第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性與極值

1、第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性與極值教學(xué)目的：理解函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性的判定定理，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和曲線的凹凸區(qū)間，理解函數(shù)極值的概念，會(huì)求函數(shù)極值。教學(xué)重點(diǎn)：掌握用一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凹凸性的方法和極值。教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)不存在的連續(xù)點(diǎn)、也可能是單調(diào)區(qū)間和曲線的凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)。教學(xué)內(nèi)容： 一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 如果函數(shù)在上單調(diào)增加（單調(diào)減少）, 那么它的圖形是一條沿軸正向上升（下降）的曲線. 這時(shí)曲線的各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的（是非正的）, 即 (或) 由此可見, 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系. 反過來, 能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定函數(shù)的單調(diào)性呢

2、？ 定理1 (函數(shù)單調(diào)性的判定法) 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在內(nèi), 那么函數(shù)在上單調(diào)增加; (2)如果在內(nèi), 那么函數(shù)在上單調(diào)減少. 證明 只證(1)（2）可類似證得）在上任取兩點(diǎn), 應(yīng)用拉格朗日中值定理, 得到. 由于在上式中, 因此, 如果在內(nèi)導(dǎo)數(shù)保持正號(hào), 即, 那么也有, 于是從而，因此函數(shù)在上單調(diào)增加. 證畢 注: 判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間. 例1 判定函數(shù)在上的單調(diào)性. 解 因?yàn)樵趦?nèi), 所以由判定法可知函數(shù)在上單調(diào)增加. 例2 討論函數(shù)的單調(diào)性. 解 由于 且函數(shù)的定義域?yàn)?令, 得, 因?yàn)樵趦?nèi), 所以函數(shù)在上單調(diào)減少; 又在內(nèi), 所以函數(shù)在上單調(diào)增加.

3、例3. 討論函數(shù)的單調(diào)性. 解: 顯然函數(shù)的定義域?yàn)? 而函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 所以函數(shù)在處不可導(dǎo). 又因?yàn)闀r(shí), 所以函數(shù)在上單調(diào)減少; 因?yàn)闀r(shí), , 所以函數(shù)在上單調(diào)增加. 說明: 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù), 除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù), 那么只要用方程的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)的定義區(qū)間, 就能保證在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào), 因而函數(shù)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào). 例4. 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解 該函數(shù)的定義域?yàn)? 而,令, 得. 列表 +-+函數(shù)f(x)在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)增加, 在區(qū)間上單調(diào)減少. 例5. 討論函數(shù)的單調(diào)性. 解 函數(shù)的定義域?yàn)?函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:, 除時(shí), 外, 在其

4、余各點(diǎn)處均有 因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減少; 因?yàn)楫?dāng)時(shí), , 所以函數(shù)在及上都是單調(diào)增加的. 從而在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)增加的. 其在處曲線有一水平切線. 說明:一般地, 如果在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零, 在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí), 那么在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的. 例6. 證明: 當(dāng)時(shí), . 證明: 令, 則 因?yàn)楫?dāng)時(shí), 因此在上單調(diào)增加, 從而當(dāng)時(shí), ,又由于, 故, 即, 也就是,(). 二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)1. 凹凸性的概念: x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) 定義 設(shè)在區(qū)間I上連續(xù), 如果對(duì)I上任意兩點(diǎn) , 恒

5、有, 那么稱在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么稱在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧). 定義¢ 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù), 如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的.2.曲線凹凸性的判定 定理 設(shè)在上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù), 那么 (1)若在內(nèi), 則在上的圖形是凹的; (2)若在內(nèi) , 則在上的圖形是凸的. 證明 只證(1)(2)的證明類似). 設(shè), 記. 由拉格朗日中值公式, 得 , , , , 兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得 , , 即,

6、所以在上的圖形是凹的. 拐點(diǎn): 連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn). 確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟: (1)確定函數(shù)的定義域; (2)求出在二階導(dǎo)數(shù) ; (3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn); (4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn); 注: 根據(jù)具體情況（1）、（3）步有時(shí)省略. 例1. 判斷曲線的凹凸性. 解: , . 因?yàn)樵诤瘮?shù)的定義域內(nèi), , 所以曲線是凸的. 例2. 判斷曲線的凹凸性. 解: 因?yàn)?, . 令 得. 當(dāng)時(shí), , 所以曲線在內(nèi)為凸的; 當(dāng)時(shí), 所以曲線在內(nèi)為凹的. 例3. 求曲線的拐點(diǎn). 解: , ，令, 得. 因?yàn)楫?dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí), ,

7、所以點(diǎn)(, )是曲線的拐點(diǎn). 例4. 求曲線的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間. 解: (1)函數(shù)的定義域?yàn)? (2) ,; (3)解方程, 得, ; (4)列表判斷: (-¥, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +¥) f ¢¢(x) + 0 - 0 + È 1 Ç 11/27 È 在區(qū)間和上曲線是凹的, 在區(qū)間上曲線是凸的. 點(diǎn) 和是曲線的拐點(diǎn). 例5 問曲線是否有拐點(diǎn)？ 解 , . 當(dāng)時(shí), , 在區(qū)間內(nèi)曲線是凹的, 因此曲線無拐點(diǎn). 例6. 求曲線的拐點(diǎn). 解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)? (2) , ; (3)函數(shù)無二階導(dǎo)

8、數(shù)為零的點(diǎn)，二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為 ; (4)判斷: 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí), . 因此, 點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn). 三、函數(shù)的極值及其求法 定義 設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義, 如果對(duì)于去心鄰域內(nèi)的任一，有（或）, 則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值（或極小值）. 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). 說明：函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的. 如果是函數(shù)的一個(gè)極大值, 那只是就附近的一個(gè)局部范圍來說, 是的一個(gè)最大值; 如果就的整個(gè)定義域來說, 不一定是最大值. 對(duì)于極小值情況類似. 極值與水平切線的關(guān)系: 在函數(shù)取得極值處, 曲線上的切線是水平的. 但曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一

9、定取得極值. 定理3 (必要條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo), 且在處取得極值, 那么函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為零, 即. 定理1可敘述為：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn). 但是反過來, 函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn). 考察函數(shù)在處的情況. 顯然是函數(shù)的駐點(diǎn)，但卻不是函數(shù)的極值點(diǎn). 定理4 (第一種充分條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù), 在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo). (1) 若時(shí)，, 而時(shí)，, 則函數(shù)在處取得極大值; (2) 若時(shí)，, 而時(shí)，, 則函數(shù)在處取得極小值; (3)如果時(shí)，不改變符號(hào), 則函數(shù)在處沒有極值. 定理2也可簡(jiǎn)單地?cái)⑹鰹? 當(dāng)在的鄰近漸增地經(jīng)過時(shí), 如果的符號(hào)由負(fù)變正, 那么在處取得極大值; 如果的符號(hào)由正變

10、負(fù), 那么在處取得極小值; 如果的符號(hào)并不改變, 那么在處沒有極值. 確定極值點(diǎn)和極值的步驟: (1)求出導(dǎo)數(shù); (2)求出的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷(考察的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況, 以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn), 如果是極值點(diǎn), 還要按定理2確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值); (4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值. 例1 求出函數(shù)的極值解 令得駐點(diǎn) 列表討論極大值極小值所以極大值極小值函數(shù)的圖形如下例2 求函數(shù)的極值. 解 顯然函數(shù)在內(nèi)連續(xù), 除外處處可導(dǎo), 且 令, 得駐點(diǎn)，為的不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷 -11+不可導(dǎo)-0+0所以極大值為, 極小值為. 如果存

11、在二階導(dǎo)數(shù)且在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)不為零則有 定理5 (第二種充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)且, , 那么 (1)當(dāng)時(shí), 函數(shù)在處取得極大值; (1)當(dāng)時(shí), 函數(shù)在處取得極小值; 證明 對(duì)情形(1), 由于, 由二階導(dǎo)數(shù)的定義有. 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性, 當(dāng)在的足夠小的去心鄰域內(nèi)時(shí), . 但, 所以上式即為. 于是對(duì)于去心鄰域內(nèi)的來說, 與符號(hào)相反. 因此, 當(dāng)即時(shí),; 當(dāng)即時(shí),. 根據(jù)定理2, 在處取得極大值. 類似地可以證明情形(2). 說明：如果函數(shù)在駐點(diǎn)處的二導(dǎo)數(shù), 那么該點(diǎn)一定是極值點(diǎn), 并可以按的符來判定是極大值還是極小值. 但如果, 定理3就不能應(yīng)用. 例如討論函數(shù), 在點(diǎn)

12、是否有極值？因?yàn)? ，所以，但當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 所以為極小值.而,，所以，但 不是極值 例3 求出函數(shù) 的極值解 令得駐點(diǎn) ，由于由于 所以極大值而所以極小值函數(shù) 的圖形如下注意 當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處不一定取得極值，此時(shí)仍用定理2判斷。 函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn). 例4 求函數(shù)的極值. 解 ,令f ¢(x)=0, 求得駐點(diǎn) 又, 所以 因此在處取得極小值, 極小值為. 因?yàn)? 所以用定理3無法判別. 而在處的左右鄰域內(nèi), 所以在處沒有極值; 同理, 在處也沒有極值. 四、小結(jié)曲線的彎曲方向曲線的凹凸性;凹凸性的判定.改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn);拐點(diǎn)的求法1, 2.五、作業(yè) 第五節(jié) 數(shù)學(xué)建

13、模最優(yōu)化教學(xué)目的：掌握函數(shù)最大值、最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)：掌握函數(shù)最大值、最小值的求法教學(xué)難點(diǎn)：掌握函數(shù)最大值、最小值的求法教學(xué)內(nèi)容：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、十一、十二、十三、十四、 一、最大值最小值問題1極值與最值的關(guān)系: 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 則函數(shù)的最大值和最小值一定存在. 函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得, 如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得, 則必在開區(qū)間內(nèi)取得, 在這種情況下, 最大值一定是函數(shù)的極大值. 因此, 函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者. 同理, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最小值一定是函數(shù)的所有極小

14、值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最小者. 2最大值和最小值的求法: 設(shè)在內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的極值點(diǎn))為, 則比較的大小, 其中最大的便是函數(shù)在上的最大值, 最小的便是函數(shù)在上的最小值. 求最大值和最小值的步驟(1).求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);(2).求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)例1 求函數(shù)在上的最大值和最小值解 由于 因此函數(shù)在上的最大值為最小值為 3. 最大值、最小值的應(yīng)用實(shí)際問題求最值步驟:(1)建立目標(biāo)函數(shù); (2)求最值.例2 工廠鐵路線上AB段的距離為10

15、0km. 工廠C距A處為20km, AC垂直于AB. 為了運(yùn)輸需要, 要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路. 已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3:5. 為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省, 問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？解 設(shè), 則 , . 再設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y, 那么(是某個(gè)正數(shù))即. 于是問題歸結(jié)為: 在內(nèi)取何值時(shí)目標(biāo)函數(shù)的值最小. 先求對(duì)的導(dǎo)數(shù): .解方程得. 由于, , 其中以為最小, 因此當(dāng)時(shí)總運(yùn)費(fèi)最省. 注意:在一個(gè)區(qū)間(有限或無限, 開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn), 且該駐點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn), 那么當(dāng)是極大值時(shí), 就是該區(qū)間上的最大值; 當(dāng)是極小值時(shí),就

16、是在該區(qū)間上的最小值. f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y說明： 實(shí)際問題中往往根據(jù)問題的性質(zhì)可以斷定函數(shù)確有最大值或最小值, 和一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得. 這時(shí)如果在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn), 那么不必討論是否是極值就可斷定是最大值或最小值. 例3 某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)試問房租定為多少可獲得最大收入？解 設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套 每月總收入為 ， （唯一駐點(diǎn)）故每月每套租

17、金為350元時(shí)收入最高.最大收入為二、對(duì)拋射體運(yùn)動(dòng)建模假設(shè)拋射體在時(shí)刻以初速度發(fā)射到第一象限，若以和水平線成角（拋射角），則拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡由參數(shù)方程給出，其中是重力加速度.例4 在地面上以的初速度和的拋射角發(fā)射一個(gè)拋射體.求發(fā)射10秒后拋射體的位置.解 由，則 ，即發(fā)射10秒后拋射體離開發(fā)射點(diǎn)的水平距離為2000米，在空中高度為2974米.三、光的折射原理例5 求一條光纖從光速為的介質(zhì)中的點(diǎn)穿過水平界面射入到光速為的介質(zhì)中點(diǎn)的路徑.點(diǎn)和點(diǎn)位于平面且兩種介質(zhì)的分界線為軸，點(diǎn)在介質(zhì)分界線上，和分別表示點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，和分別表示入射角和折射角.解 因?yàn)楣饩€從到會(huì)以最快的路徑行進(jìn)，所以要尋求使行進(jìn)

18、時(shí)間最短的路徑. 光線從點(diǎn)和點(diǎn)所需時(shí)間為，從點(diǎn)和點(diǎn)所需時(shí)間為，故光線從點(diǎn)到點(diǎn)所需的時(shí)間（目標(biāo)函數(shù)）為 這個(gè)方程描述的就是光的折射定律.四、在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用五、小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念，因此函數(shù)的極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn). 函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)處取得.極值的判別法 要注意使用條件注意最值與極值的區(qū)別.四、作業(yè) 作業(yè)卡：P166 1.2第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪教學(xué)目的：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用微分學(xué)綜合知識(shí)的能力，描繪函數(shù)的圖形。教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值的求法、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性、函數(shù)圖形拐點(diǎn)的求法及水平、鉛直漸近線和斜漸近線的求法。會(huì)

19、求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。教學(xué)內(nèi)容：一、漸近線 當(dāng)曲線上的一動(dòng)點(diǎn)P沿曲線移向無窮點(diǎn)時(shí)，如果點(diǎn)P到某定直線L的距離趨向于零，那么直線L就稱為曲線的一條漸近線。1 鉛直漸近線（垂直于軸的漸近線）如果或，那么就是曲線的一條鉛直漸近線。例如曲線有兩條鉛直漸近線2 水平漸近線（平行于軸的漸近線）如果或（為常數(shù)），那么就是曲線的一條水平漸近線。例如曲線有兩條水平漸近線 3 斜漸近線如果或（為常數(shù)）那么就是曲線的一條斜漸近線。注意：如果(1) 不存在；(2) 存在，而不存在, 那么曲線無斜漸近線.斜漸近線的求法：求出，則就是曲線的斜漸近線例1 求曲線的漸近線解 , 因?yàn)?

20、所以是鉛直漸近線又因?yàn)? 所以為斜漸近線二、描繪函數(shù)圖形的一般步驟: (1)確定函數(shù)的定義域, 并求函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù); (2)求出一階、二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn), 求出一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn); (3)列表分析, 確定曲線的單調(diào)性和凹凸性; (4)確定曲線的漸近性; (5)確定并描出曲線上極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、拐點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、其它特殊點(diǎn); (6)聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫出函數(shù)的圖形. 例2. 做出函數(shù)的圖形. 解: 函數(shù)的定義域?yàn)?非奇非偶函數(shù),且無對(duì)稱性., , 令, 得駐點(diǎn) 再令得特殊點(diǎn), 又得水平漸近線,而,鉛直漸近線列表0+不存在-0+Ç拐點(diǎn)È極值點(diǎn)È間斷點(diǎn)È 補(bǔ)

21、充點(diǎn)：，例3. 畫出函數(shù)的圖形. 解: (1)函數(shù)的定義域?yàn)?-¥, +¥), (2) (3x+1)(x-1). 令得，再令得. (3)列表分析: (-¥, -1/3)-1/3(-1/3, 1/3)1/3(1/3, 1)1(1, +¥)+0-0+-0+Ç極大Ç拐點(diǎn)È極小È因?yàn)楫?dāng)x ®+¥時(shí), y ®+¥ 當(dāng)x ®-¥時(shí), y ®-¥. 故無水平漸近線 計(jì)算特殊點(diǎn):, , , ; , . 描點(diǎn)聯(lián)線畫出圖形: 例4. 作函數(shù)的圖形. 解:

22、函數(shù)為偶函數(shù), 定義域?yàn)?-¥, +¥), 圖形關(guān)于y軸對(duì)稱. (2), . 令, 得駐點(diǎn); 再令, 得和. 列表: -101000È拐點(diǎn)Ç極大值Ç拐點(diǎn)È 曲線有水平漸近線y=0. 先作出區(qū)間內(nèi)的圖形, 然后利用對(duì)稱性作出區(qū)間內(nèi)的圖形. 例5. 作函數(shù)的圖形. 解: 函數(shù)的定義域?yàn)? , . 令, 得駐點(diǎn); 再令, 得 列表:36-+0-0+ÇÇ極大4Ç拐點(diǎn)È是曲線的鉛直漸近線, 是曲線的水平漸近線. 補(bǔ)充點(diǎn):, , ，. 圖四、作業(yè) 作業(yè)卡：P1.3單第七節(jié) 曲率教學(xué)目的：了解曲率和曲率半徑的

23、概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。教學(xué)重點(diǎn)：曲率和曲率半徑的概念。教學(xué)難點(diǎn)：曲率和曲率半徑的概念教學(xué)內(nèi)容：一、弧微分設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 在曲線上取固定點(diǎn)作為度量弧長(zhǎng)的基點(diǎn), 并規(guī)定依增大的方向作為曲線的正向. 對(duì)曲線上任一點(diǎn), 規(guī)定有向弧段的值（簡(jiǎn)稱為?。┤缦? 的絕對(duì)值等于這弧段的長(zhǎng)度, 當(dāng)有向弧段的方向與曲線的正向一致時(shí) , 相反時(shí) . 顯然, 弧是的函數(shù): , 而且是的單調(diào)增加函數(shù). 下面來求的導(dǎo)數(shù)及微分. 設(shè), 為內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn), 它們?cè)谇€上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M, N, 并設(shè)對(duì)應(yīng)于的增量 , 弧的增量為, 于是 , , 因?yàn)?1, 又, 因此=±. 由于是單調(diào)增加函數(shù), 從而, =. 于是 . 這就是弧微分公式. 二、曲率及其計(jì)算公式 曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量曲線彎曲程度的直觀描述: 設(shè)曲線C是光滑的, 在曲線C上選定一點(diǎn)作為度量弧的基點(diǎn). 設(shè)曲線上點(diǎn)M 對(duì)應(yīng)于弧, 在點(diǎn)M處切線的傾角為 , 曲線上另外一點(diǎn)N對(duì)應(yīng)于弧 , 在點(diǎn)N處切線的傾角為. )弧段彎曲程度 轉(zhuǎn)角相同弧段越越大轉(zhuǎn)角越大 短彎曲程度越大 用比值, 即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達(dá)弧段的平均彎曲程度.記, 稱為弧段