第4章-圖像復(fù)原

1、數(shù)字?jǐn)?shù)字圖像處理圖像處理第四章第四章 圖像圖像復(fù)原復(fù)原4.1 圖像退化 / 復(fù)原過程的模型4.2 噪聲模型4.3 只存在噪聲的空間濾波復(fù)原4.4 頻域濾波削減周期噪聲4.5 線性、位置不變的退化模型4.6 離散圖像退化的數(shù)學(xué)模型4.7 估計退化函數(shù)4.8 逆濾波復(fù)原法4.9 最小均方誤差復(fù)原法 -Wiener濾波復(fù)原4.10 幾何均值濾波復(fù)原4.11 幾何失真校正產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因幾何幾何畸變畸變圖像質(zhì)量不佳原因：圖像質(zhì)量不佳原因：光學(xué)系統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)的像差的像差傳感器非傳感器非線性畸變線性畸變光學(xué)系統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)中的衍射中的衍射攝影膠片攝影膠片的非線性的非線性大氣流的大氣流的擾動效應(yīng)擾動效應(yīng)圖像運動造

2、圖像運動造成的模糊成的模糊圖像復(fù)原圖像復(fù)原: Image Restoration 也稱圖像恢復(fù)，是指去除或減輕在圖像獲取過程中發(fā)生的圖像質(zhì)量的下降。它是圖像處理的主要內(nèi)容之一。 圖像復(fù)原與圖像增強圖像復(fù)原與圖像增強相同之處： 改進(jìn)給定圖像的視覺質(zhì)量。 不同之處： 圖像增強是借助人的視覺系統(tǒng)特性，以取得較好的視覺結(jié)果（主觀過程，不考慮退化原因） 圖像復(fù)原是利用先驗知識、根據(jù)相應(yīng)的退化模型來重建或恢復(fù)被退化的圖像（客觀過程，考慮退化原因） 實際的復(fù)原過程是設(shè)計一個濾波器，使其能從降質(zhì)圖像 g(x, y)中計算得到真實圖像的估值 使其根據(jù)預(yù)先規(guī)定的誤差準(zhǔn)則，最大程度地接近真實圖像 f(x, y) 。

3、，yxf, 圖像復(fù)原是根據(jù)退化原因，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從被污染或畸變的圖像信號中提取所需要的信息，沿著使圖像降質(zhì)的逆過程恢復(fù)圖象本來面貌。 廣義上講，圖像復(fù)原是一個求逆問題，逆問題經(jīng)常存在非唯一解，有時甚至無解。為了得到逆問題的有用解，需要有先驗知識以及對解的附加約束條件。技術(shù)：無約束和有約束 策略：自動和交互處理所在域：頻域和空域 從廣義的角度上來看： 幾何失真退化 、校正（恢復(fù) ） 投影（退化 ）重建（恢復(fù) ）圖像復(fù)原方法分類圖像復(fù)原方法分類退化函數(shù)H4.1 圖像退化圖像退化 / 復(fù)原過程的模型復(fù)原過程的模型復(fù)原濾波f (x,y)g(x,y)n(x,y)噪聲退化復(fù)原輸入圖像f(x,y)被

4、線性操作 h(x,y) (退化函數(shù)的空間描述) 所模糊，并疊加上噪聲 n(x,y)，構(gòu)成了退化后的圖像 g(x,y)。),(yxf退化后的圖像與復(fù)原濾波器卷積得到復(fù)原的近似圖像),(yxfh 和 n 的信息知道得越多，復(fù)原圖像 就越接近原始圖像 f (x,y)!),(yxf降質(zhì)通道 f (x,y)(原始圖像）（實際圖像）圖像復(fù)原),(yxf(估計圖像）技術(shù)關(guān)鍵： （1）降質(zhì)通道建模 (退化函數(shù)的選擇)（2）復(fù)原算法圖像復(fù)原的任務(wù)描述： g(x,y) g(x,y)h 和 n 的信息知道得越多，復(fù)原圖像 就越接近原始圖像 f (x,y)!),(yxf圖像復(fù)原中的“病態(tài)性”：(1) 進(jìn)行逆運算時，復(fù)

5、原近似圖像問題不一定有解 - 奇異性問題。(2) 逆問題可能存在多個解。假設(shè) n(x, y) = 0，則 g(x, y)= H f(x, y) 退化模型：g(x, y) = H f(x, y) + n(x, y)，退化系統(tǒng)H是綜合所有退化因素的函數(shù)。 ),( ),( ),(),( 22112211yxfHkyxfHkyxfkyxfkH(1) 線性 退化系統(tǒng) H 的性質(zhì)：其中 f1(x, y)和 f2(x, y) 是任意兩幅輸入圖像，k1 和k2 是比例常數(shù)。若則系統(tǒng) H 是一個線性系統(tǒng)。),( ),( 1111yxfHkyxfkH),(),( byaxgbyaxfH(3) 一致性 (均勻性)

6、( f2(x, y) = 0) (4) 位置 (空間) 不變性 任何與常數(shù)相乘的輸入的響應(yīng)，等于該輸入響應(yīng)乘以相同的常數(shù)。對任意的 f (x,y)，a 和 b，如果 則一個具有輸入輸出關(guān)系 g(x, y) = H f(x, y) 的系統(tǒng)稱為位置不變系統(tǒng)或空間不變系統(tǒng)。),( ),( ),(),( 2121yxfHyxfHyxfyxfH(2) 相加性 (k1 = k2 = 1)若系統(tǒng) H 是一個線性系統(tǒng)，則兩個輸入之和的響應(yīng)等于兩個響應(yīng)之和。圖像中任意一點的響應(yīng)只取決于該點的輸入值，與該點位置無關(guān)。 不考慮加性噪聲：g(x, y)= f(x , y)* h(x, y) 使用線性、位置不變系統(tǒng)的原

7、因： 盡管實際非線性和位移可變的情況能更加準(zhǔn)確而普遍地反映圖像復(fù)原問題的本質(zhì)，但求解困難。 當(dāng)退化不太嚴(yán)重時，一般有較好的復(fù)原結(jié)果。 很多退化都可以用線性位置不變模型來近似，可以借助數(shù)學(xué)工具求解圖像復(fù)原問題。 線性、位置不變系統(tǒng) H 的退化模型： 考慮加性噪聲：g(x, y)= f(x, y)* h(x, y) + n(x, y) 空域卷積等價于頻域內(nèi)乘積：G(u, v) = F(u, v) H(u, v) + N(u, v) （其中 f 和 F, g 和 G, H 和 h 分別為傅里葉對）4.2 噪聲模型噪聲模型 數(shù)字圖像的噪聲主要來源于圖像的獲取(數(shù)字化過程) 和傳輸過程。例如：CCD攝像

8、機，光照程度和傳感器溫度是生成圖像中產(chǎn)生大量噪聲的主要因素。在傳輸過程中主要是由于所用傳輸信道被干擾而受到噪聲污染。 噪聲(Noise) 妨礙人的視覺器官或者系統(tǒng)傳感器對所接收圖像源信息進(jìn)行理解或分析的各種因素； 它是最常見的圖像退化因素之一；圖像中不希望有的部分； 噪聲是不可預(yù)測的隨機信號，只能用概率統(tǒng)計的方法去認(rèn)識； 噪聲影響圖像處理的輸入、采集、處理和輸出等全過程。4.2.1 噪聲的特征噪聲的特征噪聲的空間特性非常復(fù)雜，我們只討論加性噪聲獨立于空間坐標(biāo)的情況，且它與圖像本身無關(guān)聯(lián)，即噪聲分量與像素之間無相關(guān)。噪聲的頻率特性是指噪聲在傅里葉域的頻率內(nèi)容。 當(dāng)噪聲的傅里葉譜是常量時，噪聲通常

9、稱為白噪聲。噪聲可用 n (x, y) 來表示，它是隨機性的，只能用統(tǒng)計量（均值、方差等量）來描述。加性噪聲： g (x, y) = f (x, y) + n (x, y) 乘性噪聲： g (x, y) = f (x, y) 1+ n (x, y) = f (x, y) + f (x, y) n (x, y)形成波形是噪聲和信號的疊加，特點是噪聲與信號無關(guān)。形成波形是噪聲和信號的疊加，特點是噪聲受信號的調(diào)制。4.2.2 一些重要噪聲的概率密度函數(shù)一些重要噪聲的概率密度函數(shù) (PDF)(1) 高斯噪聲（正態(tài)噪聲）：高斯噪聲（正態(tài)噪聲）：z26070.21)(zp222)(e21)(zzp噪聲灰度

10、隨機變量用概率密度函數(shù)（噪聲灰度隨機變量用概率密度函數(shù)（PDF）來表示。）來表示。高斯噪聲的概率密度函數(shù)其值有70%落在范圍(-),(+)之內(nèi)，且有95%落在范圍落在(-2),(+2)內(nèi)。 z 表示灰度值， 表示 z 的平均值或期望值， 表示標(biāo)準(zhǔn)差， 2為方差。數(shù)學(xué)上易于處理，實踐中經(jīng)常使用。z0a2bab26070.)(zp(2) 瑞利噪聲：瑞利噪聲：azazazbzpbaz0e2)(2)()(概率密度的均值：概率密度的方差：4/ba442/ )( b距原點的位移和其密度圖形的基本形狀向右變形。瑞利分布密度對于近似偏移的直方圖十分適用。Reyleighza(3) 伽馬伽馬(愛爾蘭愛爾蘭)噪聲

11、：噪聲：000e1)(1zzbzazpazbb)!(概率密度的均值： = b / a概率密度的方差：22ab/其中a 0, b為正整數(shù)ab/ )(1K)(zpz)()!()(1111bbebbaKGamma嚴(yán)格地說，只有當(dāng)分母為伽馬函數(shù)時才是正確的。當(dāng)分母如此表達(dá)式所示時，該密度稱為愛爾蘭密度。噪聲舉例噪聲舉例 (理想情況理想情況)原始圖像直方圖高斯噪聲瑞利噪聲伽馬噪聲附加樣本噪聲圖像及其直方圖噪聲圖像的直方圖和它們的概率密度函數(shù)曲線對應(yīng)相似。(4) 指數(shù)分布噪聲：指數(shù)分布噪聲：000e)(zzazpaz概率密度的均值： = 1 / a其中a 0概率密度的方差：221 a/它是當(dāng)b=1時的伽馬

12、(愛爾蘭)概率密度分布的特殊情況。000e1)(1zzbzazpazbb)!(a)(zpzExponential(5) 均勻分布噪聲：均勻分布噪聲：otherwisebzaifabzp01)(概率密度的均值： = (a+b) / 2概率密度的方差：ab1)(zpzUniform1222/)(abab(6) 脈沖噪聲脈沖噪聲(椒鹽噪聲椒鹽噪聲)：othersbzforpazforpzpba0)(ap)(zpzImpulseSalt & Pepperabbp如果 b a , 則灰度值 b 在圖像中將顯示為一個亮點，a 則顯示為一個暗點。若 Pa 或 Pb 為零，則稱為單極脈沖。若 Pa 或

13、 Pb 均不為零，且它們近似相等時，脈沖噪聲值類似于隨機分布在圖像上的胡椒 (黑點) 和鹽 (白點) 顆粒，所以雙極脈沖噪聲也稱為椒鹽噪聲。附加指數(shù)、均勻和椒鹽噪聲后的圖像及其直方圖指數(shù)噪聲均勻噪聲椒鹽噪聲4.2.3 周期噪聲周期噪聲周期噪聲是在圖像獲取時從電氣、電力干擾中產(chǎn)生的。周期噪聲的模型是二維正弦波：周期噪聲通過頻域濾波可以顯著地減少。/ )(/ )(sin),(NByvMBxAyxryx0022 對應(yīng)的MN DFT為：),(),(),(/00N2j002j002jvvuuevvuueAvuRyxBvMB 這是一對分別位于 ( u + u0, v + v0 ) 和 (u - u0, v

14、 - v0 ) 的復(fù)共軛沖擊。4.2.4 噪聲參數(shù)的估計噪聲參數(shù)的估計周期噪聲趨向于產(chǎn)生頻率尖峰，其參數(shù)可以通過檢測圖像的傅里葉譜來進(jìn)行估計。周期噪聲污染帶阻濾波器?噪聲PDF參數(shù)一般可以從傳感器的技術(shù)說明中得知，但對于特殊的成像裝置，常常有必要估計這些參數(shù)。當(dāng)僅有通過傳感器產(chǎn)生的圖像可以利用時，常?？梢詮暮侠淼暮愣ê愣ɑ叶戎祷叶戎档囊恍〔糠止烙婸DF參數(shù) (小條帶，見下圖)。?噪聲種類高斯噪聲瑞利噪聲均勻噪聲直方圖的形狀可以指出最接近的PDF匹配。確定PDF對應(yīng)的噪聲種類后，就可以計算灰度值的均值和方差。Sziiizpz)(Sziiizpz)(22）（對所取的小條帶S（子圖像）方差：均值：(

15、其中zi 值是S中像素的灰度， p(zi ) 是相應(yīng)的歸一化直方圖值 )均值和方差求得后，就可以得到PDF中的參數(shù) a 和 b。思考題：怎樣獲得脈沖噪聲的PDF參數(shù)？4.2.5 噪聲添加噪聲添加g = imnoise( f , type, parameters)使用方法：其中 f 是輸入圖像，g 代表輸出圖像，type：噪聲類型，parameters：噪聲參數(shù)。例如：g = imnoise( f , gaussian, 0, 0.02);g = imnoise( f , salt & pepper, 0.02);%高斯噪聲的均值為0，方差為0.02 在Matlab中，使用imnoise

16、語句來污染一副圖像。% 椒鹽噪聲的噪聲密度為 2%g = imnoise( f, speckle, 0.04); %均勻分布隨機噪聲(乘性噪聲) Adds multiplicative noise to the image I, using the equation J = I+n*I, where n is uniformly distributed random noise with mean 0 and variance v. The default for v is 0.04.% MatLab code for 添加噪聲: Noise.mI=imread(lena.bmp);figur

17、e(1),imshow(I);title(Original picture); %J=imnoise(I,type,parameters); 添加噪聲% type: 噪聲種類, parameters: 與噪聲種類相關(guān)的參數(shù)Gauss1=imnoise(I,gaussian,0,0.01); % 高斯噪聲Gauss2=imnoise(I,gaussian,0,0.10); Impulse1=imnoise(I, salt & pepper,0.01); % 椒鹽噪聲Impulse2=imnoise(I,salt & pepper,0.10); Speckle1=imnoise(I

18、, speckle, 0.01); % 均勻分布隨機噪聲Speckle2=imnoise(I, speckle, 0.10);figure(2); imshow(Gauss1);title(Gaussian,Sigma=0.01);figure(3); imshow(Gauss2);title(Gaussian,Sigma=0.10);figure(4),imshow(Impulse1);title(Salt & Pepper, Sigma=0.01);figure(5),imshow(Impulse2);title(Salt & Pepper, Sigma=0.01);fig

19、ure(6),imshow(Speckle1);title(Speckle, Sigma=0.01);figure(7),imshow(Speckle2);title(Speckle, Sigma=0.01);高斯噪聲均值為0，方差為0.01和0.10椒鹽噪聲密度為 1%和10%Speckle噪聲均值為0，方差為0.01和0.10例題：假設(shè) w 是在區(qū)間 (0,1) 內(nèi)的隨機變量，試用其來產(chǎn)生具有下列分布的隨機數(shù) z ：azazzpbaz0e1)(2)(解：為了得到 z , 需解方程wbaz2e1)()ln(wbaz1這樣就可以產(chǎn)生參數(shù)是 a 和 b 的隨機分布變量 z 。在MatLab中可用

20、簡單語句來得到一個MN的隨機數(shù)組R： R = a + sqrt ( b*log (1-rand(M, N);注意：在Matlab中，rand產(chǎn)生的是0-1之間的均勻分布隨機數(shù) randn產(chǎn)生均值為 0 方差為 1 的正態(tài)分布隨機數(shù) rand(n)或randn(n)生成nn的隨機數(shù)矩陣 rand(m,n)或randn(m,n)生成mn的隨機數(shù)矩陣 可用Matlab中的Random函數(shù)生成均勻隨機數(shù) - 并產(chǎn)生噪聲。4.3 只存在噪聲的空間濾波復(fù)原只存在噪聲的空間濾波復(fù)原g(x, y)= f (x, y)* h(x, y) + n(x, y) g(x, y) = f (x, y) + n(x, y

21、) G(u, v) = F(u, v) H(u, v) + N(u, v) G(u, v) = F(u, v) + N(u, v) 當(dāng)一副圖像中唯一存在的退化是噪聲時，噪聲項是未知的，一般無法從g(x, y) 或者G(u, v) 中直接減去它們。當(dāng)僅有加性噪聲存在時，可以選擇空間濾波方法去掉噪聲。這與圖像增強中的濾波方法一樣，圖像的增強和復(fù)原幾乎是不可區(qū)分的。自適應(yīng)局部噪聲消除濾波器、自適應(yīng)中值濾波器圖像復(fù)原的空間濾波器 均值濾波器算術(shù)均值濾波器、幾何均值濾波器、諧波均值濾波器、逆諧波均值濾波器 順序統(tǒng)計濾波器中值濾波器、最大值濾波器、最小值濾波器、中點濾波器、修正后的Alpha均值濾波器 自

22、適應(yīng)濾波器 算術(shù)均值濾波器算術(shù)均值濾波器4.3.1 均值濾波器均值濾波器xyStstsgmnyxf),(),(1),(Sxy表示中心在(x, y)、尺寸為 mn 的矩形子圖像窗口的坐標(biāo)組。效果：平滑了一幅圖像的局部變化，使圖像模糊，同時減少了噪聲。白條寬7像素，高210像素，間隔17像素99算術(shù)均值濾波77算術(shù)均值濾波33算術(shù)均值濾波 幾何均值濾波器幾何均值濾波器mnStsxytsgyxf1,),(每一個被復(fù)原像素由子圖像窗口中像素點乘積的 1/mn 次冪給出。幾何均值濾波器所達(dá)到的平滑度可以與算術(shù)均值濾波器相比，但在濾波過程中會丟失更少的圖像細(xì)節(jié)相對銳化。電路板的X射線圖像高斯噪聲污染圖像(

23、=0, 2=400)33幾何均值濾波后的圖像33算術(shù)均值濾波后的圖像圖像更清晰圖像變模糊 諧波均值濾波器諧波均值濾波器xyStstsgmnyxf),(),(1),(效果：適合處理高斯和均勻等隨機噪聲； 諧波均值濾波器對于“鹽”噪聲效果好，但不適用于“胡椒”噪聲。原圖：白條7像素寬，210像素高，白條間隔17像素99諧波均值濾波77諧波均值濾波33諧波均值濾波?白條帶的寬度和高度白條帶的寬度和高度xyxyStsQStsQtsgtsgyxf),(),(1),(),(),( 逆諧波均值濾波器逆諧波均值濾波器其中 Q 稱為濾波器的階數(shù)。當(dāng) Q 是正數(shù)時，濾波器用于消除 “椒” 噪聲；當(dāng) Q 是負(fù)數(shù)時，

24、濾波器用于消除 “鹽” 噪聲。但它不能同時消除這兩種噪聲。當(dāng) Q = 0，逆諧波均值濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)樗阈g(shù)均值濾波器；當(dāng) Q = - 1，逆諧波均值濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)橹C波均值濾波器?！敖贰痹肼暩蓴_的圖像33 逆諧波均值濾波的結(jié)果 (Q=1.5)“鹽”噪聲干擾的圖像33 逆諧波均值濾波的結(jié)果 (Q=-1.5)33 逆諧波均值濾波的結(jié)果 (Q=-1.5)33 逆諧波均值濾波的結(jié)果 (Q=1.5)使用逆諧波均值濾波器時，選擇不當(dāng)?shù)氖褂媚嬷C波均值濾波器時，選擇不當(dāng)?shù)?Q 值會帶來嚴(yán)重的問題值會帶來嚴(yán)重的問題!算術(shù)均值和幾何均值濾波器適合于處理高斯或均勻等隨機噪聲；諧波均值濾波器適合于處理脈沖噪聲。均值濾波器總結(jié)：

25、缺點：必須事先知道噪聲是暗噪聲還是亮噪聲，以便于選擇合適 的 Q 符號。4.3.2 統(tǒng)計排序濾波器統(tǒng)計排序濾波器順序統(tǒng)計濾波器是空間域濾波器，它們的響應(yīng)基于濾波器包圍的圖像區(qū)域中像素點的排序。濾波器在任何點的響應(yīng)由排序結(jié)果決定。 中值濾波器 用該像素相鄰像素的灰度中值來代替該像素的值),(),(),(tsgmedianyxfxySts特點：1）在相同尺寸下，比起均值濾波器引起的模糊少； 2) 對單極或雙極脈沖 (椒鹽) 噪聲非常有效。椒鹽噪聲干擾圖像1遍 33 中值濾波 2 遍 33 中值濾波 3 遍 33 中值濾波概率密度為 Pa = Pb =0.1 最大值濾波器：),(max),(),(t

26、sgyxfxySts特點：1) 對圖像中的亮點敏感； 2) 最大值濾波器對于 “椒” 噪聲具有良好消除效果。白條寬7像素，高210像素，間隔17像素99最大值濾波圖像77最大值濾波圖像33最大值濾波圖像),(min),(),(tsgyxfxySts1) 對圖像中的暗點敏感；2) 最小值濾波器對于 “鹽” 噪聲具有良好消除效果。 最小值濾波器： “椒” 噪聲干擾圖像“鹽”噪聲干擾圖像33最小值濾波圖像33最大值濾波圖像概率密度為概率密度為Pa = Pb =0.1在范圍內(nèi)計算最大值和最小值之間的中點：),(min),(max),(),(),(tsgtsgyxfxyxyStsSts21特點：這種濾波

27、器結(jié)合了順序統(tǒng)計和求平均 (均勻)，對于高斯和均勻隨機分布噪聲有最好的效果。 中點濾波器白條寬7像素，高210像素，間隔17像素99最大值濾波圖像77最大值濾波圖像33最大值濾波圖像 修正后的Alpha均值濾波器xyStsrtsgdmnyxf),(),(1),(在 Sxy鄰域內(nèi)去掉 g(s,t) 最高灰度值的d/2和最低灰度值的d/2，用 gr(s,t) 代表剩余 mn-d 個像素，由這些剩余后的像素點的平均值形成的濾波器稱為修正后的Alpha 均值濾波器：當(dāng) d = 0，蛻變?yōu)樗阈g(shù)均值濾波；當(dāng) d = (mn-1)/2, 退變?yōu)橹兄禐V波；當(dāng) d 取其它值時，適用于包括多種噪聲的情況，例如高斯

28、噪聲和椒鹽噪聲混合的情況。加性均勻噪聲污染的圖像加性椒鹽噪聲污染的圖像由于脈沖噪聲的存在，算術(shù)均值和幾何均值濾波器沒有起到好的作用.55幾何均值濾波器55算術(shù)均值濾波器55中值均值濾波器D=5的修正后的Alpha均值濾波器（55）4.3.3 自適應(yīng)濾波器自適應(yīng)濾波器行為變化基于由mn矩形窗口Sxy定義的區(qū)域內(nèi)圖像的統(tǒng)計特性。與前述濾波器相比，性能更優(yōu)；但也增加了算法復(fù)雜性。 自適應(yīng)局部噪聲消除濾波器 自適應(yīng)中值濾波器 自適應(yīng)局部噪聲消除濾波器均值：給出了區(qū)域中灰度平均值的度量；方差：給出了區(qū)域的平均對比度的度量。 作用于局部區(qū)域 Sxy 的濾波器響應(yīng)基于以下4個量： (a) g(x,y) -

29、噪聲圖像在點(x,y)上的值 (b) - 干擾 f(x,y)以形成 g(x,y) 的噪聲方差 (c) mL - 在 Sxy 上像素點的局部均值 (d) - 在 Sxy 上像素點的局部方差22L1，如果 ，濾波器返回 g(x,y) 的值。 - 因為在 g(x,y) 下零噪聲的情況等同于 f(x,y)。 濾波器的預(yù)期性能3，如果局部方差 與 是高相關(guān)的，濾波器返回一個g(x,y)的近似值。2，如果 ，濾波器返回區(qū)域 Sxy 上像素的算術(shù)均值。 - 這種情況發(fā)生在局部面積與全部圖像有相同特性的條 件下，并且局部噪聲簡單地用求平均來降低。0222L22L唯一需要知道或估計的未知量是噪聲方差；其它參數(shù)可

30、以從 Sxy 中的像素計算出來。 基于上述假定的自適應(yīng)表達(dá)式L22myxgyxgyxfL),(),(),(自適應(yīng)濾波器舉例高斯噪聲污染圖像(均值為0，方差為1000)77的算術(shù)均值濾波77的幾何均值濾波77的自適應(yīng)濾波更加銳化 自適應(yīng)中值濾波器zmin = Sxy 中的灰度級最小值zmax = Sxy 中的灰度級最大值zmed = Sxy 中的灰度級中值zxy = 坐標(biāo)(x, y)處的灰度級Smax = Sxy 允許的最大尺寸主要目的： 除去“椒鹽”噪聲（沖激噪聲） 平滑其它非沖激噪聲 減少物體邊界細(xì)化或粗化等失真 自適應(yīng)中值濾波器算法工作在兩個層次，定義為A層和B層 A層層：A1 = zme

31、d zminA2 = zmed zmax如果 A1 0 且 A2 0 且 B2 zmed zmin 說明 zmed 不是脈沖zmax zxy zmin 說明 zxy 不是脈沖zxy = zmax 或 zxy = zmin椒鹽噪聲干擾圖像 (概率 Pa = Pb =0.25)77中值濾波器自適應(yīng)中值濾波（Smax = 7）噪聲被有效去除,但細(xì)節(jié)損失嚴(yán)重保持了點的尖銳性,細(xì)節(jié)清楚4.4 頻域濾波削減周期噪聲頻域濾波削減周期噪聲周期噪聲的模型是二維正弦波，通過帶阻、帶通和陷波濾波器可以被有效去除。有關(guān)內(nèi)容在上一章 “圖像增強”里面已經(jīng)詳述，在此不再說明。 退化模型：g(x, y) = H f (x,

32、 y) + n(x, y)4.5 線性、位置不變的退化模型線性、位置不變的退化模型一副連續(xù)圖像 f (x, y) 可以表示為：ddyxfyxf),(),(),( 式中 函數(shù)表示空間上點脈沖的沖激函數(shù)。),(),(ddyxfH ),(),(yxfHyxgddyxfHyxg),(),(),( 當(dāng)退化函數(shù) H f (x, y) 是線性算子時，可把 “加性特性” 擴展為積分：假設(shè) n(x, y) = 0，則 g(x, y)= H f(x, y)退化輸出圖像函數(shù)：由于 獨立于 x 和 y，使用 “均勻性” ，可得出),(fddyxfHyxg),(),(),( ddyxHf),(),( ),(),(yxH

33、yxh)(),(),(1ddyxhf 其中稱為退化系統(tǒng) H 的沖擊響應(yīng)函數(shù)(或點擴展函數(shù)PSF)。),(yxh(1) 式表明，如果退化系統(tǒng) H 的沖擊響應(yīng)函數(shù) h 已知，則對任意輸入圖像 的響應(yīng)都可以求得 - 線性系統(tǒng)理論的核心。),(f當(dāng)退化函數(shù) H f (x, y) 是位置不變的系統(tǒng)時，),(),(yxHyxh)(),(),(),(2ddyxhfyxg 在有加性噪聲存在的情況下，線性、位置不變的退化模型可表示為：),(),(),(),(yxnddyxhfyxg ),(),(*),(),(yxnyxfyxhyxg對上式取傅里葉變換，基于卷積定理，在頻域內(nèi)可得：),(),(),(),(vuNv

34、uFvuHvuG式(2)是卷積積分，輸出 g 是沖擊響應(yīng) h 和 輸入圖像 f 的簡單卷積：),(*),(),(yxfyxhyxg許多退化類型可近似表示為線性的位置不變過程。這一方法的優(yōu)點在于廣泛線性系統(tǒng)理論對于解決圖像復(fù)原問題很實用。由于退化模型為卷積的結(jié)果，且圖像復(fù)原時需要濾波器，所以用于復(fù)原處理的濾波器稱為 “去卷積濾波器”。4.6 離散圖像退化的數(shù)學(xué)模型離散圖像退化的數(shù)學(xué)模型 一維圖像退化過程： 10eee1 1 0MmMxmxhmfxg,)()()(1010)()(eMxAAxxfxf1010)()(eMxBBxxhxh將輸入數(shù)字圖像和沖擊響應(yīng)函數(shù)擴展為：輸出的降低質(zhì)量的數(shù)字圖像為：

35、輸入的數(shù)字圖像 f (x) ： 大小為 A沖激響應(yīng)函數(shù) h(x)： 大小為 B為避免卷積周期重疊誤差，采用添零延拓方法將它們分別擴展成具有 M 個元素的周期函數(shù)，且 M A + B 1。 用矩陣形式表示)()()()()()()()()()()()()()()(110 021201110110eeeeeeeeeeeeeeeMfffhMhMhMhhhMhhhMgggHfg)()()()()()()()()(021201110eeeeeeeeehMhMhhhhhMhhH記憶方法： 將0 1 2 3 4 M-2 M-1畫成一個圓圈，依次循環(huán)作為he(x)根據(jù)周期性： he(x) = he(x+M)循

36、環(huán)矩陣H= he(x) 1101010eNyBorMxAByandAxyxfyxf),(),(1101010eNyDorMxCDyandCxyxhyxh),(),(1 1 01 1 0 1010eeeNyMxnymxhnmfyxgMmNn,),(),(),( 二維退化過程 不考慮噪聲，輸出的降低質(zhì)量的數(shù)字圖像為：設(shè)輸入的數(shù)字圖像f (x, y) 的大小為AB，點擴展函數(shù)h(x,y)被均勻采樣的大小為CD。采用添零延拓方法將其分別擴展成 M=A+C-1 和 N=B+D-1個元素的周期函數(shù)： 用矩陣形式表示：fHg H 是 MNMN 維矩陣， 即由MM個大小為NN的子矩陣組成， 032130122

37、1011210HHHHHHHHHHHHHHHHHMMMMMM子矩陣 Hj ( j=0, 1, 2, , M-1) 為分塊循環(huán)矩陣，大小為NN：),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(0321301221011210eeeeeeeeeeeeeeeejhNjhNjhNjhjhjhjhjhjhNjhjhjhjhNjhNjhjhjH 考慮噪聲1 1 01 1 0 1010eeeNyMxyxnnymxhnmfyxgMmNne,),(),(),(),(解解： H 是 MNMN 維矩陣，M=N=512， MNMN =512 512 512 512 =

38、236 = 68719476736例：對于512 512的圖像，用離散退化模型的矩陣表示。這意味著要解出 f (x, y) 需要求解 236 (約687億) 個聯(lián)立方程組，上式表明，給定了退化圖像 g(x,y)、退化擴展函數(shù) h(x,y) 和噪聲分布n(x,y)，就可以得到原始圖像 f (x,y)的估計 。 ),(yxf可以證明在頻率域中有：1 1 01 1 0NyMxvuNvuFvuHvuG,),(),(),(),(實際計算工作量巨大 (天文數(shù)字)，需要存儲空間巨大 ! 兩類解決辦法兩類解決辦法(1) 通過對角化簡化分塊循環(huán)矩陣，再利用FFT快速算法可以大大降低計算量并能極大地節(jié)省存儲空間。

39、(2) 分析退化的具體原因，找出退化函數(shù) H 的具體簡化形式 - 估計退化方法。4.7 估計退化函數(shù)估計退化函數(shù) 三種主要的估計退化函數(shù)的方法： (1) 圖像觀察估計法 (2) 試驗估計法 (3) 模型估計法使用以某種方式估計的退化函數(shù)復(fù)原一幅圖像的過程有時稱為盲目去卷積，因為真正的退化函數(shù)很少能完全知曉。 假設(shè)空間不變的，由 推導(dǎo)出完全函數(shù) 構(gòu)造一個估計圖像，它與觀察的子圖像有相同大小和特性 表示觀察子圖像， 表示構(gòu)造的子圖像 和 為對應(yīng)的傅立葉變換4.7.1 圖像觀察估計法圖像觀察估計法 給定一幅退化圖像，但沒有退化函數(shù) H 的知識，那么估計該函數(shù)的方法之一就是收集圖像自身的信息： 尋找簡

40、單結(jié)構(gòu)的子圖像 尋找受噪聲影響小的子圖像),(),(),(vuFvuGvuHssS),(yxgs),(yxfs),(vuGs),(vuFs),(vuHs),(vuH4.7.2 試驗估計法試驗估計法 使用與被退化圖像設(shè)備相似的裝置，并得到一個脈沖的沖激響應(yīng)，可以進(jìn)行較準(zhǔn)確的退化估計：AvuGvuH),(),(一個脈沖點一個脈沖點成像系統(tǒng)成像系統(tǒng)H 此處A是一個沖激的傅立葉變換，表示沖擊強度，為一常數(shù)。 右圖為一個放大的亮脈沖以及退化的沖激。),(yxg退化圖像退化圖像 4.7.3 模型估計法模型估計法 建立退化模型，考慮引起退化的環(huán)境因素22 5/6()( , )k uvH u ve 例如：Hu

41、fnagel 等 Stanley 的退化模型就是基于大氣湍流的物理特性而提出來的，其中k為常數(shù)，與湍流特性相關(guān)。(除了指數(shù)5/6，該公式與高斯低通濾波形式相同.)大氣湍流模型模擬退化模糊一幅圖像：劇烈湍流(k=0.0025)中等湍流(k=0.001)輕微湍流(k=0.00025)可忽略的湍流22 5/6()( , )k uvH u ve 可以從基本原理開始推導(dǎo)出退化模型Tttyytxxfyxg000)d)(),(),(T: 采集 (曝光) 時間x方向運動分量 y 方向運動分量 當(dāng)成像傳感器與被攝景物之間存在足夠快的相對運動時，所攝取的圖像就會出現(xiàn)“運動模糊”。勻速直線運動造成的模糊，可用數(shù)學(xué)推

42、導(dǎo)出其退化函數(shù)。假定 f(x,y) 表示無運動模糊的清晰圖象，相對運動用 x0(t) 和 y0(t) 表示，運動模糊的圖像可表示為：令： yxvyuxyxgvuGd)d(j2)exp( )(,TttvytuxvuH000)d()(j2exp(),(所以，若 x0(t) 和 y0(t) 已知，傳遞函數(shù)H(u,v) 可以直接得到。進(jìn)行傅立葉變換得到：)(exp),(),(0000j2vyuxvuFyyxxfTttvytuxvuFvuG000)d()(j2exp()( ,),( Ttyxvyuxtyytxxf000 d dd )(j2)exp(),(- )()()(vuFvuHvuG,則：平移性原始

43、圖像運動引起的圖像模糊 (a=b=0.1, T=1)假設(shè)當(dāng)前圖像只在 x 方向以給定的速度 x0(t) = at / T 做均勻直線運動。當(dāng) t = T 時，圖像由總距離a取代。令 y0(t) = 0，則有：TtuxtvuH0)(j2de0),(若允許 y 分量也變化，y0(t) = bt / T 運動，則退化函數(shù)變?yōu)椋?()(sin)(),(vbajevbavbaTvuHajTTuateaaTt)sin(/0j2de李抱樸, http:/ 如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ，則根據(jù)4.8 逆濾波復(fù)原法逆濾波復(fù)原法 vuFvuHvuG,vuH,vuHvuGvuF,可得復(fù)原圖像的譜，經(jīng)傅氏逆變換即可得到復(fù)

44、原圖像在忽略噪聲的影響，退化模型的傅氏變換為實際應(yīng)用時存在病態(tài)的問題，即在 H(u,v) 等于零或非常小的數(shù)值點上， 將變成無窮大或非常大的數(shù)。 ),(vuF- 這就是逆濾波復(fù)原法 vuNvuFvuHvuG,vuHvuNvuFvuHvuNvuHvuGvuF,),(,系統(tǒng)中存在噪聲時退化模型的傅立葉變換為：寫成逆濾波復(fù)原的方式：1）即使知道退化函數(shù)，也不能準(zhǔn)確復(fù)原圖像，因為噪聲函數(shù) N(u,v) 是一個隨機函數(shù)，其傅里葉變換未知。2）如果退化是零或非常小的值，噪聲即使數(shù)值很小，但 N(u,v)/H(u,v) 之比 (上式第二項) 可能非常大，很容易決定的估計值。),(vuFdudvevuHvuN

45、yxfyxfvyuxj )(),(),(),(),(21解決退化是零或非常小的值的途徑：限制濾波的頻率，使其接近原點值。 在離頻率平面離原點較遠(yuǎn)的地方，H(u,v)數(shù)值較小或為零，因此圖像復(fù)原在原點周圍的有限區(qū)域內(nèi)進(jìn)行，即將退化圖像的傅立葉譜限制在沒出現(xiàn)零點而且數(shù)值又不是太小的有限范圍內(nèi)，即通過將頻率限制為接近原點分析，減少了遇到零值的幾率。 劇烈湍流(k=0.0025)大氣湍流模型模擬退化模糊一幅圖像(前面已講過內(nèi)容)：可忽略的湍流652222/)/()/(),(NvMukevuH對退化函數(shù) H(u,v) 進(jìn)行精確取反，并進(jìn)行逆濾波，結(jié)果如下圖。全頻直接逆濾波復(fù)原半徑為40時截止H半徑為70

46、時截止H半徑為85時截止H結(jié)果表明：噪聲明顯影響了圖像復(fù)原結(jié)果，一般直接逆濾波效果較差。劇烈湍流圖(k=0.0025)退化圖復(fù)原圖像：目標(biāo)： 尋找一個濾波器，使得復(fù)原后圖像 與原始圖像 的均方誤差最小。4.9 最小均方誤差復(fù)原法最小均方誤差復(fù)原法 -Wiener濾波復(fù)原濾波復(fù)原逆濾波沒有清楚說明如何處理噪聲！),(yxf)(22ffEe誤差度量：現(xiàn)討論一種濾波復(fù)原法 - Wiener濾波復(fù)原： 綜合考慮退化函數(shù)和噪聲統(tǒng)計特征。E是宗量的期望值。),(yxf因此維納濾波復(fù)原又稱為最小均方誤差復(fù)原。min),(),(2yxfyxfE),(),(/ ),(),(),(),(),(vuGvuSvuSv

47、uHvuHvuHvuFf221f誤差函數(shù)的最小值在頻域里可以通過近似圖像 的傅里葉變換來計算：葉變換為復(fù)原近似圖像的傅里換為退化圖像的傅里葉變換為退化函數(shù)的傅里葉變其中：),(),(),(vuFvuGvuH為未退化圖像的功率譜為噪聲的功率譜22),(),(),(),(vuFvuSvuNvuSf),(),(),(*vuHvuHvuH2維納濾波器(2) 未退化圖像的功率譜難以知道，可用下式近似表示：KvuHvuHvuHvuHw221),(),(),(),(1) 如果噪聲為 0，其功率譜消失，維納濾波就退化為逆濾波。討論：討論：式中 K 是根據(jù)信噪比的某種先驗知識確定的常數(shù)。),(/ ),(),(),(),(),(vuSvuSvuHvuHvuHvuHfw221維納濾波復(fù)原：維納濾波需要假定下述條件成立(或近似成立)： 系統(tǒng)為線性、空間不變；(1) 退化圖像、原始圖像和噪聲都是均勻隨機場，噪聲的均值為零，且與圖像不相關(guān)。 維納濾波復(fù)原與逆濾波復(fù)原的比較全頻逆濾波半徑受限逆濾波維納濾波復(fù)原 (交互選擇K)逆濾波 維納濾波運動模糊及加性噪聲污染圖像均值為0，方差為650的加性高斯噪聲污染噪聲幅度的方差比第一圖小1個數(shù)量級噪聲幅度的方差比第一圖小5個數(shù)量級 維納濾波的缺點： 未退化圖像和噪聲的功率譜必須是已知的； 功率比(信噪比)常數(shù)K 的估計一般還是沒有合適的解。4.