123角的平分線的性質(zhì)

1、人教課標(biāo)八年級(jí)人教課標(biāo)八年級(jí) 上冊(cè)上冊(cè)角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì) 如圖，是一個(gè)角平分儀，其如圖，是一個(gè)角平分儀，其中中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)將點(diǎn)A放在放在角的頂點(diǎn)角的頂點(diǎn),AB和和AD沿著角的兩沿著角的兩邊 放 下邊 放 下 , 沿沿 A C 畫(huà) 一 條 射 線畫(huà) 一 條 射 線AE,AE就是角平分線，你能說(shuō)就是角平分線，你能說(shuō)明它的道理嗎明它的道理嗎?ADBCE探究探究證明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共邊）（公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 對(duì)應(yīng)邊相等）對(duì)應(yīng)邊相等）

2、 AC平分平分DAB（角平分線的定義）（角平分線的定義）ADBCE證明證明 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）角的平分線？（不用角平分儀或量角器）OABCENOMCENM方法方法1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通過(guò)上面的步驟，得到射線通過(guò)上面的步驟，得到射線OCOC以后，以后，把它反向延長(zhǎng)得到直線把它反向延長(zhǎng)得到直線CDCD，直線，直線CDCD與直線與直線ABAB是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？ 3 3結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂由此也得到過(guò)直線上一點(diǎn)作

3、這條直線的垂線的方法線的方法. .ABOCD練習(xí)練習(xí)探究角平分線的性質(zhì) 將將AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開(kāi)，觀察兩次折疊第一條折痕為斜邊），然后展開(kāi)，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？猜想猜想: :角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等. .探究探究證明：證明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分線的定義）（角平分線的定義） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定義）（垂直的定義） 在在PDO和和PEO中

4、中 PDO= PEO（已證）（已證） 1= 2 （已證）（已證） OP=OP （公共邊）（公共邊） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） P PA AOOB BC CE EDD12 已知：如圖，已知：如圖，OC平分平分AOB，點(diǎn)，點(diǎn)P在在OC上，上，PDOA于點(diǎn)于點(diǎn)D，PEOB于點(diǎn)于點(diǎn)E. 求證求證: PD=PE證明證明 利 用 此 性 質(zhì)利 用 此 性 質(zhì)怎樣書(shū)寫(xiě)推理過(guò)怎樣書(shū)寫(xiě)推理過(guò)程程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）角形的對(duì)應(yīng)邊相等）P PA AOOB BC CE EDD

5、12 如圖如圖:在在ABC中中,C=90 A D 是是 B A C 的 平 分 線 ，的 平 分 線 ，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BD=DF求證：求證：CF=EBACDEBF 分析分析:要證要證CF=EB,首先我們想到的是要證它首先我們想到的是要證它們所在的兩個(gè)三角形全等們所在的兩個(gè)三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 現(xiàn)已有一個(gè)條件現(xiàn)已有一個(gè)條件BD=DF(斜邊相等斜邊相等), 還需要我們還需要我們找什么條件找什么條件DC=DE (因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì)因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì)) 再用再用HL證明證明.例題例題 要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距

6、離相等且離公路，鐵路的交叉處鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處500米，米，應(yīng)建在何處？（比例尺應(yīng)建在何處？（比例尺 1：20 000）公路鐵路思考思考 我們知道我們知道, 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等距離相等, 那么那么, 到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？否在角的平分線上呢？利用三角形全等，可以得到：利用三角形全等，可以得到： 角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上平分線上.自己證一證自己證一證.根據(jù)此根據(jù)此結(jié)論結(jié)論, 你知道集貿(mào)市你知道集貿(mào)市場(chǎng)建在何處嗎？場(chǎng)建在何處嗎？ANBCPM

7、 如圖，如圖，ABC的角的平分線的角的平分線BM，CN相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P. .求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P到三邊到三邊AB，BC，CA的距離相等的距離相等. .想一想，點(diǎn)想一想，點(diǎn)P在在A的平分線上嗎？這的平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的三條說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)角平分線有什么關(guān)系？系？如圖, ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等BM是是ABC的角平分線的角平分線,點(diǎn)點(diǎn)P在在BM上上,ABCPMNDEFPD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).同理同理,PE=PF.PDPE=PF.即點(diǎn)即點(diǎn)P到三邊到三邊AB、B

8、C、CA的距離相等的距離相等證明：過(guò)點(diǎn)證明：過(guò)點(diǎn)P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F例題解析例題解析 如圖，已知如圖，已知ABC的外角的外角CBD和和BCE的的平分線相交于點(diǎn)平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)F在在DAE的平分線上的平分線上 證明：過(guò)點(diǎn)F作FGAE于G，F(xiàn)HAD于H，F(xiàn)MBC于MGHM點(diǎn)F在BCE的平分線上， FGAE， FMBCFGFM又點(diǎn)F在CBD的平分線上， FHAD， FMBCFMFHFGFH 點(diǎn)F在DAE的平分線上練習(xí)練習(xí)定理定理 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等的兩邊距離相等.OC是是AOB的平分線的平分線,P是是OC上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)PDOA,PEOB,垂足分別垂足分別是是D,E(已知已知)PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等個(gè)角的兩邊距離相等).用尺規(guī)作角的平分線用尺規(guī)作角的平分線.OCB1A2PDE小結(jié)小結(jié)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)角的