分式方程的幾種特殊解法

1、WORD格式整理分式方程的幾種特殊解法白云中學：孫權兵解分式方程的一般步驟：（1）去分母，化分式方程為整式方程；（2）解整式方程；（3）檢驗，判斷所求整式方程的解是否是原分式方程的解。但在具體求解時卻不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程時，應能根據(jù)方程的特點，采用靈活多變的解法，并施以適當?shù)募记桑拍鼙芊本秃?，巧妙地將題目解出。下面舉例談談解分式方程的幾種特殊技巧。1、 加減相消法。例1、解方程：。 分析：若直接去分母固然可以求出該題的解，但并不是最佳解題方法。如果我們發(fā)現(xiàn)方程兩邊都加上分式，則可以通過在方程兩邊都加上分式，就將原方程化簡成，從而輕松獲解。解：原方程兩邊都加上，則可得：

2、去分母，得： 解得： 經(jīng)檢驗，是原分式方程的解。2、 巧用合比性質(zhì)法。例2：解方程：。分析：若我們能發(fā)現(xiàn)方程兩邊的分式的分子比分母都多1的話，則可以利用合比性質(zhì)將分子化為1，從而可以輕易將方程的解求出。解：由合比性質(zhì)可得： 去分母并化簡得：，即 解得：經(jīng)檢驗，是原分式方程的解。3、 巧用等比性質(zhì)法。例3、解方程：。分析：該方程兩邊的分式的分子之差和分母之差都是常數(shù)，故可考慮先用等比性質(zhì)將原方程化簡后再求解。解：由等比性質(zhì)可得：。 化簡得： 經(jīng)檢驗，是原分式方程的解。4、 分組化簡法。例4、解方程：。 分析：此方程若直接通分將會出現(xiàn)高次方程，并且運算過程十分復雜，做法不可取。此題可采用分組組合后

3、各自通分的方法來求解。解：原方程可化為： 分別通分并化簡，得： 解得：經(jīng)檢驗，是原分式方程的解。5、 倒數(shù)法。例5、解方程：。分析：本題若按常規(guī)方法去做，需通分和去分母，然后再求解，過程較復雜。但如果采用倒數(shù)法，則可以簡化解題過程。解：原方程兩邊取倒數(shù)，得： 移項化簡，得： 方程兩邊取倒數(shù)，得： 解得：經(jīng)檢驗，是原分式方程的解。6、 列項變形法。例6、解方程：。分析：將該方程直接去分母，方程兩邊的運算十分繁雜。若注意到方程的分母特點是兩個連續(xù)因式的積，它們的差為1。凡是這樣的分式或分數(shù)都能拆開成兩個分式或分數(shù)的差，使得除首、末兩項之外的中間項可以相互抵消，從而達到化繁為簡。解：原方程可化為：

4、去分母化簡得： 解得：經(jīng)檢驗，是原分式方程的解。7、 換元法。例7、解方程：。分析：注意到與互為倒數(shù)，因此可考慮換元法，化繁為簡，化難為易。解：令，則，故原方程可化為： 去分母化簡得：解得： 所以化簡得：解得：經(jīng)檢驗，是原分式方程的解。8、 化為整式部分和分式部分之和的變形法。例8、解方程：。 分析：若一個方程的分子的次數(shù)高于或等于分母的次數(shù)，則可把這個分式化為化為整式部分和分式部分之和的形式，如此即可妙解分式方程。解：原方程可化為： 去分母得： 解得：經(jīng)檢驗，是原分式方程的解。9、 巧用特殊方程法。例9、解方程：。分析：對于方程，我們易知它的根為。而本題可化為的形式，所以利用上述結論可巧妙將

5、方程解出。解：原方程可化為： 或 解得：經(jīng)檢驗，是原分式方程的解。10、 設輔助元法。例10、解方程：。 分析：此方程若直接通分將會出現(xiàn)高次方程，并且運算過程十分繁雜。如果我們觀察到原方程的特殊結構，采用設輔助元，令，則可得，而原方程則可化為，進一步可構造和為根的一元二次方程，然后在求出和的基礎上獲得原方程的解。解：設，則可得 又原方程則可化為 所以由、可知：和可以看作一元二次方程的兩個實數(shù)根。解之得：所以有：或進一步解得：。經(jīng)檢驗，是原分式方程的解。11、 函數(shù)圖象法。例11、解方程：。 分析：原方程可化為，我們可以將此方程的兩邊分別看作二次函數(shù)和反比例函數(shù)。然后在同一直角坐標系分別作出它們的圖象，兩個函數(shù)交點的橫坐標即是原方程的解。解：原方程可化為：。將此方程的兩邊分別看作二次函數(shù)和反比例函數(shù)。在同一直角坐標系分別作出它們的圖象（如下圖）： 觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)的圖象只有一個交點，且交點坐標為（1,3）故原方程的解為。經(jīng)檢驗，是原分式方程的解。以上介紹了分式方程的十一種解題技巧，解題