數(shù)值分析實驗1-1

1、實驗1_1 病態(tài)問題實驗目的：研究問題本身對擾動的敏感性實驗要求：1選擇充分小的ess反復進行實驗，記錄結果的變化并進行分析。如果擾動項的系數(shù)很小，我們自然感覺方程(E.1.1)和方程(E.1.2)的解應相差很小。計算中你有什么出乎意料的發(fā)現(xiàn)？表明有些解關于如此的擾動敏感性如何？2將方程(E.1.2)中的擾動項改成或其他形式，實驗中又有怎樣的現(xiàn)象出現(xiàn)？3請從理論上分析產(chǎn)生這一問題的根源。注意我們可以將方程(E.1.2)寫成展開的形式同時將方程的解看成是系數(shù)a的函數(shù)，考察方程的某個解關于a的擾動是否敏感？與研究它關于a的倒數(shù)的大小有何關系？為什么？你發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象，哪些根關于a的變化更敏感？程序

2、代碼：%function t_charpt1_1clcresult=inputdlg('請輸入擾動項：在0 20之間的整數(shù)：','charp 1-1',1,'19');Numb=str2num(char(result);if(Numb>20)|(Numb<0)errordlg('請輸入正確的擾動項：【0 20】 之間的整數(shù)！');endresult=inputdlg('請輸入（0 1）間的擾動常數(shù)：','charpt 1-1',1,'0.00001');ess=str2n

3、um(char(result);ve=zeros(1,21);ve(21-Numb)=ess;root=roots(poly(1:20)+ve);disp('對擾動項',num2str(Numb),'加擾動',num2str(ess),'得到的全部根為：');disp(num2str(root);分析過程：（1）對擾動項的各種擾動的實驗結果如表1所示：根 ess01e-0131e-0101e-0071e-005X120.00032019.996120.422+0.999203i22.5961+2.3083iX218.99719.000319.02

4、5720.422-0.999203i22.5961-2.3083iX318.011817.997317.908518.1572+2.4702i18.8972+5.00563iX416.969517.011317.150818.1572-2.4702i18.8972-5.00563iX516.050915.969815.798215.3149+2.69865i14.9123+4.95848iX614.931915.050815.18115.3149-2.69865i14.9123-4.95848iX714.068413.935213.899512.8466+2.06246i12.0289+3.7

5、3551iX812.947213.059713.057112.8466-2.06246i12.0289-3.73551iX912.034511.96111.975310.9216+1.10366i10.059+2.33021iX1010.983611.020511.010910.9216-1.10366i10.059-2.33021iX1110.00639.992399.996089.56629+0i8.63828+1.0564iX128.998329.002189.001119.11508+0i8.63828-1.0564iX138.000317.999557.999787.99387+0i

6、7.70896+0iX146.999977.000077.000037.00027+0i7.028+0iX1565.9999966+0i5.99942+0iX165555+0i5.00001+0iX174444+0i4+0iX183333+0i3+0iX192222+0i2+0iX201111+0i1+0i表1 對x19的系數(shù)擾動結果分析：從表中可以看出，以下幾點：第一、 擾動量ess越小，根的變化也越小第二、 隨著擾動量ess的增加，部分根出現(xiàn)復數(shù)，復數(shù)的實部的絕對值在不斷增大，虛部系數(shù)的絕對值也在不斷增大；而值比較小的根變化幅度比值大的根變化小。第三、 總體表明，此問題對擾動相當敏感，是所

7、謂的壞問題。（2）對擾動項的各種擾動的實驗結果如表2所示：根 ess01e-0131e-0101e-0051e-001X120.000320.000320.000320.000319.914+0iX218.99718.99718.99718.99719.3927+0iX318.011818.011818.011818.011817.8808+1.0515iX416.969516.969516.969516.969517.8808-1.0515iX516.050916.050916.050916.050915.6501+1.60187iX614.931914.931914.931914.9319

8、15.6501-1.60187iX714.068414.068414.068414.068413.3027+1.53955iX812.947212.947212.947212.947213.3027-1.53955iX912.034512.034512.034512.034511.174+0.995982iX1010.983610.983610.983610.983611.174-0.995982iX1110.006310.006310.006310.00639.3819+0iX128.998328.998328.998328.998329.31562+0iX138.000318.000318

9、.000318.000317.97855+0iX146.999976.999976.999976.999977.00213+0iX1566665.99988+0iX1655555+0iX1744444+0iX1833333+0iX1922222+0iX2011111+0i表2 對x13的系數(shù)擾動結果分析：從表2和表1對比可以看出以下幾點：第一、與表1的情況類似，擾動量ess越小，根的變化也越小，反之，越大。但是與表1不同的是，表2給出的根受擾動量ess的影響程度比較小。因為當ess=1e-005時，表2對應的根還沒有變異為復根。第二、 表1和表2對比，可以初步定論：對于擾動項為，n越大，根受擾動量ess的影響越大；（3）問題的根源當擾動項未知數(shù)系數(shù)變化時，即變化時，方程組的求解主元也在發(fā)生變化，若主元很小會形成病態(tài)。從矩陣本身來看，系數(shù)使得元素間數(shù)量級相差很大且無一定規(guī)律，矩陣的條件數(shù)很大。取擾動項，則當在00.001之間擾動時，方程組的第13個解變化情況如下：由圖分析可以看出，該解值關于a的擾動較為敏感。若將解x看成系數(shù)a的函數(shù)，對a求導，則a的導數(shù)為相應擾動項，在本問中