沿軸線的方向.例16：如圖315所示，一質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)，其半徑為R，質(zhì)量為m.令此環(huán)均勻帶正電，總電量為Q.現(xiàn)將此環(huán)平放在絕緣的光滑水平桌面上，并處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向豎直向下.當(dāng)此環(huán)繞通過(guò)其中心的豎直軸以勻角速度沿圖示方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，環(huán)中的張力等于多少？（設(shè)圓環(huán)的帶電量不減少，不考慮環(huán)上電荷之間的作用）解析：當(dāng)環(huán)靜止時(shí)，因環(huán)上沒(méi)有電流，在磁場(chǎng)中不受力，則環(huán)中也就沒(méi)有因磁場(chǎng)力引起的張力.當(dāng)環(huán)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，環(huán)上電荷也隨環(huán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，形成電流，電流在磁場(chǎng)中受力導(dǎo)致環(huán)中存在張力，顯然此張力一定與電流在磁場(chǎng)中受到的安培力有關(guān).由題意可知環(huán)上各點(diǎn)所受安培力方向均不同，張力方向也不同，因而只能在環(huán)上取一小段作為研究對(duì)象，從而求出環(huán)中張力的大小.在圓環(huán)上取L=R圓弧元，受力情況如圖315甲所示.因轉(zhuǎn)動(dòng)角速度而形成的電流 ，電流元IL所受的安培力因圓環(huán)法線方向合力為圓弧元做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，當(dāng)很小時(shí)， 解得圓環(huán)中張力為 例17：如圖316所示，一水平放置的光滑平行導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為m的金屬桿，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌的一端連接一阻值為R的電阻，其他電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面.現(xiàn)給金屬桿一個(gè)