




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、第三章第三章 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.1 概述概述如果在擾動作用下系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài),當(dāng)擾動消失后,系統(tǒng)能夠以足夠的如果在擾動作用下系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài),當(dāng)擾動消失后,系統(tǒng)能夠以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài),則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則,系統(tǒng)不穩(wěn)定。準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài),則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則,系統(tǒng)不穩(wěn)定。一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的,不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不可能付諸于工程實(shí)施的。因此,穩(wěn)定性問題是系統(tǒng)控制理論研究的一個(gè)重要課題。對于線性系統(tǒng)而言,其響應(yīng)總可以分解為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng),因而人們習(xí)慣分別討論這兩種響應(yīng)的穩(wěn)定性,從而外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的概念。應(yīng)用于線性定
2、常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法很多。然而,對于非線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng),這些穩(wěn)定性分析方法實(shí)現(xiàn)起來可能非常困難,甚至是不可能的。李雅普諾夫(A.M. Lyapunov)穩(wěn)定性分析是解決非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的一般方法。本章首先介紹外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的概念及其相互關(guān)系,然后介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性的概念及其判別方法,最后介紹線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。雖然在非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題中,Lyapunov 穩(wěn)定性分析方法具有基礎(chǔ)性的地位,但在具體確定許多非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí),卻并不是直截了當(dāng)?shù)?。技巧和?jīng)驗(yàn)在解決非線性問題時(shí)顯得非常重要。在本章中,對于實(shí)際非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析僅限于幾種簡單的情況。3.2
3、 外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性3.2.1 外部穩(wěn)定:外部穩(wěn)定:考慮一個(gè)線性因果系統(tǒng),如果對一個(gè)有界輸入 u(t),即滿足條件:1( )u tk 的輸入 u(t),所產(chǎn)生的輸出 y(t)也是有界的,即使得下式成立:2( )y tk 則稱此因果系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的,即 BIBO(Bounded Input Bounded Output)穩(wěn)定。注意:在討論外部穩(wěn)定性的時(shí)候,我們必須要假定系統(tǒng)的初始條件為零,只有在這種假定下面,系統(tǒng)的輸入輸出描述才是唯一的和有意義的。系統(tǒng)外部穩(wěn)定的判定準(zhǔn)則系統(tǒng)外部穩(wěn)定的判定準(zhǔn)則系統(tǒng)的 BIBO 穩(wěn)定性可根據(jù)脈沖響應(yīng)矩陣或者傳遞函數(shù)矩陣來進(jìn)行判別。a)時(shí)變情
4、況的判定準(zhǔn)則時(shí)變情況的判定準(zhǔn)則對于零初始條件的線性時(shí)變系統(tǒng),設(shè)( , )G t為脈沖響應(yīng)矩陣,則系統(tǒng) BIBO 穩(wěn)定的充要條件是,存在一個(gè)有限常數(shù) k,使對于一切0 ,),( , )ttG t的每一個(gè)元0( , )(1,2,. ;1,2,. )( , )ijtijtgtiq jpgtdk 有即,( , )G t是絕對可積的。b)定常情況下的判定準(zhǔn)則:定常情況下的判定準(zhǔn)則: 對于零初始條件的線性定常系統(tǒng),初始時(shí)刻 t0=0,G(t)為脈沖響應(yīng)矩陣,G(s)為傳遞函數(shù)矩陣,則系統(tǒng) BIBO 穩(wěn)定的充要條件是,存在一個(gè)有限常數(shù) k,G(t)的每一個(gè)元0( )(1,2,. ;1,2,. )( )ijt
5、ijtgt iq jpgt dk 有或者等價(jià)的:當(dāng) G(s)為真的有理分式函數(shù)矩陣時(shí),G(s)的每一個(gè)傳遞函數(shù) g(s)的所有零極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部。對于一個(gè)定常線性系統(tǒng),其傳遞函數(shù)矩陣為:)()()()()()(ttttttDuCxyBuAxx。因此,只要滿足系統(tǒng)的DBAICAIDBAICG)(Adj)det(1)()(1ssss全部特征根具有負(fù)實(shí)部根,則系統(tǒng)是 BIBO 穩(wěn)定的。3.2.2 內(nèi)部穩(wěn)定性內(nèi)部穩(wěn)定性對于線性定常系統(tǒng).XAXBuyCXDu,如果外部輸入 u(t)為 0,初始狀態(tài)x0為任意,且由 x0引起的零輸入響應(yīng)t 0;0)0(;x滿足:limt 0;0)0 x0(;x則稱系統(tǒng)實(shí)內(nèi)
6、部穩(wěn)定的,或稱為是漸進(jìn)穩(wěn)定的。判定準(zhǔn)則:對于系統(tǒng),其解為。因此,對于上面所列的狀態(tài)空間表達(dá),)()(ttAxx)0()(xxAtet 它的漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣 A 的所有特征值具有負(fù)實(shí)部。3.2.3 內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性之間的關(guān)系內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性之間的關(guān)系對線性定常系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定的等價(jià)關(guān)系,得出如下結(jié)論:1.線性定常系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的,則其必為 BIBO 穩(wěn)定的。2.線性定常系統(tǒng)是 BIBO 穩(wěn)定的,不一定就是內(nèi)部穩(wěn)定的。3.線性定常系統(tǒng)是能控制和能觀測的,則其內(nèi)部穩(wěn)定性和 BIBO 穩(wěn)定是等價(jià)的。 內(nèi)部 穩(wěn)定 外部 穩(wěn)定 圖 3.1 外部穩(wěn)定與內(nèi)部穩(wěn)定的關(guān)系 3.3
7、Lyapunov 意義下的穩(wěn)定性問題意義下的穩(wěn)定性問題對于一個(gè)給定的控制系統(tǒng),穩(wěn)定性分析通常是最重要的。如果系統(tǒng)是線性定常的,那么有許多穩(wěn)定性判據(jù),如 Routh-Hurwitz 穩(wěn)定性判據(jù)和 Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)等可資利用。然而,如果系統(tǒng)是非線性的,或是線性時(shí)變的,則上述穩(wěn)定性判據(jù)就將不再適用。Lyapunov 第二法(也稱 Lyapunov 直接法)是確定非線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)的最一般的方法。反過來,這種方法也可適用于線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。李雅普諾夫穩(wěn)定分析法是確定時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性更一般的方法,這種方法可以在無需求解狀態(tài)方程的條件下,確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.3.1 基
8、本概念基本概念a) 平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)忽略輸入后,非線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程: 為 n 維狀態(tài)向量;t 為時(shí)間變量; 為 n 維函數(shù)),其展開式為:),(txfx ),(txf 12(, )iinxf x xx tni, 1如果對于所有 t,滿足 0),(txfxee的狀態(tài) xe稱為平衡狀態(tài)(又稱為平衡點(diǎn))。如果系統(tǒng)是線性定常的,也就是說,則當(dāng) A 為非奇異矩陣時(shí),系統(tǒng)存在一個(gè)唯一的平衡狀態(tài);當(dāng) A 為奇異矩陣Axtxf),(時(shí),系統(tǒng)將存在無窮多個(gè)平衡狀態(tài)。對于非線性系統(tǒng),可有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài),這些狀態(tài)對應(yīng)于系統(tǒng)的常值解(對所有 t,總存在)。exx 任意一個(gè)孤立的平衡狀態(tài)(即彼此孤立的平衡狀態(tài)
9、)或給定運(yùn)動都可通過)(tgx 坐標(biāo)變換,統(tǒng)一化為擾動方程之坐標(biāo)原點(diǎn),即或。在本章中,),(txfx 0), 0(tf0ex除非特別申明,我們將僅討論擾動方程關(guān)于原點(diǎn)()處之平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題。這0ex種“原點(diǎn)穩(wěn)定性問題”由于使問題得到極大簡化,而不會喪失一般性,從而為穩(wěn)定性理論的建立奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),這是 Lyapunov 的一個(gè)重要貢獻(xiàn)??刂葡到y(tǒng)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性是關(guān)于平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性,反映了系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近的動態(tài)行為。鑒于線性系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài),平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性能夠表征整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于具有多個(gè)平衡狀態(tài)的非線性系統(tǒng)來說,由于各平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性一般并不相同,故需逐個(gè)加以考慮
10、,還需結(jié)合具體初始條件下的系統(tǒng)運(yùn)動軌跡來考慮。b) 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性如果對于任意小的 0,均存在一個(gè),當(dāng)初始狀態(tài)滿足時(shí),0),(0texx0系統(tǒng)運(yùn)動軌跡滿足 lim,則稱該平衡狀態(tài) xe 是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定extxtx),;(00的。設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài) x0位于平衡狀態(tài) xe為球心、半徑為 的閉球域內(nèi),如果系統(tǒng)穩(wěn)定,( )S則狀態(tài)方程的解在的過程中,都位于以 xe為球心,半徑為 的閉球域),;(00txtxt內(nèi)。( )Sc) 一致穩(wěn)定性一致穩(wěn)定性 通常 與、t0 都有關(guān)。如果 與 t0 無關(guān),則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。定常系統(tǒng)的 與 t0 無關(guān),因此定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定,則一定是一
11、致穩(wěn)定的。d) 漸進(jìn)穩(wěn)定性漸進(jìn)穩(wěn)定性 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普若夫意義下的穩(wěn)定性,且有 00lim( ;,)0etx t x tx稱此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。這時(shí),從 出發(fā)的軌跡不僅不會超出,且當(dāng)( )S( )S時(shí)收劍于 xe或其附近。tc)大范圍穩(wěn)定性大范圍穩(wěn)定性 當(dāng)初始條件擴(kuò)展至整個(gè)狀態(tài)空間,且具有穩(wěn)定性時(shí),稱此平衡狀態(tài)是大范圍穩(wěn)定的,或全局穩(wěn)定的。此時(shí),。對于線性系統(tǒng),如果它是漸近穩(wěn))(Sx定的,必具有大范圍穩(wěn)定性,因?yàn)榫€性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件無關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一般與初始條件的大小密切相關(guān),通常只能在小范圍內(nèi)穩(wěn)定。d) 不穩(wěn)定性不穩(wěn)定性不論 取得得多么小,只要在內(nèi)有一條從 x0
12、出發(fā)的軌跡跨出,則稱此平衡( )S( )S狀態(tài)是不穩(wěn)定的。實(shí)際上,漸近穩(wěn)定性比純穩(wěn)定性更重要。考慮到非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性是一個(gè)局部概念,所以簡單地確定漸近穩(wěn)定性并不意味著系統(tǒng)能正常工作。通常有必要確定漸近穩(wěn)定性的最大范圍或吸引域。它是發(fā)生漸近穩(wěn)定軌跡的那部分狀態(tài)空間。換句話說,發(fā)生于吸引域內(nèi)的每一個(gè)軌跡都是漸近穩(wěn)定的。在控制工程問題中,總希望系統(tǒng)具有大范圍漸近穩(wěn)定的特性。如果平衡狀態(tài)不是大范圍漸近穩(wěn)定的,那么問題就轉(zhuǎn)化為確定漸近穩(wěn)定的最大范圍或吸引域,這通常非常困難。然而,對所有的實(shí)際問題,如能確定一個(gè)足夠大的漸近穩(wěn)定的吸引域,以致擾動不會超過它就可以了。 圖 3.2 (a)穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一
13、條典型軌跡(b)漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡(c)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡圖 3.2(a)、(b)和(c)分別表示平衡狀態(tài)及對應(yīng)于穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性的典型軌跡。在圖 3.2(a)、(b)和(c)中,域 S()制約著初始狀態(tài),而域 S()是起始于的0 x0 x軌跡的邊界。 注意,由于上述定義不能詳細(xì)地說明可容許初始條件的精確吸引域,因而除非 S()對應(yīng)于整個(gè)狀態(tài)平面,否則這些定義只能應(yīng)用于平衡狀態(tài)的鄰域。 此外,在圖 5.2(c)中,軌跡離開了 S(),這說明平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。然而卻不能說明軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)處,這是因?yàn)檐壽E還可能趨于在 S()外的某個(gè)極限環(huán)(如果線性定常系統(tǒng)是不
14、穩(wěn)定的,則在不穩(wěn)定平衡狀態(tài)附近出發(fā)的軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)。但在非線性系統(tǒng)中,這一結(jié)論并不一定正確)。上述各定義的內(nèi)容,對于理解本章介紹的線性和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,是最低限度的要求。注意,這些定義不是確定平衡狀態(tài)穩(wěn)定性概念的唯一方法。實(shí)際上,在其他文獻(xiàn)中還有另外的定義。對于線性系統(tǒng),漸近穩(wěn)定等價(jià)于大范圍漸近穩(wěn)定。但對于非線性系統(tǒng),一般只考慮吸引區(qū)為有限的定范圍的漸近穩(wěn)定。最后指出,在經(jīng)典控制理論中,我們已經(jīng)學(xué)過穩(wěn)定性概念,它與 Lyapunov 意義下的穩(wěn)定性概念是有一定的區(qū)別的,例如,在經(jīng)典控制理論中只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱為穩(wěn)定的系統(tǒng)。在 Lyapunov 意義下是穩(wěn)定的,但卻不是漸近穩(wěn)定的系
15、統(tǒng),則叫做不穩(wěn)定系統(tǒng)。兩者的區(qū)別與聯(lián)系如下表所示。經(jīng)典控制理論(線性系統(tǒng))不穩(wěn)定 (Re(s)0)臨界情況 (Re(s)=0)穩(wěn)定 (Re(s)0)Lyapunov 意義下不穩(wěn)定穩(wěn)定漸近穩(wěn)定3.3.2 李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法是通過系統(tǒng)矩陣 A 的特征值來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的,其主要內(nèi)容:(1)用一次近似表達(dá)式表達(dá)狀態(tài)方程,即.XAX,假如系統(tǒng)矩陣 Ade 全部特征值具有負(fù)實(shí)部,則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是穩(wěn)定的,而且穩(wěn)定性與高階導(dǎo)數(shù)無關(guān)。(2)如果在一次近似式的系統(tǒng)矩陣 A 的特征值中至少有一個(gè)具有正實(shí)部時(shí),無論高階導(dǎo)數(shù)的情況如何,系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處不穩(wěn)定。(3)如果在一次近似式的系
16、統(tǒng)矩陣 A 的特征值中有零特征值,系統(tǒng)的穩(wěn)定性要有高階導(dǎo)數(shù)決定。當(dāng)高階導(dǎo)數(shù)為零時(shí),系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3.3.3 標(biāo)量函數(shù)的正定性定義標(biāo)量函數(shù)的正定性定義正定性:標(biāo)量函數(shù)在域 S 中對所有非零狀態(tài)有且,稱( )V x)0( x0)(xV0)0(V在域 S 內(nèi)正定。如是正定的。( )V x2221)(xxxV負(fù)定性:標(biāo)量函數(shù)在域 S 中對所有非零 x 有且,稱在域( )V x0)(xV0)0(V( )V xS 內(nèi)負(fù)定。如是負(fù)定的。如果是負(fù)定的,-則一定是正定的。)()(2221xxxV( )V x( )V x負(fù)(正)半定性:,且在域 S 內(nèi)某些狀態(tài)處有,而其它狀態(tài)0)0(V( )V x0)(x
17、V處均有(),則稱在域 S 內(nèi)負(fù)(正)半定。設(shè)為負(fù)半定,0)(xV0)(xV( )V x( )V x則為正半定。如為正半定。( )V x221)2()(xxxV不定性:在域 S 內(nèi)可正可負(fù),則稱不定。如是不定的。( )V x( )V x21)(xxxV關(guān)于正定性的提法是:標(biāo)量函數(shù)在域 S 中,對于及所有非零狀態(tài)( , )V x t( , )V x t0tt 有,且,則稱在域 S 內(nèi)正定。的其它定號性提法類同。0),(txV0), 0(tV),(txV),(txV二次型函數(shù)是一類重要的標(biāo)量函數(shù),記 (1)nnnnnnTxxppppxxPxxxV111111)(其中,為對稱矩陣,有。顯然滿足,其定
18、號性由賽爾維斯特準(zhǔn)則Pjiijpp 0)(xV判定。當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺骄笥诹銜r(shí),即P (2)111111211212210,0,0nnnnppppppppp為正定矩陣,則正定。當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺截?fù)、正相間時(shí),即P( )V xP (3)111111211212210,0,( 1)0nnnnnppppppppp為負(fù)定矩陣,則負(fù)定。若主子行列式含有等于零的情況,則為正半定或P( )V x( )V x負(fù)半定。不屬以上所有情況的不定。( )V x3.3.4 李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法由力學(xué)經(jīng)典理論可知,對于一個(gè)振動系統(tǒng),當(dāng)系統(tǒng)總能量(正定函數(shù))連續(xù)減?。ㄟ@意味著總能量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)必然是負(fù)定的
19、),直到平衡狀態(tài)時(shí)為止,則振則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Lyapunov 第二法是建立在更為普遍的情況之上的,即:如果系統(tǒng)有一個(gè)漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài),則當(dāng)其運(yùn)動到平衡狀態(tài)的吸引域內(nèi)時(shí),系統(tǒng)存儲的能量隨著時(shí)間的增長而衰減,直到在平穩(wěn)狀態(tài)達(dá)到極小值為止。然而對于一些純數(shù)學(xué)系統(tǒng),畢竟還沒有一個(gè)定義“能量函數(shù)”的簡便方法。為了克服這個(gè)困難,Lyapunov 引出了一個(gè)虛構(gòu)的能量函數(shù),稱為Lyapunov 函數(shù)。當(dāng)然,這個(gè)函數(shù)無疑比能量更為一般,并且其應(yīng)用也更廣泛。實(shí)際上,任一純量函數(shù)只要滿足 Lyapunov 穩(wěn)定性定理的假設(shè)條件,都可作為 Lyapunov 函數(shù)。Lyapunov 函數(shù)與和 t 有關(guān),我們用或者來
20、表示nxxx,21),(21txxxVn),(txVLyapunov 函數(shù)。如果在 Lyapunov 函數(shù)中不含 t,則用或表示。在),(21nxxxV)(xVLyapunov 第二法中,和其對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的符號特征,提供了),(txVdttxdVtxV/ ),(),(判斷平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性的準(zhǔn)則,而不必直接求出方程的解(這種方法既適用于線性系統(tǒng),也適用于非線性系統(tǒng))。1、關(guān)于漸近穩(wěn)定性、關(guān)于漸近穩(wěn)定性可以證明:如果 x 為 n 維向量,且其純量函數(shù)正定,則滿足)(xVCxV)(的狀態(tài) x 處于 n 維狀態(tài)空間的封閉超曲面上,且至少處于原點(diǎn)附近,式中 C 是正常數(shù)。隨著,上
21、述封閉曲面可擴(kuò)展為整個(gè)狀態(tài)空間。如果,則超曲面x 21CC 完全處于超曲面的內(nèi)部。1)(CxV2)(CxV對于給定的系統(tǒng),若可求得正定的純量函數(shù),并使其沿軌跡對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)總)(xV為負(fù)值,則隨著時(shí)間的增加,將取越來越小的 C 值。隨著時(shí)間的進(jìn)一步增長,最終)(xV變?yōu)榱?,?x 也趨于零。這意味著,狀態(tài)空間的原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。Lyapunov 主穩(wěn))(xV定性定理就是前述事實(shí)的普遍化,它給出了漸近穩(wěn)定的充要條件。該定理闡述如下:定理定理 3.1 (Lyapunov, 皮爾希德斯基,巴巴辛,克拉索夫斯基皮爾希德斯基,巴巴辛,克拉索夫斯基) 考慮如下非線性系統(tǒng)),()(ttxftx式中, 對所有0
22、), 0(tf0tt 如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的純量函數(shù),且滿足以下條件:),(txV1、正定;),(txV2、負(fù)定),(txV則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是(一致)漸近穩(wěn)定的。進(jìn)一步,若,則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)x),(txV定的。-例例 3.3 考慮如下非線性系統(tǒng))()(22212122221121xxxxxxxxxx顯然原點(diǎn)(,)是唯一的平衡狀態(tài)。試確定其穩(wěn)定性。01x02x如果定義一個(gè)正定純量函數(shù))(xV222212211)(222)(xxxxxxxV是負(fù)定的,這說明沿任一軌跡連續(xù)地減小,因此是一個(gè) Lyapunov 函數(shù)。由于)(xV)(xV隨 x 偏離平衡狀態(tài)趨于無窮而
23、變?yōu)闊o窮,則按照定理 5.1,該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀)(xV態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。注意,若使取一系列的常值(),則=0)(xV, 021CC210CC)(xV對應(yīng)于狀態(tài)平面的原點(diǎn),而,描述了包圍狀態(tài)平面原點(diǎn)的互1)(CxV2)(CxV不相交的一簇圓,如圖 3.2 所示。還應(yīng)注意,由于在徑向是無界的,即隨著,)(xVx ,所以這一簇圓可擴(kuò)展到整個(gè)狀態(tài)平面。)(xV由于圓完全處在的內(nèi)部,所以典型軌跡從外向里通過 V 圓的邊界。kCxV)(1)(kCxV因此 Lyapunov 函數(shù)的幾何意義可闡述如下表示狀態(tài) x 到狀態(tài)空間原點(diǎn)距離的一種度)(xV量。如果原點(diǎn)與瞬時(shí)狀態(tài) x(t)之間的距離隨 t 的
24、增加而連續(xù)地減?。矗瑒t0)(txV。0)(tx 圖 3.2 常數(shù) V 圓和典型軌跡-定理 3.1 是 Lyapunov 第二法的基本定理,下面對這一重要定理作幾點(diǎn)說明。(1) 這里僅給出了充分條件,也就是說,如果我們構(gòu)造出了 Lyapunov 函數(shù),那),(txV么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但如果我們找不到這樣的 Lyapunov 函數(shù),我們并不能給出任何結(jié)論,例如我們不能據(jù)此說該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2) 對于漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài),則 Lyapunov 函數(shù)必存在。(3) 對于非線性系統(tǒng),通過構(gòu)造某個(gè)具體的 Lyapunov 函數(shù),可以證明系統(tǒng)在某個(gè)穩(wěn)定域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的,但這并不意味著穩(wěn)定域外的運(yùn)動是
25、不穩(wěn)定的。對于線性系統(tǒng),如果存在漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài),則它必定是大范圍漸近穩(wěn)定的。(4) 我們這里給出的穩(wěn)定性定理,既適合于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng),也適合于定常系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng),具有極其一般的普遍意義。顯然,定理 3.1 仍有一些限制條件,比如必須是負(fù)定函數(shù)。如果在上( , )V x t( , )V x t附加一個(gè)限制條件,即除了原點(diǎn)以外,沿任一軌跡均不恒等于零,則要求( , )V x t負(fù)定的條件可用取負(fù)半定的條件來代替。( , )V x t( , )V x t定理定理 3.2 (克拉索夫斯基,巴巴辛克拉索夫斯基,巴巴辛) 考慮如下非線性系統(tǒng)),()(ttxftx式中, 對所有0), 0(tf0t
26、t 若存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的純量函數(shù),且滿足以下條件:V x t( , )1、是正定的;V x t( , )2、是負(fù)半定的;V x t( , )3、對于任意和任意,在時(shí),不恒等于零,其中的),;(00ttxtV 0t00 x0tt 表示在時(shí)從出發(fā)的軌跡或解。則在系統(tǒng)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)),;(00txt0t0 x定的。注意,若不是負(fù)定的,而只是負(fù)半定的,則典型點(diǎn)的軌跡可能與某個(gè)特定曲( , )V x t面=C 相切,然而由于對任意和任意,在時(shí)不恒等V x t( , ),;(00ttxtV 0t00 x0tt 于零,所以典型點(diǎn)就不可能保持在切點(diǎn)處(在這點(diǎn)上,=0),因而必然要運(yùn)動到原
27、( , )V x t點(diǎn)。2、關(guān)于穩(wěn)定性、關(guān)于穩(wěn)定性然而,如果存在一個(gè)正定的純量函數(shù),使得始終為零,則系統(tǒng)可以保V x t( , )( , )V x t持在一個(gè)極限環(huán)上。在這種情況下,原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)稱為在 Lyapunov 意義下是穩(wěn)定的。定理定理 3.3 (Lyapunov) 考慮如下非線性系統(tǒng)),()(ttxftx式中, 對所有0), 0(tf0tt 若存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的純量函數(shù),且滿足以下條件:V x t( , )1、是正定的;V x t( , )2、是負(fù)半定的;V x t( , )3、對于任意和任意,在時(shí),均恒等于零,其中的),;(00ttxtV 0t00 x0tt 表示在時(shí)從出
28、發(fā)的軌跡或解。則在系統(tǒng)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是 Lyapunov 意),;(00txt0t0 x義下的大范圍漸近穩(wěn)定的。3、關(guān)于不穩(wěn)定性、關(guān)于不穩(wěn)定性如果系統(tǒng)平衡狀態(tài) x =0 是不穩(wěn)定的,則存在純量函數(shù),可用其確定平衡狀),(txW態(tài)的不穩(wěn)定性。下面介紹不穩(wěn)定性定理。定理定理 3.4 (Lyapunov) 考慮如下非線性系統(tǒng)),()(ttxftx式中, 對所有0), 0(tf0tt 若存在一個(gè)純量函數(shù),具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且滿足下列條件:),(txW1、在原點(diǎn)附近的某一鄰域內(nèi)是正定的;),(txW2、在同樣的鄰域內(nèi)是正定的。( , )W x t則原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。3.3.5 線性系統(tǒng)的
29、穩(wěn)定性與非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性比較線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性比較在線性定常系統(tǒng)中,若平衡狀態(tài)是局部漸近穩(wěn)定的,則它是大范圍漸近穩(wěn)定的,然而在非線性系統(tǒng)中,不是大范圍漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)可能是局部漸近穩(wěn)定的。因此,線性定常系統(tǒng)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性的含義和非線性系統(tǒng)的含義完全不同。如果要檢驗(yàn)非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性,則非線性系統(tǒng)的線性化模型穩(wěn)定性分析遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。必須研究沒有線性化的非線性系統(tǒng)。有幾種基于 Lyapunov 第二法的方法可達(dá)到這一目的,包括用于判斷非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性充分條件的克拉索夫斯基方法、用于構(gòu)成非線性系統(tǒng) Lyapunov 函數(shù)的 Schultz-Gibson 變量梯
30、度法、用于某些非線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的魯里葉(Lure)法,以及用于構(gòu)成吸引域的波波夫方法等。下面僅討論克拉索夫斯基方法。3.4 線性定常系統(tǒng)的線性定常系統(tǒng)的 Lyapunov 穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析3.4.1 概述概述如前所述,Lyapunov 第二法不僅對非線性系統(tǒng),而且對線性定常系統(tǒng)、線性時(shí)變系統(tǒng),以及線性離散系統(tǒng)等均完全適用。利用 Lyapunov 第二法對線性系統(tǒng)進(jìn)行分析,有如下幾個(gè)特點(diǎn):(1) 都是充要條件,而非僅充分條件;(2) 漸近穩(wěn)定性等價(jià)于 Lyapunov 方程的存在性;(3)漸近穩(wěn)定時(shí),必存在二次型 Lyapunov 函數(shù)及;PxxxVH)(QxxxVH)(4) 對于線
31、性自治系統(tǒng),當(dāng)系統(tǒng)矩陣 A 非奇異時(shí),僅有唯一平衡點(diǎn),即原點(diǎn);0ex(5) 漸近穩(wěn)定就是大范圍漸近穩(wěn)定,兩者完全等價(jià)。眾所周知,對于線性定常系統(tǒng),其漸近穩(wěn)定性的判別方法很多。例如,對于連續(xù)時(shí)間定常系統(tǒng),漸近穩(wěn)定的充要條件是:A 的所有特征值均有負(fù)實(shí)部,或者相應(yīng)的特征 xAx方程的根具有負(fù)實(shí)部。但為了避開困難的特征0111nnnnasasasAsI值計(jì)算,如 Routh-Hurwitz 穩(wěn)定性判據(jù)通過判斷特征多項(xiàng)式的系數(shù)來直接判定穩(wěn)定性,Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)根據(jù)開環(huán)頻率特性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這里將介紹的線性系統(tǒng)的Lyapunov 穩(wěn)定性方法,也是一種代數(shù)方法,也不要求把特征多項(xiàng)式進(jìn)行
32、因式分解,而且可進(jìn)一步應(yīng)用于求解某些最優(yōu)控制問題。3.4.2 線性定常系統(tǒng)的線性定常系統(tǒng)的 Lyapunov 穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析考慮如下線性定常自治系統(tǒng)(3.3) xAx式中,。假設(shè) A 為非奇異矩陣,則有唯一的平衡狀態(tài),其平衡狀nnnRARx,0ex態(tài)的穩(wěn)定性很容易通過 Lyapunov 第二法進(jìn)行研究。對于式(5.3)的系統(tǒng),選取如下二次型 Lyapunov 函數(shù),即PxxxVH)(式中 P 為正定 Hermite 矩陣(如果 x 是實(shí)向量,且 A 是實(shí)矩陣,則 P 可取為正定的實(shí)對稱矩陣)。 沿任一軌跡的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為)(xVxPAPAxPAxxPxAxPAxxPxAxxPxPxxxVHH
33、HHHHHHH)()()( 由于取為正定,對于漸近穩(wěn)定性,要求為負(fù)定的,因此必須有)(xV( )V xQxxxVH)(式中)(PAPAQH為正定矩陣。因此,對于式(3.3)的系統(tǒng),其漸近穩(wěn)定的充分條件是 Q 正定。為了判斷nn 維矩陣的正定性,可采用賽爾維斯特準(zhǔn)則,即矩陣為正定的充要條件是矩陣的所有主子行列式均為正值。在判別時(shí),方便的方法,不是先指定一個(gè)正定矩陣 P,然后檢查 Q 是否也是( )V x正定的,而是先指定一個(gè)正定的矩陣 Q,然后檢查由QPAPAH確定的 P 是否也是正定的。這可歸納為如下定理。定理定理 3.5 線性定常系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定的充要條件是:對于, xAx0ex0Q,
34、滿足如下 Lyapunov 方程0 PQPAPAH這里 P、Q 均為 Hermite 矩陣或?qū)崒ΨQ矩陣。此時(shí),Lyapunov 函數(shù)為,PxxxVH)(QxxxVH)( 特別地,當(dāng)時(shí),可取(正半定)。0)(QxxxVH0Q 現(xiàn)對該定理作以下幾點(diǎn)說明: (1) 如果系統(tǒng)只包含實(shí)狀態(tài)向量 x 和實(shí)系統(tǒng)矩陣 A,則 Lyapunov 函數(shù)為,且PxxHPxxTLyapunov 方程為QPAPAT (2) 如果沿任一條軌跡不恒等于零,則 Q 可取正半定矩陣。QxxxVH)( (3) 如果取任意的正定矩陣 Q,或者如果沿任一軌跡不恒等于零時(shí)取任意的正半定( )V x矩陣 Q,并求解矩陣方程QPAPAH以
35、確定 P,則對于在平衡點(diǎn)處的漸近穩(wěn)定性,P 為正定是充要條件。0ex注意,如果正半定矩陣 Q 滿足下列秩的條件nAQAQQrankn12/12/12/1則沿任意軌跡不恒等于零。( )V t (4) 只要選擇的矩陣 Q 為正定的(或根據(jù)情況選為正半定的),則最終的判定結(jié)果將與矩陣 Q 的不同選擇無關(guān)。 (5) 為了確定矩陣 P 的各元素,可使矩陣和矩陣-Q 的各元素對應(yīng)相等。為了PAPAH確定矩陣 P 的各元素,將導(dǎo)致 n(n+1)/2 個(gè)線性方程。如果用表示矩jiijpp n,21陣 A 的特征值,則每個(gè)特征值的重?cái)?shù)與特征方程根的重?cái)?shù)是一致的,并且如果每兩個(gè)根的和0kj則 P 的元素將唯一地被
36、確定。注意,如果矩陣 A 表示一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng),那么的和總kj不等于零。 (6) 在確定是否存在一個(gè)正定的 Hermite 或?qū)崒ΨQ矩陣 P 時(shí),為方便起見,通常取,IQ 這里 I 為單位矩陣。從而,P 的各元素可按下式確定IPAPAH然后再檢驗(yàn) P 是否正定。-例例 3.5 設(shè)二階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為21211110 xxxx顯然,平衡狀態(tài)是原點(diǎn)。試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解 不妨取 Lyapunov 函數(shù)為PxxxVT)( 此時(shí)實(shí)對稱矩陣 P 可由下式確定IPAPAT上式可寫為1001111011102212121122121211pppppppp 將矩陣方程展開,可得聯(lián)立方程組為12201
37、2221222121112pppppp 從方程組中解出、,可得11p12p22p121212322121211pppp 為了檢驗(yàn) P 的正定性,我們來校核各主子行列式01212123, 023 顯然,P 是正定的。因此,在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的,且 Lyapunov 函數(shù)為)223(21)(222121xxxxPxxxVT且)()(2221xxxV例例 3.6 試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 ,21xx 212xxx解 原點(diǎn)是惟一平衡狀態(tài)。選,則,與無關(guān),故存2212( )V xxx222)(xxV)(xV1x在非零狀態(tài)(如,使,而對其余任意狀態(tài)有,故)0, 021xx0)(xV0)(xV正半定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。)(xV例例 3.7 試判斷下列非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 2xaxx解 這實(shí)際上是一個(gè)可線性化的非線性系統(tǒng)的典型例子。令,得知系統(tǒng)有兩個(gè)平0 x 衡狀態(tài),和。0 x xa 對位于原點(diǎn)的平衡狀態(tài),選,有2( )V xx232( )222()V xaxxxax于是,當(dāng)時(shí),系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是局部一致漸近穩(wěn)定的;當(dāng)0a ()xa 時(shí)原點(diǎn)顯然是不穩(wěn)定的;時(shí)原點(diǎn)也是不穩(wěn)定的。上述結(jié)論也0a 0a 0)(, 0 xVx可以從狀態(tài)方程直接看
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025年度門窗行業(yè)門窗產(chǎn)品展示會策劃與執(zhí)行合同
- 二零二五年度文化產(chǎn)業(yè)股權(quán)分配及運(yùn)營管理合同
- 2025年度辦公室裝修與智能化會議室系統(tǒng)合同
- 2025年農(nóng)業(yè)科技創(chuàng)新農(nóng)用房屋抵押借款合同
- 2025年度債權(quán)債務(wù)轉(zhuǎn)讓與處置協(xié)議
- 第15課 現(xiàn)代醫(yī)療衛(wèi)生體系與社會生活 教學(xué)設(shè)計(jì)-2023-2024學(xué)年高中歷史統(tǒng)編版(2019)選擇性必修二
- 第二章 第一節(jié) 認(rèn)識地球教學(xué)設(shè)計(jì)2023-2024學(xué)年湘教版地理七年級上冊
- 2025年大功率激光傳輸石英光纖合作協(xié)議書
- 智能自動化裝備項(xiàng)目績效評估報(bào)告
- 非線性扭轉(zhuǎn)作用下風(fēng)電機(jī)組饋出電纜的絕緣劣化機(jī)理
- 工娛治療及其護(hù)理
- 人效管理措施
- 2024-2025學(xué)年人教部編版七年級上語文寒假作業(yè)(五)
- 四年級下冊勞動《小小快遞站》課件
- 中國妊娠期糖尿病母兒共同管理指南(2024版)解讀
- 籃球教練職業(yè)生涯規(guī)劃
- 春節(jié)促銷活動方案(7篇)
- 《股市的基礎(chǔ)常識》課件
- 行測圖形推理1000題庫帶答案
- 火災(zāi)自動報(bào)警及其消防聯(lián)動系統(tǒng)技術(shù)規(guī)格書
- 設(shè)備管理人員安全培訓(xùn)
評論
0/150
提交評論