矩陣?yán)碚?-Kronecker積ppt課件

1、一、一、Kronecker積積Kronecker積積111212122212nnmmmnaBaBaBaBaBaBABaBaBaB定理定理1：Kronecker積的性質(zhì)：積的性質(zhì)：,m np qr sk hAPBPCPDP 設(shè)設(shè)Kronecker積積(1)mnmnEEE (2)()()()ABABAB (3)()()()ABCACBC (4)()()ABCABC (5)(),()TTTHHHABABABAB(6),()()nr qkACBDABCD 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，111(7),()mn pqA BABAB當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，且且可可逆逆，則則(8),()mn pqtr ABtrA trB當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，(9)()

2、rank ABrankA rankB (10),det()(det)(det)pmmn pqABAB 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，證：證：121110mAPPPJ P 121120pBQQQJ Q 1112()()ABPJ PQJ Q 112()()()PQJJPQ 12det()det()ABJJ 12111()()()pppjjmjjjj 11() ()pmpmijij det()(det)(det)pmABAB定義定義1 KroneckerkkAAAA 個(gè)個(gè)積積的的乘乘冪冪: :定理定理2(1),;TTAA BBAB 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)也也是是對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣,;HHAA BBAB當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)也也是是HermiteHe

3、rmite矩矩陣陣(2),;U VUV 當(dāng)當(dāng)均均為為酉酉矩矩陣陣時(shí)時(shí)也也是是酉酉矩矩陣陣 (3)().kkkABAB 分別為分別為m,為為mn階階Hadamard例例1：以以1或或-1為元素的為元素的m階矩陣階矩陣H，如果有，如果有TmHHmE 則稱則稱H 為為m階階Hadamard矩陣矩陣.,mnHH設(shè)設(shè)n階階Hadamard矩陣矩陣,那么那么mnHH 矩陣矩陣.證：證：()()TmnmnHHHH ()()TTmnmnHHHHTTmmnnHHH H mnmEnEmnmnE 二、二、Kronecker積的特征值積的特征值:(1,2,),(1,2,)(1,2, ),(1,2, ),3.m mii

4、n njjijijimACx imjnBCyjnABmnxy 設(shè)設(shè)為為為為相相應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量; ;為為為為相相應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量, ,則則有有個(gè)個(gè)特特征征值值對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量為為定定理理證：證：,iiijjjAxx Byy ()()ijijAB xyAxBy iijjxy ()ijijxy :(1,2,),(1,2,)(1,2, ),(1,2, )4,.m miin njjijkijimACx imjnBCyjnABxy 設(shè)設(shè)為為為為相相應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量; ;為為為為相相應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量, ,則則是是的的特特征征值值為為對(duì)對(duì)定定應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量

5、量理理證：證：()()()()()()kijnijmijAB xyAExyEB xy 定義定義2 m2 m階矩陣階矩陣A A與與n n階矩陣階矩陣B B的的Kronecker Kronecker 和：和：knmABAEEB ()()ijijAxyxBy ()ijijxy 2、向量化算符、向量化算符111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 設(shè)設(shè)12,cccnAAA記記A的列為的列為12(,)cccnAAAA 12cccnAAVec AA 向向量量化化算算符符: :性質(zhì)性質(zhì)1：()Vec kAlBkVec AlVec B 定理定理5：設(shè)：設(shè) 那么那么 ,m nn rr sACXCBC ()()TVec AXBBA Vec X推論推論1： ,(1)()();(2)()().m mn nm nnTmACBCXCVec AXEA Vec XVec XBBEVec X設(shè)設(shè)則則例例2： 解矩陣方程解矩陣方程 11121311122122242122aaxxc