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文檔簡介
1、2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(1)第一試(考試時間:80分鐘 滿分:120分)姓名:_考試號:_得分:_一、填空題(本大題共8小題,每小題8分,共64分)1不等式的解集為2過正方體外接球球心的截面截正方體所得圖形可能為_. 三角形 正方形 梯形 五邊形 六邊形3直線與曲線有兩個不同的交點,則實數(shù)k的取值范圍是_ _.4復(fù)數(shù),使,則的所有可能值為 _ _5所有的滿足條件的正整數(shù)對的個數(shù)為 6設(shè)為方程的根(),則 _.7將號碼分別為1、2、9的九個小球放入一個袋中,這些小球僅號碼不同,其余完全相同. 甲從袋中摸出一個球,其號碼為,放回后,乙從此袋中再摸出一個球,其號碼為. 則使不等式成立的事件
2、發(fā)生的概率等于 8已知A, B, C為ABC三內(nèi)角, 向量,.如果當C最大時,存在動點M, 使得成等差數(shù)列, 則最大值是_ _.二、解答題(本大題共3小題,第9題16分,第10、11題20分,共56分)9對正整數(shù),記,求數(shù)列an中的最大值10給定正實數(shù)k,圓心為()的圓至少與拋物線有三個公共點,一個是原點(0, 0),另兩個點在直線上,求的值(用表示)11已知函數(shù)其中為實數(shù),求所有的數(shù)對(a, n)(nN*),使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰好有2011個零點2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(1)加試(考試時間:150分鐘 滿分:180分)姓名:_考試號:_得分:_一、(本題滿分40分)在中,是斜邊上的高,
3、記分別是ADC, BCD,ABC的內(nèi)心,在邊上的射影為,的角平分線分別交于,且的連線與相交于,求證:四邊形為正方形ABCPQID O1I1I2二、(本題滿分40分)給定正數(shù)a, b, c, d, 證明:三、(本題滿分50分)設(shè),定義,證明:當時,為整數(shù),且為奇數(shù)的充要條件是四、(本題滿分50分)試求最小的正整數(shù)使得對于任何個連續(xù)正整數(shù)中,必有一數(shù),其各位數(shù)字之和是7的倍數(shù).2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(1)答案1 由得,原不等式可變?yōu)榻獾霉试坏仁降慕饧癁?答案:,解:由對稱性可知,所得圖形應(yīng)為中心對稱圖形,且可以截得3提示:, 曲線為兩個半圓,直線過定點(0,2),數(shù)形結(jié)合可得.4答案:
4、0,1, 解:=,當 時,滿足條件,當 時,設(shè) ,由(2) 1) 代入(1) 整理得:2),則 代入(1) 得:,經(jīng)檢驗復(fù)數(shù)均滿足條件. 的所有可能值為0,1,.5解:顯然由條件得,從而有即,再結(jié)合條件及以上結(jié)果,可得,整理得,從而即,所以當時,不符合;當時,(不符合)綜上,滿足本題的正整數(shù)對只有,故只有1解6答案:,由題意, 由此可得,以及7提示:甲、乙二人每人摸出一個小球都有9種不同的結(jié)果,故基本事件總數(shù)為92=81個,由不等式a2b+10>0得2b<a+10,于是,當b=1、2、3、4、5時,每種情形a可取1、2、9中每一個值,使不等式成立,則共有9×5=45種;當
5、b=6時,a可取3、4、9中每一個值,有7種;當b=7時,a可取5、6、7、8、9中每一個值,有5種;當b=8時,a可取7、8、9中每一個值,有3種;當b=9時,a只能取9,有1種。于是,所求事件的概率為8解: ,等號成立僅當.令|AB|=2c,因,所以 M是橢圓上的動點.故點C(0,), 設(shè)M(x,y), 則|MC|2x2+()2.當y時, |MC|2max=, |MC|max. 即max.9解:經(jīng)計算知,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當時,有假設(shè),則 所以數(shù)列an中的最大值是10解:設(shè)O: 即拋物線與直線的兩個交點坐標為,則,即 , 這兩點亦在圓上,即Þ同理 , 即 比較,知:11解:首
6、先,函數(shù)以為周期,且以為對稱軸,即,其次,關(guān)于對稱,在及上的零點個數(shù)為偶數(shù),要使在區(qū)間恰有2011個零點,則上述區(qū)間端點必有零點(1)若,則,考慮區(qū)間及上的零點個數(shù)當時,令則,解得(舍),故在內(nèi)有兩解當時,令,則,解得(舍),(舍),故在內(nèi)無解因此,在區(qū)間內(nèi)有三個零點同理可得滿足條件 加試題 一 證明:不妨設(shè),由且分別是其內(nèi)心,得 且,所以 則 設(shè)的內(nèi)切圓半徑分別為,的三邊長為,在邊上的射影為,并且 ,則,所以 , , ,因此且,則四點共圓 (由知)所以, 同理 ,又由角平分線性質(zhì)得ABCPQID O1I1I2同理,另一方面,又,而,所以, 同理,所以四邊形為平行四邊形,由知四邊形為正方形二解
7、:由于問題的對稱性, 只要證明對于任何正數(shù)x,y,z,下式成立x3+y3+z3x+y+zx2+y2+z23.因為如果上式成立, 則原式的左邊不小于a2+b2+c23+b2+c2+d23+c2+d2+a23+d2+a2+b23=a2+b2+c2+d2.不失一般性, 可以在x+y+z=1的假設(shè)下證明上述不等式. 如果x+y+z1, 只要將不等式兩邊同除(x+y+z)2, 令X=x/(x+y+z), Y=y/(x+y+z), Z=z/(x+y+z). 于是問題轉(zhuǎn)化成下列被修改的問題:給定滿足條件X+Y+Z=1的正數(shù)X, Y, Z, 證明X3+Y3+Z3X2+Y2+Z23. 此不等式證明如下:3X3+
8、3Y3+3Z3X3+Y3+Z3+X2Y+X2Z+XY2+Y2Z+XZ2+YZ2=X2X+Y+Z+Y2X+Y+Z+Z2(X+Y+Z)=X2+Y2+Z2.三證明:注意到 得反復(fù)運用上式,得,其中,得,從而可知,因此是整數(shù). (1)當時,由有奇數(shù)個奇數(shù)項知為奇數(shù),所以為奇數(shù). (2)當時,故,所以為偶數(shù) (3)當時,故,所以為偶數(shù)綜上所述,命題成立,證畢.四解:首先,我們可以指出12個連續(xù)正整數(shù),例如994,995,999,1000,1001,1005,其中任一數(shù)的各位數(shù)字之和都不是7的倍數(shù),因此,.再證,任何連續(xù)13個正整數(shù)中,必有一數(shù),其各位數(shù)字之和是7的倍數(shù).對每個非負整數(shù),稱如下10個數(shù)所構(gòu)成的集合:為一個“基本段”,13個連續(xù)正整數(shù),要么屬于兩個基本段,要么屬于三個基本段。當13個數(shù)屬于兩個基本段時,據(jù)抽屜原理,其中必有連續(xù)的7個數(shù),屬
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