數(shù)學(xué)奧林匹克題解【A整數(shù)-A4整除021-030】

1、A4021  找出4個(gè)不同的正整數(shù)，它們的積能被它們中的任意兩個(gè)數(shù)的和整除你能找出一組5個(gè)或更多個(gè)數(shù)具有同樣的性質(zhì)嗎？【題說】1992年英國數(shù)學(xué)奧林匹克題3【解】顯然，2、6、10、14滿足要求任取n個(gè)不同的正整數(shù)。a1、a2、an，令則n個(gè)不同的正整數(shù)la1、la2、lan中任意兩個(gè)的和顯然整除l2，從而整除它們的積lna1a2anA4022  求最大自然數(shù)x，使得對(duì)每一個(gè)自然數(shù)y，x能整除7y12y1【題說】1992年友誼杯國際數(shù)學(xué)競賽七年級(jí)題1【解】當(dāng)y=1時(shí)，7y12y1=18假設(shè)7y12y1是18的倍數(shù)，因?yàn)?y+112（y1）1=6×7y12（7y12

2、y-1）=6×（7y2）（7y12y-1）7y2120（mod 3）所以，7y+112（y1）1是18的倍數(shù)從而對(duì)一切自然數(shù)y，18整除7y12y1，所求的x即18 A4023  證明：若n為大于1的自然數(shù)，則2n1不能被n整除【題說】1992年友誼杯國際數(shù)學(xué)競賽九年級(jí)題2【證】若n是偶數(shù)，顯然有n （2n1）若n是奇素?cái)?shù)，由費(fèi)馬定理知2n2（mod n），所以2n11（mod n），即n （2n1）若n是奇合數(shù)，設(shè)p是n的最小素因子，由費(fèi)馬定理知2p-11（mod P）；若i是使2i1（mod P）成立的最小自然數(shù)，則2iP1，從而i n，設(shè)n=qir，0ri，

3、則2n2r 1（mod p），即p （2n1），故n （2n1）A4024  當(dāng)n為何正整數(shù)時(shí)，323整除20n16n3n1？【題說】第三屆（1993年）澳門數(shù)學(xué)奧林匹克第一輪題5【解】                                 

4、0;   323=17×19當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，20n16n3n113n3n10（mod 19）20n16n3n13n1n3n10（mod 17）所以此時(shí)323整除20n16n3n1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，20n16n3n13n13n2 0（mod 17），所以此時(shí)323不整除20n16n3n1A4025  設(shè)x、y、z都是整數(shù)，滿足條件（xy）（yz）（zx）=xyz                 

5、           （*）試證：xyz可以被27整除【題說】第十九屆（1993年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)二試題5【證】（1）整數(shù)x、y、z被3除后余數(shù)都相同時(shí)，27|（xy）（yz）（zx），即27|xyz（2） x、y、z被3除后有且僅有兩個(gè)余數(shù)相同，例如xy（mod 3），且y z（mod 3），這時(shí)3 xyz且3|（xy），與（*）式矛盾，可見情形（2）不會(huì)發(fā)生（3）x、y、z被3除后余數(shù)都不相同，這時(shí)3|（xyz），但3 （xy）（yz）（zx）仍與（*）式矛盾，可見情況（3）也不會(huì)發(fā)

6、生于是，x、y、z除以3余數(shù)都相同，并且，27|xyzA4026  對(duì)于自然數(shù)n，如果對(duì)于任何整數(shù)a，只要n|an1，就有n2|an1，則稱n具有性質(zhì)P（1）求證每個(gè)素?cái)?shù)n都具有性質(zhì)P；（2）求證有無窮多個(gè)合數(shù)也都具有性質(zhì)P【題說】第三十四屆（1993年）IMO預(yù)選題本題由印度提供【證】（1）設(shè)n=P為素?cái)?shù)且p|（ap1），于是，（a，p）=1因?yàn)閍p1=a（ap-11）（a1）由費(fèi)馬小定理p|（ap-11）所以，p|（a1），即a1（mod p）因而ai1（mod p），i=0，1，2，p1將這p個(gè)同余式加起來即得ap-1ap-2a10（mod p）所以，p2|（a1）（ap-1a

7、p-2a1）=ap1a1（mod n）于是，像（1）一樣又可推得n2|（an1）因此，（q1）（p1）因?yàn)閝|（p2），所以q （p1）又因具有性質(zhì)P顯然pnp2取大于p2的素?cái)?shù)，又可獲得另一個(gè)具有性質(zhì)P的合數(shù)所以，有無窮多個(gè)合數(shù)n具有性質(zhì)pA4027  證明：對(duì)于自然數(shù)k、m和n不等式k，m·m，n·n，kk，m，n2成立（其中a，b，c，z表示數(shù)a、b、c，z的最小公倍數(shù)）【題說】第二十屆（1994年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)（決賽）題5【證】將k、m、n分解設(shè)其中pi（i=1，2，l）為不同的素?cái)?shù)，i、i、i為非負(fù)整數(shù)對(duì)任一個(gè)素因數(shù)pi，不妨設(shè)0iii在所要證明的不等式左邊，pi的指數(shù)為iii=i2i；而右邊pi的指數(shù)為i·2=2i因而所要證明的不等式成立A4029  證明；所有形如10017，100117，1001117，的整數(shù)皆可被53整除【題說】第五十八屆（1995年）莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克八年級(jí)題2【證】易知第一個(gè)數(shù)10017可被53整除，而數(shù)列中相鄰二數(shù)的差也可被53