與圓有關(guān)的專題綜合講義(九)(共33頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上與圓有關(guān)的專題綜合講義（九）例1 如圖，AB是O直徑，D為O上一點(diǎn)，AT平分BAD交O于點(diǎn)T，過T作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)C（1）求證：CT為O的切線；（2）若O半徑為2，CT=，求AD的長例2 AB是O的直徑，點(diǎn)P在弧AB上（不含點(diǎn)A、B），把AOP沿OP對折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C恰好落在O上（1）當(dāng)P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；（2）當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)P、C都在AB上方時（如圖3），過C點(diǎn)作CD直線AP于D，且CD是O的切線，證明：AB=4PD例3 如圖，

2、AB是O的直徑，AC是弦，直線EF和O相切于點(diǎn)C，ADEF，垂足為D（1）求證：DAC=BAC；（2）若把直線EF向上平行移動，如圖，EF交O于G、C兩點(diǎn)，若題中的其它條件不變，這時與DAC相等的角是哪一個？為什么？例4 如圖，已知直線PA交O于A、B兩點(diǎn)，AE是O的直徑，點(diǎn)C為O上一點(diǎn)，且AC平分PAE，過C作CD丄PA，垂足為D（1）求證：CD為O的切線；（2）若DC+DA=6，O的直徑為10，求AB的長度例5 在ABC中，AB=BC，點(diǎn)O是ABC的外心，連接AO并延長交BC于D，交ABC的外接圓于E，過點(diǎn)B作O的切線交AO的延長線于Q，設(shè)OQ=，BQ=3（1）求O的半徑；（2）若DE=，

3、求四邊形ACEB的周長例6 如圖，以ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，若AC=FC（1）求證：AC是O的切線：（2）若BF=8，DF=，求O的半徑r例7 如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C在O上，延長BC至點(diǎn)D，使DC=CB，延長DA與O的另一個交點(diǎn)為E，連接AC，CE（1）求證：B=D；（2）若AB=4，BCAC=2，求CE的長例8 如圖，ABC內(nèi)接與O，AB是直徑，O的切線PC交BA的延長線于點(diǎn)P，OFBC交AC于AC點(diǎn)E，交PC于點(diǎn)F，連接AF（1）判斷AF與O的位置關(guān)系并說明理由；（2）若O的半徑為4，AF=3，

4、求AC的長例9 已知直線I與O，AB是O的直徑，ADI于點(diǎn)D（）如圖，當(dāng)直線I與O相切于點(diǎn)C時，若DAC=30°，求BAC的大?。唬ǎ┤鐖D，當(dāng)直線I與O相交于點(diǎn)E、F時，若DAE=18°，求BAF的大小例10 如圖，AB是O的直徑，AM和BN是O的兩條切線，E是O上一點(diǎn)，D是AM上一點(diǎn)，連接DE并延長交BN于點(diǎn)C，且ODBE，OFBN（1）求證：DE與O相切；（2）求證：OF=CD例11 平面直角坐標(biāo)系中，O的半徑等于5，弦DHx軸于K點(diǎn)，DH=8（1）如圖1，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；（2）如圖2，點(diǎn)A為O和x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，P為弧AH上任意一點(diǎn)，連接PK，PH，AMPH交HP的延長

5、線于點(diǎn)M，求的值；（3）如圖3，O與x軸正半軸交點(diǎn)為S，點(diǎn)E、F是線段OS上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)S重合），連接并延長DE，DF交O于點(diǎn)B、C，直線BC交x軸于點(diǎn)G，若DEF是以EF為底的等腰三角形，當(dāng)E、F兩點(diǎn)在OS上運(yùn)動時（不與點(diǎn)S重合），OGC+DOG的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若變化，請求出其變化范圍例12 已知O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O1在O2上，C為O2上一點(diǎn)（不與A，B，O1重合），直線CB與O1交于另一點(diǎn)D（1）如圖（1），若AD是O1的直徑，AC是O2的直徑，求證：AC=CD；（2）如圖（2），若C是O1外一點(diǎn)，求證：O1C丄AD；（3）如圖（3），若C是O1內(nèi)的一點(diǎn)

6、，判斷（2）中的結(jié)論是否成立？例13 正方形ABCD的四個頂點(diǎn)都在O上，E是O上的一點(diǎn)（1）如圖，若點(diǎn)E在上，F(xiàn)是DE上的一點(diǎn)，DF=BE求證：ADFABE；（2）在（1）的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DEBE=AE請你說明理由；（3）如圖，若點(diǎn)E在上寫出線段DE、BE、AE之間的等量關(guān)系例14 如圖，AD是O的切線，切點(diǎn)為A，AB是O的弦過B作BCAD，交O于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)C作CDAB，交AD于點(diǎn)D連接AO并延長交BC于點(diǎn)M，交過點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P，且BCP=ACD（1）判斷直線PC與O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB=9，BC=6求PC的長練習(xí)題1如圖，

7、O是RtABC的外接圓，AB為直徑，ABC=30°，CD是O的切線，E為AC延長線上一點(diǎn)，EDAB于F（1）判斷DCE的形狀；（2）設(shè)O的半徑為1，且OF=，求證：DCEOCB2如圖，AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)，過圓心O作ODAC，D為垂足，E是BC上一點(diǎn)，G是DE的中點(diǎn)，OG的延長線交BC于F（1）圖中線段OD，BC所在直線有怎樣的位置關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并給出證明過程；（2）猜想線段BE，EF，F(xiàn)C三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并給出證明過程3已知：OA、OB是O的半徑，且OAOB，P是射線OA上一點(diǎn)（點(diǎn)A除外），直線BP交O于點(diǎn)Q，過Q作O的切線交直線OA于點(diǎn)E（1

8、）如圖，若點(diǎn)P在線段OA上，求證：OBP+AQE=45°；（2）若點(diǎn)P在線段OA的延長線上，其它條件不變，OBP與AQE之間是否存在某種確定的等量關(guān)系？請你完成圖，并寫出結(jié)論（不需要證明）4在O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連結(jié)CD（1）如圖1，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC=2，求O的半徑r；（2）如圖2，若點(diǎn)D與圓心O不重合，BAC=25°，求DCA的度數(shù)5如圖，在ABC中，AB=AC，A=30°，以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接DE，過點(diǎn)B作BP平行于DE，交O于點(diǎn)P，連接EP、CP、OP（1）BD=DC嗎？說明理

9、由；（2）求BOP的度數(shù)；（3）求證：CP是O的切線；6如圖所示，MN是O的切線，B為切點(diǎn)，BC是O的弦且CBN=45°，過C的直線與O，MN分別交于A，D兩點(diǎn)，過C作CEBD于點(diǎn)E（1）求證：CE是O的切線；（2）若D=30°，BD=2+2，求O的半徑r1（2013安順）如圖，AB是O直徑，D為O上一點(diǎn)，AT平分BAD交O于點(diǎn)T，過T作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)C（1）求證：CT為O的切線；（2）若O半徑為2，CT=，求AD的長考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理專題：壓軸題分析：（1）連接OT，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，以及直角三角形的兩個銳角互余，證得CTOT，C

10、T為O的切線；（2）證明四邊形OTCE為矩形，求得OE的長，在直角OAE中，利用勾股定理即可求解解答：（1）證明：連接OT，OA=OT，OAT=OTA，又AT平分BAD，DAT=OAT，DAT=OTA，OTAC，（3分）又CTAC，CTOT，CT為O的切線；（5分）（2）解：過O作OEAD于E，則E為AD中點(diǎn)，又CTAC，OECT，四邊形OTCE為矩形，（7分）CT=，OE=，又OA=2，在RtOAE中，AD=2AE=2（10分）點(diǎn)評：本題主要考查了切線的判定以及性質(zhì)，證明切線時可以利用切線的判定定理把問題轉(zhuǎn)化為證明垂直的問題2（2012珠海）已知，AB是O的直徑，點(diǎn)P在弧AB上（不含點(diǎn)A、B

11、），把AOP沿OP對折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C恰好落在O上（1）當(dāng)P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；（2）當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)P、C都在AB上方時（如圖3），過C點(diǎn)作CD直線AP于D，且CD是O的切線，證明：AB=4PD考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）PO與BC的位置關(guān)系是平行；（2）（1）中的結(jié)論成立，理由為：由折疊可知三角形APO與三角形CPO全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得出APO=CPO

12、，再由OA=OP，利用等邊對等角得到A=APO，等量代換可得出A=CPO，又根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到A=PCB，再等量代換可得出COP=ACB，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行，可得出PO與BC平行；（3）由CD為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線平行得到OC與AD平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到APO=COP，再利用折疊的性質(zhì)得到AOP=COP，等量代換可得出APO=AOP，再由OA=OP，利用等邊對等角可得出一對角相等，等量代換可得出三角形AOP三內(nèi)角相等，確定出三角形AOP為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的內(nèi)角為60°得

13、到AOP為60°，由OP平行于BC，利用兩直線平行同位角相等可得出OBC=AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC為等邊三角形，可得出COB為60°，利用平角的定義得到POC也為60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC為等邊三角形，得到內(nèi)角OCP為60°，可求出PCD為30°，在直角三角形PCD中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得出PD為PC的一半，而PC等于圓的半徑OP等于直徑AB的一半，可得出PD為AB的四分之一，即AB=4PD，得證解答：解：（1）PO與BC的位置關(guān)系是POBC；（2）（1）中的結(jié)論

14、POBC成立，理由為：由折疊可知：APOCPO，APO=CPO，又OA=OP，A=APO，A=CPO，又A與PCB都為所對的圓周角，A=PCB，CPO=PCB，POBC；（3）CD為圓O的切線，OCCD，又ADCD，OCAD，APO=COP，由折疊可得：AOP=COP，APO=AOP，又OA=OP，A=APO，A=APO=AOP，APO為等邊三角形，AOP=60°，又OPBC，OBC=AOP=60°，又OC=OB，BCO為等邊三角形，COB=60°，POC=180°（AOP+COB）=60°，又OP=OC，POC也為等邊三角形，PCO=60&#

15、176;，PC=OP=OC，又OCD=90°，PCD=30°，在RtPCD中，PD=PC，又PC=OP=AB，PD=AB，即AB=4PD點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，圓周角定理，以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵3（2011昭通）如圖，AB是O的直徑，AC是弦，直線EF和O相切于點(diǎn)C，ADEF，垂足為D（1）求證：DAC=BAC；（2）若把直線EF向上平行移動，如圖，EF交O于G、C兩點(diǎn)，若題中的其它條件不變，這時與DAC相等的角是哪一個？為什么？考點(diǎn)：圓周角定理；切線的性質(zhì)專題：幾

16、何綜合題；壓軸題分析：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)定理以及等角的余角相等即可證明；（2）構(gòu)造直徑所對的圓周角，根據(jù)等弧所對的圓周角相等以及等角的余角相等，發(fā)現(xiàn)BAC=GAD，再根據(jù)等式的性質(zhì)即可證明BAG=DAC解答：（1）證明：連接OC；EF切O于點(diǎn)C，OCEF，1+4=90°；ADEF，3+4=90°；又OA=OC，1=2，2=3，即DAC=BAC（2）解：BAG=DAC，理由如下：連接BC；AB為O的直徑，BCA=90°，B+BAC=90°，AGD+GAD=90°，又B=AGD，BAC=GAD；即BAG+GAC=GAC+DAC，BAG=

17、DAC點(diǎn)評：此題運(yùn)用了切線的性質(zhì)定理、圓周角定理的推論注意根據(jù)等角的余角相等是證明角相等的一種常用方法4（2011蕪湖）如圖，已知直線PA交O于A、B兩點(diǎn)，AE是O的直徑，點(diǎn)C為O上一點(diǎn)，且AC平分PAE，過C作CD丄PA，垂足為D（1）求證：CD為O的切線；（2）若DC+DA=6，O的直徑為10，求AB的長度考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；垂徑定理專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）連接OC，根據(jù)題意可證得CAD+DCA=90°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得DCO=90°，則CD為O的切線；（2）過O作OFAB，則OCD=CDA=OFD=90°，

18、得四邊形OCDF為矩形，設(shè)AD=x，在RtAOF中，由勾股定理得（5x）2+（6x）2=25，從而求得x的值，由勾股定理得出AB的長解答：（1）證明：連接OCOA=OCOCA=OACAC平分PAEDAC=CAODAC=OCAPBOCCDPACDOC，CO為O半徑，CD為O的切線；（2）解：過O作OFAB，垂足為F，OCD=CDA=OFD=90°，四邊形DCOF為矩形，OC=FD，OF=CDDC+DA=6，設(shè)AD=x，則OF=CD=6x，O的直徑為10，DF=OC=5，AF=5x，在RtAOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2即（5x）2+（6x）2=25，化簡得x211x+18=

19、0，解得x1=2，x2=9CD=6x大于0，故x=9舍去，x=2，從而AD=2，AF=52=3，OFAB，由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，AB=2AF=6點(diǎn)評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)以及垂徑定理，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握5（2011天水）在ABC中，AB=BC，點(diǎn)O是ABC的外心，連接AO并延長交BC于D，交ABC的外接圓于E，過點(diǎn)B作O的切線交AO的延長線于Q，設(shè)OQ=，BQ=3（1）求O的半徑；（2）若DE=，求四邊形ACEB的周長考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）連接OB，根據(jù)BQ是圓的切線，則OBQ是直角

20、三角形，根據(jù)勾股定理即可求得半徑OB的長；（2）根據(jù)AB=BC，O是ABC的外心，可以得到：BCAC，且AE是直徑，BE=CE易證BODCED，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得CE的長，在RtACE中根據(jù)勾股定理求得AC的長，在RtABE中求得BE的長，據(jù)此即可求得四邊形的周長解答：解：（1）連接OBBQ與O相切，OBQ=90°OB=故半徑是：；（2）連接BO并延長交AC于點(diǎn)F，AB=BC則=，BFAC，又AE是O的直徑，ACE=ABE=90°，BFCE，BODCED，=，CE=1，在RtACE中，AE=3，CE=1，則AC=2，又O是AE的中點(diǎn)，OF=CE=，則B

21、F=2在RtABE中，BE=，四邊形ACEB的周長是：1+2+點(diǎn)評：本題主要考查了切線的性質(zhì)定理，以及勾股定理，并多次運(yùn)用了勾股定理，其中根據(jù)AB=AC和O是ABC的內(nèi)心，得到BFAC，且AE是直徑，是解決本題的關(guān)鍵6（2013玉林）如圖，以ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，若AC=FC（1）求證：AC是O的切線：（2）若BF=8，DF=，求O的半徑r考點(diǎn)：切線的判定分析：（1）連接OA、OD，求出D+OFD=90°，推出CAF=CFA，OAD=D，求出OAD+CAF=90°，根據(jù)切線的判定推

22、出即可；（2）OD=r，OF=8r，在RtDOF中根據(jù)勾股定理得出方程r2+（8r）2=（）2，求出即可解答：（1）證明：連接OA、OD，D為弧BE的中點(diǎn)，ODBC，DOF=90°，D+OFD=90°，AC=AF，OA=OD，CAF=CFA，OAD=D，CFA=OFD，OAD+CAF=90°，OAAC，OA為半徑，AC是O切線；（2）解：O半徑是r，當(dāng)F在半徑OE上時，OD=r，OF=8r，在RtDOF中，r2+（8r）2=（）2，r=6，r=2（舍）；當(dāng)F在半徑OB上時，OD=r，OF=r8，在RtDOF中，r2+（r8）2=（）2，解得：r=6或r=2（舍）；

23、即O的半徑r為6點(diǎn)評：本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算的能力7（2013溫州）如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C在O上，延長BC至點(diǎn)D，使DC=CB，延長DA與O的另一個交點(diǎn)為E，連接AC，CE（1）求證：B=D；（2）若AB=4，BCAC=2，求CE的長考點(diǎn)：圓周角定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理分析：（1）由AB為O的直徑，易證得ACBD，又由DC=CB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得AD=AB，即可得：B=D；（2）首先設(shè)BC=x，則AC=x2，由在RtABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x2）2+x2=42，解此方

24、程即可求得CB的長，繼而求得CE的長解答：（1）證明：AB為O的直徑，ACB=90°，ACBC，DC=CB，AD=AB，B=D；（2）解：設(shè)BC=x，則AC=x2，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，（x2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1（舍去），B=E，B=D，D=E，CD=CE，CD=CB，CE=CB=1+點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用8（2013鐵嶺）如圖，ABC內(nèi)接與O，AB是直徑，O的切線PC交BA的延長線于點(diǎn)P，OFBC交AC于AC點(diǎn)E，交PC于點(diǎn)

25、F，連接AF（1）判斷AF與O的位置關(guān)系并說明理由；（2）若O的半徑為4，AF=3，求AC的長考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)專題：壓軸題分析：（1）AF為為圓O的切線，理由為：練級OC，由PC為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到CP垂直于OC，由OF與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，同位角相等，分別得到兩對角相等，根據(jù)OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對角相等，再由OC=OA，OF為公共邊，利用SAS得出三角形AOF與三角形COF全等，由全等三角形的對應(yīng)角相等及垂直定義得到AF垂直于OA，即可得證；（2）由AF垂直于OA，在直角三角形AOF中，由OA與AF的長，利用勾股定理求出O

26、F的長，而OA=OC，OF為角平分線，利用三線合一得到E為AC中點(diǎn)，OE垂直于AC，利用面積法求出AE的長，即可確定出AC的長解答：解：（1）AF為圓O的切線，理由為：連接OC，PC為圓O切線，CPOC，OCP=90°，OFBC，AOF=B，COF=OCB，OC=OB，OCB=B，AOF=COF，在AOF和COF中，AOFCOF（SAS），OAF=OCF=90°，則AF為圓O的切線；（2）AOFCOF，AOF=COF，OA=OC，E為AC中點(diǎn)，即AE=CE=AC，OEAC，OAAF，在RtAOF中，OA=4，AF=3，根據(jù)勾股定理得：OF=5，SAOF=OAAF=OFAE，

27、AE=，則AC=2AE=點(diǎn)評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積求法，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵9（2013天津）已知直線I與O，AB是O的直徑，ADI于點(diǎn)D（）如圖，當(dāng)直線I與O相切于點(diǎn)C時，若DAC=30°，求BAC的大小；（）如圖，當(dāng)直線I與O相交于點(diǎn)E、F時，若DAE=18°，求BAF的大小考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；圓周角定理；直線與圓的位置關(guān)系分析：（）如圖，首先連接OC，根據(jù)當(dāng)直線l與O相切于點(diǎn)C，ADl于點(diǎn)D易證得OCAD，繼而可求得BAC=DAC=30°；（）如圖，連接

28、BF，由AB是O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得AFB=90°，由三角形外角的性質(zhì)，可求得AEF的度數(shù)，又由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求得B的度數(shù)，繼而求得答案解答：解：（）如圖，連接OC，直線l與O相切于點(diǎn)C，OCl，ADl，OCAD，OCA=DAC，OA=OC，BAC=OCA，BAC=DAC=30°；（）如圖，連接BF，AB是O的直徑，AFB=90°，BAF=90°B，AEF=ADE+DAE=90°+18°=108°，在O中，四邊形ABFE是圓的內(nèi)接四邊形，AEF+B=180°，B=180°108

29、°=72°，BAF=90°B=90°72°=18°點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用10（2013黃石）如圖，AB是O的直徑，AM和BN是O的兩條切線，E是O上一點(diǎn)，D是AM上一點(diǎn)，連接DE并延長交BN于點(diǎn)C，且ODBE，OFBN（1）求證：DE與O相切；（2）求證：OF=CD考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線分析：（1）連接OE，由AM與圓O相切，利用切線的性質(zhì)得到OA與AM垂直，即OAD=90°，根據(jù)OD與BE平行，利用兩直

30、線平行得到一對內(nèi)錯角相等，一對同位角相等，再由OB=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對角相等，再由OA=OE，OD為公共邊，利用SAS得出三角形AOD與三角形EOD全等，利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到OED=90°，即OE垂直于ED，即可得證；（2）連接OC，由CD與CB為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到一對直角相等，由OB=OE，OC為公共邊，利用HL得出兩直角三角形全等，進(jìn)而得到BOC=EOC，利用等量代換及平角定義得到COD=90°，即三角形COD為直角三角形，由OF與BN平行，AM與BN平行，得到三線平行，由O為AB的中的，利用平行線等分線段定理得到F

31、為CD的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證解答：證明：（1）連接OE，AM與圓O相切，AMOA，即OAD=90°，ODBE，AOD=ABE，EOD=OEB，OB=OE，ABE=OEB，AOD=OEB，AOD=EOD，在AOD和EOD中，AODEOD（SAS），OED=OAD=90°，則DE為圓O的切線；（2）在RtBCO和RtECO中，RtBCORtECO，BOC=EOC，AOD=EOD，DOC=EOD+EOC=×180°=90°，AM、BN為圓O的切線，AMAB，BNAB，AMBN，OFBN，AMOFBN，又O為AB的中點(diǎn)

32、，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，則OF=CD點(diǎn)評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵11平面直角坐標(biāo)系中，O的半徑等于5，弦DHx軸于K點(diǎn)，DH=8（1）如圖1，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；（2）如圖2，點(diǎn)A為O和x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，P為弧AH上任意一點(diǎn)，連接PK，PH，AMPH交HP的延長線于點(diǎn)M，求的值；（3）如圖3，O與x軸正半軸交點(diǎn)為S，點(diǎn)E、F是線段OS上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)S重合），連接并延長DE，DF交O于點(diǎn)B、C，直線BC交x軸于點(diǎn)G，若DEF是以EF為底的等腰三角形，當(dāng)E、F兩點(diǎn)在OS上運(yùn)動時（不與點(diǎn)S重合），OGC+D

33、OG的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若變化，請求出其變化范圍考點(diǎn)：圓的綜合題分析：（1）連接OH，根據(jù)勾股定理求得OC=3，從而得出點(diǎn)H的坐標(biāo)；（2）連接AD、AH，作ANPD于N，由鄰補(bǔ)角的定義，得APM=ADH=AHD=APN，可以證明ADNAHM，由垂徑定理可得AD=AE，則ADNAHM，從而得出求的值；（3）當(dāng)E、F兩點(diǎn)在OS上運(yùn)動時（不與點(diǎn)S重合），OGC+DOG的值不發(fā)生變化，由題意可得，弧DP=弧PN，則DOG=NOG，由DEF是等腰三角形，得弧BN=弧CN，則OGC+NOG=90°，從而得出OGC+DOG=90°解答：解：（1）連接OH（如圖1），DH

34、x軸，DC=DH=DH=4，根據(jù)勾股定理OC2+HC2=OH2，OC=3，H（3，4）；（2）連接AD、AH，作ANPK于N，（如圖2）APM+APH，=ADH+APH=180°，APM=ADH=AHD=APN，而ANPD，AMPH，AM=AN，又AP=AP，在RtAPM和RtAPN中，APMAPN（HL），由垂徑定理可得：，AD=AH，在RtADN和RtAHM中，ADNAHM（HL），PM=PN，DN=HM，PDPH=2PM，=2；（3）當(dāng)E、F兩點(diǎn)在OP上運(yùn)動時（與點(diǎn)P不重合），OGC+DOG是定值理由如下：過點(diǎn)D作DMEF于M，并延長DM交O于N，連接ON，交BC于T，（如圖3

35、）則弧DP=弧PN，DOG=NOG，DEF為等腰三角形，DMEF，DN平分BDC，弧BN=弧CN，OTBC，OGC+NOG=90°，OGC+DOG=90°點(diǎn)評：本題綜合考查了勾股定理、全等三角形的判定、垂徑定理和圓周角定理解答這類題一些學(xué)生不會綜合運(yùn)用所學(xué)知識解答問題，不知從何處入手造成錯解12（2011黃石）已知O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O1在O2上，C為O2上一點(diǎn)（不與A，B，O1重合），直線CB與O1交于另一點(diǎn)D（1）如圖（1），若AD是O1的直徑，AC是O2的直徑，求證：AC=CD；（2）如圖（2），若C是O1外一點(diǎn)，求證：O1C丄AD；（3）如圖（3），若C是

36、O1內(nèi)的一點(diǎn)，判斷（2）中的結(jié)論是否成立？考點(diǎn)：相交兩圓的性質(zhì)；圓周角定理專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）連接O1O2，連接C01，利用直徑所對圓周角等于90度，以及垂直平分線的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)已知得出四邊形AEDB內(nèi)接于O1，得出ABC=E，再利用=，得出E=AO1C，進(jìn)而得出CO1ED即可求出；（3）根據(jù)已知得出B=EO1C，又E=B，即可得出EO1C=E，得出CO1ED，即可求出解答：（1）證明：連接O1O2，連接C01AC為O2直徑AO1C=90°即CO1AD，AO1=DO1DC=AC（垂直平分線的性質(zhì)）；（2）證明：連接AO1，連接AB，延長AO1交O1于點(diǎn)E，

37、連接ED，四邊形AEDB內(nèi)接于O1，E+ABD=180°，ABC+ABD=180°，ABC=E，又=，ABC=AO1C，E=AO1C，CO1ED，又AE為O1的直徑，EDAD，O1CAD，（3）（2）中的結(jié)論仍然成立證明：連接AO1，連接AB，延長AO1交O1于點(diǎn)E，連接ED，B+AO1C=180°，EO1C+AO1C180°，B=EO1C，又E=B，EO1C=E，CO1ED，又EDAD，CO1AD點(diǎn)評：此題主要考查了圓周角定理以及相交兩圓的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出對應(yīng)角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵13（2010三明）正方形AB

38、CD的四個頂點(diǎn)都在O上，E是O上的一點(diǎn)（1）如圖，若點(diǎn)E在上，F(xiàn)是DE上的一點(diǎn)，DF=BE求證：ADFABE；（2）在（1）的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DEBE=AE請你說明理由；（3）如圖，若點(diǎn)E在上寫出線段DE、BE、AE之間的等量關(guān)系（不必證明）考點(diǎn)：圓周角定理；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性質(zhì)專題：證明題；探究型分析：（1）中易證AD=AB，EB=DF，所以只需證明ADF=ABE，利用同弧所對的圓周角相等不難得出，從而證明全等；（2）中易證AEF是等腰直角三角形，所以EF=AE，所以只需證明DEBE=EF即可，由BE=DF不難證明此問題；（3）類比

39、（2）不難得出（3）的結(jié)論解答：解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD（1分）1和2都對，1=2，（3分）在ADF和ABE中，ADFABE（SAS）；（4分）（2）由（1）有ADFABE，AF=AE，3=4（5分）在正方形ABCD中，BAD=90°BAF+3=90°BAF+4=90°EAF=90°（6分）EAF是等腰直角三角形EF2=AE2+AF2EF2=2AE2（7分）EF=AE（8分）即DEDF=AEDEBE=AE（9分）（3）BEDE=AE理由如下：（12分）在BE上取點(diǎn)F，使BF=DE，連接AF易證ADEABF，AF=AE，DAE=BAF（5分

40、）在正方形ABCD中，BAD=90°BAF+DAF=90°DAE+DAF=90°EAF=90°（6分）EAF是等腰直角三角形EF2=AE2+AF2EF2=2AE2（7分）EF=AE（8分）即BEBF=AEBEDE=AE（9分）點(diǎn)評：本題主要考查圓周角定理，全等三角形的判定及勾股定理，難度適中14（2013南京）如圖，AD是O的切線，切點(diǎn)為A，AB是O的弦過點(diǎn)B作BCAD，交O于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)C作CDAB，交AD于點(diǎn)D連接AO并延長交BC于點(diǎn)M，交過點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P，且BCP=ACD（1）判斷直線PC與O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB=9，BC

41、=6求PC的長考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)分析：（1）過C點(diǎn)作直徑CE，連接EB，由CE為直徑得E+BCE=90°，由ABDC得ACD=BAC，而BAC=E，BCP=ACD，所以E=BCP，于是BCP+BCE=90°，然后根據(jù)切線的判斷得到結(jié)論；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OAAD，而BCAD，則AMBC，根據(jù)垂徑定理有BM=CM=BC=3，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)有AC=AB=9，在RtAMC中根據(jù)勾股定理計算出AM=6；設(shè)O的半徑為r，則OC=r，OM=AMr=6r，在RtOCM中，根據(jù)勾股定理計算出r=，則CE=2r=，OM=6=，利用中位線性質(zhì)得BE=2OM=，然后判斷RtPCMR

42、tCEB，根據(jù)相似比可計算出PC解答：解：（1）PC與圓O相切，理由為：過C點(diǎn)作直徑CE，連接EB，如圖，CE為直徑，EBC=90°，即E+BCE=90°，ABDC，ACD=BAC，BAC=E，BCP=ACDE=BCP，BCP+BCE=90°，即PCE=90°，CEPC，PC與圓O相切；（2）AD是O的切線，切點(diǎn)為A，OAAD，BCAD，AMBC，BM=CM=BC=3，AC=AB=9，在RtAMC中，AM=6，設(shè)O的半徑為r，則OC=r，OM=AMr=6r，在RtOCM中，OM2+CM2=OC2，即32+（6r）2=r2，解得r=，CE=2r=，OM=6

43、=，BE=2OM=，E=MCP，RtPCMRtCEB，=，即=，PC=點(diǎn)評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑也考查了勾股定理、圓周角定理的推論、三角形相似的判定與性質(zhì)練習(xí)題答案1（2008荊門）如圖，O是RtABC的外接圓，AB為直徑，ABC=30°，CD是O的切線，E為AC延長線上一點(diǎn)，EDAB于F（1）判斷DCE的形狀；（2）設(shè)O的半徑為1，且OF=，求證：DCEOCB考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；全等三角形的判定；等腰三角形的判定專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）易得AOC是正三角形，故有E=30°，由OCD=90

44、°和平角的概念可得DCE=30°=E，所以DE=CD；進(jìn)而可知此三角形為等腰三角形（2）由勾股定理求得BC=，然后由直角三角形的性質(zhì)，求得CE=，即可證得DCEOCB解答：（1）解：ABC=30°，BAC=60°又OA=OC，AOC是正三角形又CD是切線，OCD=90°DCE=180°60°90°=30°而EDAB于F，CED=90°BAC=30°故CDE為等腰三角形（2）證明：CD是O的切線，OCD=90°，BAC=60°，AO=CO，OCA=60°，D

45、CE=30°A，C，E三點(diǎn)同線在ABC中，AB=2，AC=AO=1，BC=OF=，AF=AO+OF=又AEF=30°，AE=2AF=+1，CE=AEAC=BC，而OCB=ACBACO=90°60°=30°=ABC；故CDECOB點(diǎn)評：本題利用了直徑對的圓周角是直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)求解2（2007益陽）如圖，AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)，過圓心O作ODAC，D為垂足，E是BC上一點(diǎn)，G是DE的中點(diǎn)，OG的延長線交BC于F（1）圖中線段OD，BC所在直線有怎樣的位置關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并給出證明過程；

46、（2）猜想線段BE，EF，F(xiàn)C三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并給出證明過程考點(diǎn)：圓周角定理；平行線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理專題：探究型分析：（1）因?yàn)锳B是直徑，所以有ACB=90°，而ODAC，又可得到ADO=90°，聯(lián)合起來，可得ACB=ADO，因而ODBC；（2）由（1）知，ODBC，又O是AB中點(diǎn)，故D是AC中點(diǎn)，那么OD是ABC的中位線，因而BC=2OD，還能得知OGDFGE（DG=EG），那么就有BC=2EF，而BC=BE+EF+CF，所以EF=BE+CF解答：解：（1）結(jié)論：ODBC，證明：AB是O直徑，C是O上一點(diǎn)，ACB=

47、90°即BCACODAC，ODBC（2）結(jié)論：EF=BE+FC，證明：ODAC，AD=DCO為AB的中點(diǎn)，OD是ABC的中位線BC=2OD，ODG=FEG，DG=EG，GOD=GFE，ODGFEGOD=EFBE+EF+FC=BC=2OD=2EFEF=BE+FC點(diǎn)評：本題利用了平行線的判定（兩同位角相等，兩直線平行），以及三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓中直徑所對的角是直角等知識3（2006武漢）（人教版）已知：OA、OB是O的半徑，且OAOB，P是射線OA上一點(diǎn)（點(diǎn)A除外），直線BP交O于點(diǎn)Q，過Q作O的切線交直線OA于點(diǎn)E（1）如圖，若點(diǎn)P在線段OA上，求證：OBP+A

48、QE=45°；（2）若點(diǎn)P在線段OA的延長線上，其它條件不變，OBP與AQE之間是否存在某種確定的等量關(guān)系？請你完成圖，并寫出結(jié)論（不需要證明）考點(diǎn)：切線的性質(zhì)專題：幾何綜合題分析：（1）連接OQ，則OQQE，根據(jù)等腰直角三角形兩底角相等可得OBP=OQB，再根據(jù)BQA=45°，即可推出AQE+OBP=90°OQA=45°；（2）連接OQ，可得OBQ是等腰三角形，所以O(shè)BQ=OQB，由QE是O的切線可得OQQE，根據(jù)圓周角定理可得AQB=135°，從而得到OQA=135°OQB，然后整理即可得到OBPAQE=45°解答：（1

49、）證明：如圖，連接OQ，OB=OQ，OBP=OQB，OAOB，BQA=AOB=×90°=45°，EQ是切線，OQE=90°，OBP+AQE=OQB+AQE=90°BQA=90°45°=45°；（2）解：如圖，連接OQ，OB=OQ，OBQ=OQB，OAOB，BQA=×（360°90°）=135°，OQA=BQAOQB=135°OBQ，EQ是切線，OQE=90°，135°OBQ+AQE=90°，整理得，OBQAQE=45°，即OB

50、PAQE=45°點(diǎn)評：此題主要考查圓的切線的性質(zhì)及同圓的半徑相等等知識此題（2）問為探索題，培養(yǎng)同學(xué)們的類比思想和探索問題的能力，此種問題一般都是繼續(xù)利用前一問的求解思路進(jìn)行求解4（2013資陽）在O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連結(jié)CD（1）如圖1，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC=2，求O的半徑r；（2）如圖2，若點(diǎn)D與圓心O不重合，BAC=25°，請直接寫出DCA的度數(shù)考點(diǎn)：垂徑定理；含30度角的直角三角形；圓周角定理；翻折變換（折疊問題）分析：（1）過點(diǎn)O作OEAC于E，根據(jù)垂徑定理可得AE=AC，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=r，然后在RtA

51、OE中，利用勾股定理列式計算即可得解；（2）連接BC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出ACB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出B，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到所對的圓周角，然后根據(jù)ACD等于所對的圓周角減去所對的圓周角，計算即可得解解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)O作OEAC于E，則AE=AC=×2=1，翻折后點(diǎn)D與圓心O重合，OE=r，在RtAOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+（r）2，解得r=；（2）連接BC，AB是直徑，ACB=90°，BAC=25°，B=90°BAC=90°25°=65°，根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對的圓周角等于所對的圓周角，ADC+B=180°，B=CDB=65°，DCA=CDBA=65°25°=40°點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，翻折的變換的性質(zhì)，以及圓周角定理，（1）作輔助