圓錐曲線中的最值問題

1、圓錐曲線最值問題一、構(gòu)造直線的橫、縱截距求最值0的最大值.例1、 若實(shí)數(shù)x, y滿足x2 y2 2x 4y 0,求x 2y二、構(gòu)造直線的斜率求最值例2、若實(shí)數(shù)x, y滿足(x 2)2 y23,求1的最大值.x三、構(gòu)造點(diǎn)到直線的距離公式求最值例3、已知圓(x 3)2 (y 3)21，求2x y 1的最值.四、構(gòu)造平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式求最值2 2 例4、平面內(nèi)有兩點(diǎn) A( 1,0), B(1,0), P為圓(x 3)2 (y 4)21上一點(diǎn)，求PA PB的最大值、最小值.五、構(gòu)造三點(diǎn)共線的線段求最值2 2例5、已知橢圓厶 1的右焦點(diǎn)為F,且有定點(diǎn) A(1,1)，又P為橢圓上任意一點(diǎn),259求PF

2、PA 的最大值.六、利用圓錐曲線的第二定義求最值例6、若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)為拋物線y2 2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上移動(dòng)，求PA PF的最小值.七、利用圓錐曲線的參數(shù)方程求最值2 2例7、已知點(diǎn)P是橢圓x 8y 8上到直線丨：x y 4 0的距離最小的點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(33)B.（3,3）C.(0, 1) D. ( 2匹0)八、利用重要不等式求最值例&2 2已知圓 C : (x a)(y b)8,(ab0）過坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓心 C到直線x l:-1距離的最小值等于（）abA. . 2B. 2C.2.2D.ab設(shè)x 2y b,則當(dāng)直線x 2y b0與圓相切時(shí)有1 2( 2)

3、b解答:例題 1 分析：x2y2 2x 4y 02 2(X 1) (y 2)5(x, y)即是此圓上一點(diǎn)，設(shè)x 2y b,則x 2y的最值即是直線x 2y b 0在x軸截距的最值，故可利用直線截距求解.解：如圖 1， x, y滿足x2 y2 2x 4y 0.2 2(x.y)是圓(x 1) (y 2)5上的點(diǎn)，2(5 b) 25b 0或 b 10x 2y的最大值為10.例題2分析： 丄匚0，聯(lián)想到動(dòng)點(diǎn)(x, y)到原點(diǎn)的連線的斜率，則問題轉(zhuǎn)化為求斜率x x 0k的最大值.解：如圖2,設(shè)k -,則y kx.，x當(dāng)直線與圓切于 A點(diǎn)，圓(x 2)2 y23的圓心為C,則CA OA易知 OC 2, A

4、C .3, OA 1, k tg AOC .3.所以y的最大值是3x1于兩點(diǎn)E、F.3)23)2 (y直線2x y 10的垂線AC交圓(x則E到直線2x y 10的距離最小,F到直線2x y 10的距離最大.圓心C到直線2x y10的距離為:AC2x y 1的最大值為8"5( 51).5，最小值為-.5(Q51) 8例題4分析：設(shè)P(x, y)為圓(x 3)2(y4)21上任意一點(diǎn),PA2PB2 (x 1)2 y2 (x1)22(x2y而x2 y2可構(gòu)造為圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方,從而將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離問題，使原問題明朗化解：設(shè)P(x, y)為圓(x3)2 (y 4)21上任

5、意一點(diǎn)，則PA2PB2 2(x 1)22 2y (x 1)2 2 2、y 2(x y )如圖4,過圓心C作直線0C交圓C于D、E兩點(diǎn),圓C上點(diǎn)D即是到原點(diǎn)距離的最小點(diǎn)，E即是到原點(diǎn)距離的最大點(diǎn)而：0C-.(3 0)2 (4 0)250D5 14,0E5 16,2圖474 .則PA22 2 2PB的最小值為2 42234，最大值為2 62PF PA 10 PF PA 10 PA PF 問題轉(zhuǎn)化為求 PA PF聯(lián)想到構(gòu)造三點(diǎn)共線的線段，連結(jié)AF延長(zhǎng)交橢圓于的最大值為AF ，問題得以解決.解：如圖5,設(shè)F為橢圓的左焦點(diǎn)，則由橢圓定義則PFPA 10PFPA 10 PAPF的最大值.P點(diǎn)，由三角形知識(shí)

6、易知 PA PFPFPF10,連結(jié)AF延長(zhǎng)交橢圓于P點(diǎn)，若則在 APF中PA PFAFPF的最大值為AFa 5, b 3, c 4F ( 4,0),A(1,1)AFV26，故PF PA得最大值為10 42例題6分析：A(3,2)在拋物線內(nèi)，設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為 PT，則由拋物線定義PA PF PA PT，當(dāng)且僅當(dāng)P、的值最小.A T三點(diǎn)共線時(shí)，PA PF交準(zhǔn)線I于T點(diǎn).由三角形知識(shí)知 PT PA PTP A T A準(zhǔn)線I的方程為x7 -_2/V3TA故PAPF的最小值為-21，即 a 2、. 2,b1,例題7分析：先將橢圓方程22X28y8化為標(biāo)準(zhǔn)方程y8再將標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程2； 2 cos（為參數(shù)）就得到動(dòng)點(diǎn)p（2. 2cos ,sin y sin的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式及三角函數(shù)的求最值的方法，問題得到解決，設(shè) P(2、2cos ,sin解：將X2 8y2 8化成參數(shù)方程X 2 2 cos （為參數(shù)）y sinsin 423si n(、一 2（其中sin2 2 ,cos3當(dāng) sin( )1 時(shí)，dmin此時(shí)可以取得?，從而可得到P（-,-).故選 A.3 3例題8分析:由圓 C : (x a)2(yb)28,（ab0）過坐標(biāo)原點(diǎn)得a2b28，抓住定值a2 b28,利用重