七年級數(shù)學(xué)暑假班講義：第13講因式分解綜合(教師版)

1、七年級暑假班<TxT 因式分解綜合內(nèi)容分析本部分內(nèi)容包括因式分解的有關(guān)概念， 因式分解的常用基本方法.因式分解 在代數(shù)學(xué)習(xí)中具有基礎(chǔ)作用，它在代數(shù)的恒等變換，分式的通分，約分以及解方 程方面都起著重要作用.通過學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、運算能力.知識結(jié)構(gòu)知識精講一、因式分解基本概念1、因式分解：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也 可稱為將這個多項式分解因式.2、因式分解與整式乘法互為逆變形:整式乘法m(a b c) ? ma''因式分解mb mc式中m可以代表單項式，也可以代表多項式，它是多項式中各項都含有的因式，稱為公因七年級暑假班

2、二、四種基本方法：1、提取公因式法：多項式 ma mb mc各項都含有公因式 m ,可把公因式 m提到外面， 將多項式ma mb mc寫成m與a b c的乘積形式，此法叫做提取公因式法.提取公因式的步驟：(1)找出多項式各項的公因式.(2)提出公因式.(3)寫成m與a b c的乘積形式.提取公因式法的幾個技巧和注意點：(1) 一次提凈.視多"為(3)切勿漏1.(4)注意符號：在提出的公因式為負(fù)的時候，注意各項符號的改變.(5)化 分”為整：在分解過程中如出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，可先提出分?jǐn)?shù)單位后再進(jìn)行分解(6)仔細(xì)觀察：當(dāng)各項看似無關(guān)的時候，仔細(xì)觀察其中微妙的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化后再分解.2、逆用乘法公式將

3、一個多項式分解因式的方法叫做公式法.(1)平方差公式： 22由平方差公式反過來可得：a b (a b)(a b),這個公式叫做因式分解的平方差公式；(2)完全平方公式： .2_.2,.、22_.2,.、2、.由完全平方公式反過來可得：a 2ab b (a b)和a 2ab b (a b),這兩個公式叫做因式分解的完全平方公式.23、十字相乘法：如果二次三項式 x px q中的常數(shù)項q能分解成兩個因式a、b的積，而且一次項系數(shù) p又恰好是a b ,那么x2 px q就可以進(jìn)行如下的分解因式，即 ：222x px q x a b x ab x a x b要將二次二項式 x px q分解因式，就需要

4、找到兩個數(shù)a、b,使它們的積等于常數(shù)項 q,和等于一次項系數(shù) p,滿足這兩個條件便可 以進(jìn)行如下分解因式，即：x2 px q x2 (a b)x ab (x a)(x b).這種利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.4、分組分解法：將一個多項式分成二或三組，各組分別分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，這就是分組分解法.7 / 181 .下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是（2A、 a 3a 3 a 92B、 ab22C、 a 4a 5 a a 452D、 m2m把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解,因此判斷B正確.本題主要考查因式分解的概念.2

5、 .下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（_2A、 x ab ax bxB、x 12C、 x2D、 9m6mn24n3m 2nC正確.把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解，因此判斷 本題主要考查因式分解的概念.3 .下列各式的分解因式: 100 p2 25q210 5q 10 5q24m2n 2m n 2m n x2 6 x 3A、0B、1C、2D、3其中應(yīng)該為(10p 5q)(10p5q)應(yīng)該為（4 m2n2）;不能因式分解.【總結(jié)】本題主要考查因式分解的概念.4 .多項式36a3b2 18a2b3 12a2b2各項的公因式是（）八 2 23 3332 2A、a bB、12

6、abC、6abD、6ab【難度】【答案】D【解析】根據(jù)公因式的定義.【總結(jié)】本題主要考查公因式的概念.2c的值為（5 .已知多項式2x bx c分解因式為2 x 3 x 1 ,則bA、b 3,c1B、b 6,c 2C、 b 6,c4D、b 4,c6【難度】【答案】D【解析】2x3x1 2x2 4x 6 .【總結(jié)】考查整式的乘法以及待定系數(shù)法.6 .下列多項式中不能用平方差公式分解的是（八2,222A、 a bB、 x y【難度】【答案】B【解析】B選項變形可得 （x2 y2）._222_42 2C、 49x y z D、16m25n p【總結(jié)】考查平方差公式的定義.7 .下列各式中，能用完全平

7、方公式分解因式的是（）A、 x y y x 4xy_2_2B、 a 2ab 4b212C、4mm D> a b 2a 2b 14【難度】【答案】D2【斛析】D選項變形為a b 2（a b） 1 .【總結(jié)】本題主要考查對完全平方公式的理解及運用.228. 已知正方形的面積是16 8x x cm ( x 4cm),則正方形的邊長是()A、 4 x cm B、 x 4 cmC、 16 4x cmD、 4x 16 cm【難度】【答案】B【解析】J(4x)2 4 x x 4 .【總結(jié)】考查二次根式的非負(fù)性以及完全平方公式9.分解因式x4 1得()22B、x 1 x 1D、22A、 x 1 x 1C

8、、 x 1 x 1x21【難度】【答案】C【解析】x4 1 (x2 1)(x2 1) (x 1)(x 1)(x2 1).【總結(jié)】本題主要考查利用平方差公式分解因式，注意一定要分解徹底.3310 . 一個多項式分解因式的結(jié)果是b 2 2 b ,那么這個多項式是()6666A、b 4B、4 bC、b 4D、b 4【難度】【答案】B【解析】b3 2 2 b3 4 b6.【總結(jié)】本題主要考查整式的乘法與因式分解之間的關(guān)系.n211 .右多項式 2x81能分解成 4x 9 2x 3 2x 3 ,那么n=()A、2B、4C、6D、8【難度】【答案】B【解析】4x2 9 2x 3 2x 3(4x2 9)(4

9、 x2 9) 16x4 81 .【總結(jié)】考查整式的乘法以及騫的運算.七年級暑假班12 .如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為 b的小正方形(a b),把余下的部分 剪拼成一個矩形(如圖)，通過計算兩個圖形(陰影部分)的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（）22A、 a 2b a b a ab 2b_, 2 一 ，一 ，一15. 5x 25xy的公因式是【難度】【答案】5x2【解析】5x2 25x2y 5x2(1 5y).【總結(jié)】考查如何提取公因式.22B、 aba2abb_, 222C、 aba2abb2, 2,D、 abab ab【難度】【答案】D【解析】割補法求面積.【總結(jié)】直接利用面

10、積公式進(jìn)行求解，這也是驗證平方差公式成立的一種方法.13 .直接寫出因式分解的結(jié)果：(1) x2y2 y2 ； (2) 3a2 6a 3 【難度】【答案】(1) y2(x 1)(x 1)； (2) 3(a 1)2.【解析】(1)原式y(tǒng)2(x2 1) y2(x 1)(x 1)；(2)原式 3(a2 2a 1) 3(a 1)2.【總結(jié)】本題主要考查提取公因式以及利用乘法公式進(jìn)行因式分解.2214 .填上適當(dāng)?shù)氖阶?，使等式成立?xy x y xy xy【難度】【答案】2 y x 1 .【解析】2xy2 x2y xy xy (2y x 1).【總結(jié)】本題主要考查通過提取公因式進(jìn)行因式分解，注意不要遺

11、漏提取因式后的1.七年級暑假班16.利用分解因式計算：77(1) 16.8 7.6 =;321622 1.229 1.334=;(3) 5 998 10=.【難度】【答案】(1) 7; (2) 6.32; (3) 5000.【解析】(1)原式 16.8 -7.6 (8.47.6) 16 7216161616(2)原式 1.222 32 1.332 22 (1.22 3)2 (1.33 2)2(1.22 3 1.33 2)(1.22 3 1.33 2)(3.66 2.66)(3.66 2.66) 6.32 ;(3)原式 5 2 499 10 10 499 10 10 (499 1) 10 500

12、 5000 .【總結(jié)】本題主要考查提取公因式以及利用乘法公式進(jìn)行因式分解，注意進(jìn)行巧算.17 .利用因式分解簡便計算：7.292 2.712 .【難度】【答案】45.8.【解析】原式(7.29 2.71)(7.29 2.71) 4.58 10 45.8 .【總結(jié)】本題主要考查利用乘法公式進(jìn)行簡便運算.218 .若 x 3x 10 x a x b ,貝(J a=, b=【難度】【答案】a 5 ；比2b2b2 5【解析】x2 3x 10 (x 5)(x 2).【總結(jié)】本題主要考查整式的乘法以及待定系數(shù)法.17 / 18319 . 分斛因式： m 4m =.【難度】【答案】m(m 2)(m 2).【

13、解析】原式m(m2 4) m(m 2)( m 2).【總結(jié)】本題主要考查提取公因式以及利用乘法公式進(jìn)行因式分解，注意分解要徹底.20 .已知：若a2 3ab 4b2 0 ,則a的值為.b【難度】【答案】4或-1.【解析】: a2 3ab 4b2 (a 4b)(a b) 0,. (a 4b)(a b) 0.a = 4b 或 a = - b,的值為 4 或-1 .b1 ，一去的值為1021.計算 1【難度】【答案】20【解析】原式【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解解二次方程.1111(1 2)(1 2)(1 3)(1 3)L (11 3 2 4L 8 10 9 112 2 3 39 9 10 101

14、 1111 2 10 20【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解進(jìn)行分?jǐn)?shù)簡便運算.一,一,2222.如果已知x y 6 , xy 4 ,貝U x y xy的值為【難度】【答案】24.【解析】x2y xy2 xy(x y) 6 4 24 .【總結(jié)】利用因式分解求解代數(shù)式的值.22八 2 c 223.右 x y 5, xy 6 貝U x y xy =, 2x 2y =.【難度】【答案】30; 74.【解析】 x2y xy2 xy(x y) 6 5 30； 2x2 2y2 2 (x y)2 2xy 2 25 1274 .【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解求解代數(shù)式的值以及整體代入思想的運用.2224.右x

15、y z 2, x y z 8時，x y z=.【難度】【答案】4.【解析】: x2 (y z)2 (x y z)(x y z) 8,又 x y z 2 , . x y z 4.【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解求解代數(shù)式的值以及整體代入思想的運用.2 Hm n222425.右 x y = x y x y x y,則 m【難度】【答案】4; 8.【解析】x y2 x y2 x2 y4【總結(jié)】考查整式的乘法以及待定系數(shù)法.26.已知兩個正方形的周長差是96cm,面積差是 960 cm2,則這兩個正方形的邊長分別是【難度】【答案】32和8.cm.【解析】設(shè)較大的邊長為 a,較小的邊長為b ,由兩個正方

16、形的周長差是96cm,面積差是24a960cm2,可得 2 a4b 96a b 242；由此變形可得，b2 960'(a b)(a b) 960'a 32b 8 ,【總結(jié)】本題主要考查因式分解在有關(guān)正方形周長和面積求解中的運用.2_227 .已知正萬形的面積是 9x 6xy y (x 0, y 0),利用分解因式，與出表不該正萬形的邊長的代數(shù)式.【難度】【答案】3x y .【解析】9x2 6xy y2 (3x y)2 .【總結(jié)】本題主要考查因式分解在有關(guān)正方形面積求解中的運用.228 .甲、乙兩個同學(xué)分解因式x ax b時，甲看錯了 b,分解結(jié)果為 x 2 x 4 .乙看錯了

17、a ,分解結(jié)果為 x 1 x 9 ,貝U a =, b =.【難度】【答案】6, 9.【解析】由(x 2)(x 4) x2 6x 8可彳導(dǎo):a 6,再由 x 1 x 9 x2 10x 9可彳導(dǎo):b 9 .【總結(jié)】考查整式的乘法以及待定系數(shù)法，要認(rèn)真理解題意. .229 .已知a為任意整數(shù),且a 13a2的值總可以被n (n為自然數(shù)，n 1)整除，則n的值為.【難度】【答案】13.2【解析】由 a 13a2 (a 13 a)(a 13 a) 13 (2a 13),可得 13 (2a 13)總可以被13整除.【總結(jié)】考查數(shù)的整除以及平方差公式的運用.230.因式分解：2x x2xy 14y 328

18、y =【答案】(x 4y 1)(x2y3).【解析】方法一：原式2xy8y22x14y 3 (x 4y)(x 2y) 2(x 7y) 3(x4y1)(x2y3)；方法二：原式(x1)22y(x21) 8y2212y 4 (x 1)2 2y(x 1) 4(2y 1)(y 1)(x4y1)(x2y 3).【總結(jié)】本題綜合性較強，主要利用分組分解法以及添項或者雙十字相乘進(jìn)行分解.31.在下列各式中，從左到右的變形是不是因式分解？(1) x3 x 3x29；(2)x25x 24 x 3 x 8 ；221(3) x2x 3 xx23；(4)x1 x x .x【難度】【答案】(1)不是；(2)是；(3)不

19、是；(4)不是.【解析】(1)乘法公式；(3)沒有表示成乘積的形式；(4)因式不是整式.【總結(jié)】本題主要考查因式分解的概念.32 .把下列各式因式分解：4c 32c 3,、233 222 2(1) 8x y 6xy 2x y ；(2)x x y2 y x ；(3)45a bc 9a bc 54a bc ;33 .把下列各式因式分解：(1)a2 4a 4;(2) 4m2 9n2;2222(3) a 2b 2a b ;(4) x 4y 4xy .【難度】【答案】(1) (a 2)2； (2) (2m 3n)(2m 3n) ; (3)3(a b)(a b) ; (4) (x 2y)2 .【解析】(1

20、)原式(a 2)2； (2)原式(2 m 3n)(2m 3n);(3)原式(a 2b 2a b)(a 2b 2a b) ( a b)(3a 3b)3(a b)(a b);(4)原式 (x2 4y2 4xy) (x 2y)2 .【總結(jié)】本題主要考查利用乘法公式進(jìn)行因式分解，注意對公式的準(zhǔn)確運用.34.把下列各式因式分解：(1) a6 16a2;54 33 5(3)a b 18ab 81a b ；【難度】【答案】(1) a2(a 2)(a 2)(a2 4)；32 2(3) a3b(a 9b2)2；【解析】(1)原式a2(a4 16) a2(a2 4)(a2 4) a2(a(2)原式(a b)3(a

21、 b a b) 2(a b)4；(3)原式 a3b(a2 18ab2 81b4) a3b(a 9b2)2；433(2) a b a a b b b a,.、42(4) 16x8x1 .-4(2) 2(a b)；22(4) (2x 1)2(2x 1)2.22)(a 2)(a2 4)；(4)原式(4x2 1)2 (2x 1)2(2x 1)2.【總結(jié)】本題主要考查提取公因式以及利用乘法公式進(jìn)行因式分解，注意分解一定要徹底.35.把下列各式因式分解:(1) 2x2 -y2;232(3) a a 2b 2a b;42 24(2) x 5x y 4y ;,、22【難度】【答案】(1) 2(x 2y)(x

22、12 y);(3) (a 1)(a 1)(a 2b);【解析】(1)原式2(x2 -y2)4(2)原式(x2 4y2)(x2(2) (x 2y)(x 2y)(x y)(x y);(4) (x y 3)(x y 1).2(x1,1二 y)(x 二 y)；222、y ) (x 2y)(x 2y)(x y)(x y)；(3)原式2-a (a 2b) (a 2b)2-(a 1)(a 2b) (a 1)(a 1)(a 2b)；(4)原式2_(x y) 2(xy) 3 (x y 3)(x y 1).【總結(jié)】考查利用不同的方法進(jìn)行因式分解,注意分解要徹底，分到不能再分解為止.(4) x 2xy y 2x 2

23、y 3 .(4)原式(x2、，24x 4)(x 4x224) (x 2)2(x 2)2.36 .把下列各式分解因式:322.2. 2(1) a2a bab ;(2)ax y b yx ；【總結(jié)】考查利用不同的方法進(jìn)行因式分解，注意分解要徹底，分到不能再分解為止.七年級暑假班22(2) x 6xy 16y ；2(3) x y 2 y x 80 ;【難度】【答案】(1) (x 1)4；(3) (x y 10)( x y 8);【解析】(1)原式 (x2 1 2x)2 (x,2,22(4) 4x 4xy y z .(2) (x 8y)(x 2y);(4) (2x y z)(2x y z).1)4；(

24、2)原式(x 8y)(x 2y);(3)原式 (x y 10)( x y 8);(4)原式(2x y)2 z2 (2x y z)(2 x y z).【總結(jié)】考查利用不同的方法進(jìn)行因式分解以及整體思想的運用.38.把下列各式因式分解：(1) a3 2a2b ab2；2(2) x y 2 x y 1 ；/八、2(3) 9ab 16 a b.22(4) x 4xy 4y x 2y 6 .【難度】【答案】(1) a(a b)2；(3) (a 7b)(7a b);，一 2(2) (x y 1)；(4) (x 2y 3)(x 2y 2).【解析】(1)原式a(a2 2ab b2) a(a b)2 ；37

25、.把下列各式因式分解:2422(1) x 1 4x x 1 4x ;21 / 18(2)原式(x y 1)2；b)；(3)原式(3a 3b 4a 4b)(3a 3b 4a 4b) ( a 7b)(7a b) (a 7b)(7a(4)原式(x 2y)2 (x 2y) 6 (x 2y 3)(x 2y 2).【總結(jié)】考查利用不同的方法進(jìn)行因式分解，注意代數(shù)式系數(shù)的化簡.39.運有簡便的方法計算：75 2.62 12 3.52.【難度】【答案】360.【解析】原式3 5 5 2.62 2 2 3 3.52 3 132 3 72 3 (13 7)(13 7)3 6 20 360.【總結(jié)】本題主要考查利用

26、數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解以及平方差公式和提取公因式進(jìn)行簡便運算.40 .利用簡便方法計算下列各題： 22(1) 991 1009；(2) 20114022 2010 2010 .【難度】【答案】(1) 999919; (2) 1.【解析】(1)原式 (1000 9)(1000 9) 1000000 81 999919;(2)原式 20112 2 2011 2010 20102 (2011 2010)2 1 .【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解的思想進(jìn)行簡便運算.41 .利用分解因式進(jìn)行計算：3.46 14.7 0.54 14.7 29.4.【難度】【答案】29.4.【解析】原式14.7 (3.46 0.5

27、4 2) 14.7 2 29.4 .【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解的思想進(jìn)行簡便運算.121 2 .42 .已知：a b 2,求1aab 1b的值.22【難度】【答案】2.2.【解析】原式1(a22abb2)1(ab)2,把a b2代入，得：a2ab b22222【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解求代數(shù)式的值以及整體思想的運用.3- 2 23 ,43.已知：x y 1, xy 2 ,求 x y 2x y xy 的值.【難度】【答案】2.【解析】x3y 2x2 y2 xy3 xy(x2 2xy y2) xy(x y)2 2 1 2.【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解求代數(shù)式的值以及整體思想的運用.

28、44.已知：ab - , ab 3 ,求 a3b 2a2b2 ab3 的值. 28【難度】16【解析】a3b 2a2b2 ab3 ab(a2 2ab b2) ab(a b)2 3 -.8 2 16【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解求代數(shù)式的值以及整體思想的運用.一乙一，245.已知：x x 1 x y【難度】【答案】2.【解析】由x(x 1) (x2 y)222,求-y- xy的值.2一 222 ,可得 x x x y 2,即 yx 2.22222x y xy x y 2xy (x y)2222.【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解求代數(shù)式的值以及整體思想的運用.七年級暑假班46.若 4x4 axb

29、x240x1600是完全平方式，求a與b的值.【解析】設(shè)2(mxnxb22l)a2a3b315亭b4則(mx2nxl)2由此可得:2 m2mnn 2ml bl2 16004;4x ax32mnxbi2bx40x 1600 ,2. 2nx l22mlx2nlx11mi,240122I2n2m3,440122ai 1a2 1a3【總結(jié)】本題綜合性較強，難度較大,1 1592b21 ； 1602b311 ；159 2b411 .1602主要考查利用完全平方公式以及待定系數(shù)法求解，注意符號和分類討論.347. 199199能被198整除嗎？能被 200整除嗎？說明你的理由.【難度】【答案】能.【解析】因為 1993 199 199(1992 1) 199(199 1)(199 1) 199 198 200