平面向量的極化恒等式及其應(yīng)用

1、平面向量的極化恒等式及其應(yīng)用一. 極化恒等式的由來定理：平行四邊形的對角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍.證法 1（向量法）設(shè) ABa, ADb. 則 ACab, DBa b,AC22a b2a b2222 AB22DB2 abAD.2222即ACDB2 ABAD .證法 2（解析法）證法 3（余弦定理）22222222推論 1：由 ACDB2ABAD知， 2AO2OB2 ABAD ,2222即ABAD2 AOOB推論 2： a b1224a ba b-極化恒等式 .22即AB ADAOOB推論 3：在ABC 中， O是邊 BC 的中點，則22212ABACAOOBAOBC -極化恒等式的幾

2、何意義 .4亦即向量數(shù)量積的第二幾何意義.二. 平行四邊形的一個重要結(jié)論平行四邊形的對角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍.2222ACDB2ABAD .2222三 . 三角形中線的一個性質(zhì) ：ABAC2AOOB .21222推論 1：AOABACOB .2212212推論 2：AOABACBC .242PB2P 是直角三角形PA【應(yīng)用】已知點ABC 斜邊 AB 上中線 CD 的中點，則2.PC1四. 三角形“四心”的向量形態(tài)1.O 是平面上一定點，A, B,C 是平面上不同的三點，動點P 滿足OPOAABAC0，則動點 P 的軌跡一定通過ABC 的 -，ABACA.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂

3、心2. O 是平面上一定點，A, B,C 是平面上不同的三點，動點P 滿足OPOAABAC，0， .AB sin B AC sin C則動點 P 的軌跡一定通過ABC 的 -A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心3. O 是平面上一定點，A, B,C 是平面上不同的三點，動點P 滿足OPOAABAC0，AB cosB AC cosC則動點 P 的軌跡一定通過ABC 的 -A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心4.P 是 ABC 所在平面上一點，若 PAPBPB PCPCPA ，P 是 ABC 的 -A. 外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心ABC5.O是 ABC 所在平面內(nèi)的一點，滿足 AB2OC 2AC 2OB

4、 2BC 2OA2，則點 O是 ABC 的 - （）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心五. 典型案例分析問題1 在ABC中， M 是 BC 的中點， AM3，BC10，則 AB?AC【變式】已知正方形ABCD 的邊長為1，點 E 是 AB 邊上的動點，則DE ?DA問題 2 已知正三角形ABC 內(nèi)接于半徑為 2 的圓 O ，點 P 是圓 O 上的一個動點， 則 PA ? PB的取值范圍是 -【變式】（ 2010 福建文11 題）若點 O 和點 F 分別為橢圓x 2y 21的中心和左焦點，點 P43為橢圓上的任意一點，則OP ? FP 的最大值為（）A. 2B.3C.6D.82問題 3（ 2013

5、 浙江理7）在ABC 中， P0 是邊 AB 上一定點，滿足 P0 B1 AB ，且對于邊4AB 上任一點 P ，恒有 PB? PC P0 B ?P0C ，則A.ABC2B.BAC2C.ABACD.ACBC【變式】（ 2008浙江理 9題）已知 a,b 是平面內(nèi)的兩個互相垂直的單位向量，若向量c 滿足a c ? b c0 ，則 c 的最大值是（）A. 1B.2C.22D.2問題 3已知直線 AB 與拋物線 y24x 交于點 A, B ，點 M 為 AB 的中點， C 為拋物線上一個動點，若 C 0 滿足 C0 A ? C0 B min CA ? CB ，則下列一定成立的是（）【 B】A.C 0

6、 MABB.C 0 Ml ，其中是拋物線過點的切線C.C 0 AC0 BD.C 0 MAB （ 2013 年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題第5 題）問題 4在正三角形ABC 中， D 是 BC 上的點， AB 3，BD1,則 AB ? AD（ 2011 年上海第11 題）【 15 】2問題 5在ABC中，AB2，AC，是BC的中點，則 AD ? BC.3 D（ 2007 年天津文科第15題）【5】2問題 6正方體 ABCDA1 B1 C1D1 的棱長為2 ， MN 是它內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦）， P 為正方體表面上的動點，當(dāng)弦最長時，PM ? PN 的最大值為-. （ 2

7、013 年浙江省湖州市高三數(shù)學(xué)二模）【2】 .問題 7點 P 是棱長為1 的正方體 ABCDA1B1 C1 D1 的底面 A1B1C1 D1上一點，則 PA ? PC 的取值范圍是 -.（ 2013 年北京市朝陽區(qū)高三數(shù)學(xué)二模） 【1,1 】.2問題8如圖，在平行四邊形ABCD 中，已知AB8，AD5 ，CP3PD ，則 AP ? BP2 . AB ? AD 的值為 -. （ 2014 年高考江蘇卷第 12 題）【 22】3問題 9如圖，在半徑為 1的扇形 AOB 中，AOB600 , C 為弧上的動點，AB 與 OC 交于點 P ，則 OP ?BP2 最小值為 - 【1 】 .222問題 1

8、0已知 Mx0 , y0是雙曲線 C : x2y21上的一點， F1,F2 是Cab的兩個焦點，若MF1 ?MF20 ，則 y0 的取值范圍是（）A.33B.33C.22222323,36,3,D.3,3363【橢圓與雙曲線焦點三角形的幾個結(jié)論】：在橢圓 C : x 2y 21 ab0中，設(shè)F1MF 2，則a 2b2MF1 ? MF2b2，SABCb 2tan， yb2tan2 .ccos222在雙曲線 C : x2y 21 a0,b0 ，設(shè) F1MF 2，則a 2b2MF1 ? MF2b 2，S ABCb2cot， yb 2 cot2 .sin 222c課外探究1. 已知點 P 是橢圓 x2y 21上任意一點，EF 是圓 M : x 2y2 21 的直168徑，則 PE ? PF 的最大值為