2014年高中數(shù)學抽象函數(shù)專題習題

1、2014高中數(shù)學抽象函數(shù)專題習題高中數(shù)學抽象函數(shù)專題特殊模型和抽象函數(shù)特殊模型抽象函數(shù)正比例函數(shù)f(x)=kx(k#0)f(x+y尸f(x)+f(y)哥函數(shù)f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)或f(.)黑指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a?1)f(x+y尸f(x)f(y)或f(xy)f(x)f(y)對數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0且a?1)f(xy尸f(x)+f(y)x或f()f(x)f(y)y正、余弦函數(shù)f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函數(shù)f(x)=tanx一、f(x)f(y)f(xy)1f(x)f(y)余切函數(shù)f(x)=cotx-11f(

2、x)f(y)f(xy)f(x)f(y)一.定義域問題多為簡單函數(shù)與復合函數(shù)的定義域互求。例1.若函數(shù)y=f(x)的定義域是2,2,則函數(shù)y=f(x+1)+f(x-1)的定義域為練習：已知函數(shù)f(x)的定義域是1,2,求函數(shù)flogi3x的定義域。2例2:已知函數(shù)flog3x的定義域為3,11,求函數(shù)f(x)的定義域練習：定義在3,8上的函數(shù)f(x)的值域為2,2,若它的反函數(shù)為f-1(x),則y=f-1(2-3x)的定義域為,值域為。二、求值問題-抽象函數(shù)的性質是用條件恒等式給出的，可通過賦特殊值法使問題得以解決。例3.對任意實數(shù)x,y,均滿足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)#

3、0,則f(2001)=R上的奇函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f-1(x)，由丫=祇+1)與y=f-1(x+2)互為反函數(shù)，貝Uf(2009)=.例4.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1,且對任意x6R者B有f(x+5)>f(x)+5,f(x+1)wf(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,則g(2002)=.練習:2則四)也蟠),f(1)f(3) f(5)22f2(3) f(6)f2(4)f(8)f(5)”7)3的值是 f(2001)1 .f(x)的定義域為(0,),對任意正實數(shù)x,y都有f(xy尸f(x)+f(y)且f(4)=2,則(2)2 .如果f(xy)f(x)f(y),

4、且f(1)22f2(1)f(2)f2(2)f(4)f(1)f(3)3、對任意整數(shù)x,y函數(shù)yf(x)滿足：f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(1)1,則f(8)(A.-1B.1C.19D.434、函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，對xR都有f(x6)f(x)f(3)成立，若f(1)2,則f(2005)=()A.2005B.2C.1D.05、定義在R上的函數(shù)Y=f(x)有反函數(shù)Y=f-1(x),又Y=f(x)過點(2,1),Y=f(2x)的反函數(shù)為Y=f-1(2x),則Y=f-1(16)為()1 1A)1B)-1C)8D)16816156、已知a為實數(shù)，且0a1,f(x)是定義在0,1上的函數(shù)，滿

5、足f(0)0,f(1)1,對所有xy,均有f(xy)(1a)f(x)af(y)1，(1)求a的值(2)求f(彳)的值三、值域問題例4.設函數(shù)f(x)定義于實數(shù)集上，對于任意實數(shù)x、y,f(x+y尸f(x)f(y)總成立,且存在X1x2,使得f(x1)f(x2),求函數(shù)f(x)的值域。四、求解析式問題(換元法，解方程組，待定系數(shù)法，遞推法,區(qū)間轉移法,例5.已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)例6、設對滿足k0,x#1的所有實數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足,fx,求f(x)的解析式。例7.已知f(x)是多項式函數(shù)，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).例8.是否

6、存在這樣的函數(shù)f(x)，使下列三個條件：f(n)>0,n6N;f(ni+n2)=f(ni)f(n2),ni,n26N*;f(2)=4同時成立?若存在，求出函數(shù)f(x)的解析式；若不存在，說明理由.例9、已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x-)f(x3恒成立，當x2,3時，22f(x)x,則x(2,0)時，函數(shù)f(x)的解析式為()A.x2B.x4C.2x1D.3x1練習：1 、設yf(x)是實數(shù)函數(shù)(即x,f(x)為實數(shù)),Hf(x)2f(1)x,求證：|f(x)|-V2.x32 .(重慶)已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.(I)若f(2

7、)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);(II)設有且僅有一個實數(shù)x。,使得f(xo)=xo,求函數(shù)f(x)的解析表達式。3、函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0,(1)求f(0)的值；對任意的xi(0,1),X2(0,1),都有f(Xi)+2<lOgaX2成立時,22求a的取值范圍.五、單調性問題(抽象函數(shù)的單調性多用定義法解決)例10設函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y,都有f(x+y尸f(x)+f(y),若x>0時f(x)<0,且f(1)二-2,求f(x)在-3,3上的最大值和最小值.練習：設f(x)定義于實

8、數(shù)集上，當x>0時，f(x)>1,且對于任意實數(shù)x、y,有f(x+y)=f(x)f(y),求證：f(x)在R上為增函數(shù)。例11、已知偶函數(shù)f(x)的定義域是x?0的一切實數(shù)，對定義域內(nèi)的任意Xi,X2都有f(XiX2)f(Xi)f(X2),且當X1時f(x)0,f(2)1,(1)f(x)在(0,+oo)上是增函數(shù)；(2)解不等式f(2X21)2練習：已知函數(shù)f(X)的定義域為R,且對m、n6R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f(1尸。,當x>1時，f(X)>0.求證：f(X)是單調遞增函數(shù)；例12、定義在R+上的函數(shù)f(X)滿足:對任意實數(shù)m,f(Xm)=m

9、f(X);f(2)=1。(1)求證:f(Xy)=f(X)+f(y)對任意正數(shù)X,y都成立；(2)證明f(X)是R+上的單調增函數(shù)；(3)若f(X)+f(X-3)&2,求乂的取值范圍.練習1定義在R上的函數(shù)y=f(x),f(0)#0,當x>0時，f(x)>1,且對任意的a、b6R,有f(a+b)=f(a)f(b).(1)求證：f(0)=1;求證：Xt任意的x6R,恒有f(x)>0;(3)求證:f(x)是R上的增函數(shù)；(4)若f(x)f(2xx2)>1,求x的取值范圍.練習2、已知函數(shù)f(x)對任何正數(shù)x,y都有f(xy尸f(x)f(y),且f(x)#0,當x>

10、;1時,f(x)<1試判斷f(x)在(0,+s)上的單調性。六、奇偶性問題例13.(1)已知函數(shù)f(x)(x?0的實數(shù))對任意不等于零的實數(shù)x、y都有f(xy尸f(x)+f(y),試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。例14:已知函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱且滿足1f(xy)f(x)f(y)1,(2)f(y)f(x)存在正常數(shù)a,使f(a)=1.求證：f(x)是奇函數(shù)。例15:設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(，0)上是增函數(shù)，又f(2a2a1)f(3a22a1)。求實數(shù)a的取值范圍。例16:定義在R上的單調函數(shù)f(x)滿足f(3)=log23且對任意x,yR都有f(x+y尸f(x)+f(

11、y).(1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(k3x)+f(3x-9x-2)<0對任意xGR恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.練習：1、已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的函數(shù)a,b都滿足f(ab尸af(b)+bf(a).求f(0),9)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性，并證明你的結論；(3)若f(2)=2,un=f(2n)(nN*),求證:Un+i>Un(nN*).2.定義域為R的函數(shù)f(x)滿足：對于任意的實數(shù)x,y都有f(x+y尸f(x)+f(y)成立，且當x>0時f(x)<0恒成立.判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結論；(2)證明f(x)為減函數(shù)

12、；若函數(shù)f(x)在-3,3)上總有f(x)w6成立，試確定f(1)應滿足的條件；1。1。(3)解關于x的不等式一f(ax)f(x)-f(ax)f(a),(n是一個給te的自然數(shù)，a0)nn3、已知f(x)是定義在1,1上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若a,b61,1,a+b?0時，有f(a)f(b)>0.ab(1)判斷函數(shù)f(x)在1,1上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結論；(2)解不等式：f(x+1)<f();2x1(3)若f(x)Wm22pm+1對所有x61,1,p61,1(p是常數(shù))恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.七、周期性與對稱性問題（由恒等式簡單判斷：同號看周期，異號看對稱）編

13、號周期性對稱性1fxafxafxafxa7對稱軸xayfxa是偶函數(shù)；fxafxa7對稱中心(a,0)yfxa是奇函數(shù)T=2|；a2faxfbxT=bafaxfbx7對稱軸x-a2b;faxfbx對稱中心(,0),3f(x)=-f(x+aT=2e)-af(x)=-f(-x+a)一對稱中心-1,04faxfbxT=2ba.，一,、abfaxfbx一對稱中心,025f(x)=士，-T=2afxf(x)=b-f(-x+a)-對稱中心-,2261f(x)=1-f(x)0ffxaT=3結論：(1)函數(shù)圖象關于兩條直線x=a,x=b對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2|a-b|(2) 函數(shù)圖象關于

14、點M(a,0)和點N(b,0)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2|a-b|(3) 函數(shù)圖象關于直線x=a,及點M(b,0)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=4|a-b|(4)應注意區(qū)分一個函數(shù)的對稱性和兩個函數(shù)的對稱性的區(qū)別：y=f(a+x)與y=f(b-x)關于xb-2對稱；y=f(a+x)與y=-f(b-x)關于點(»2,0)對稱例17:已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),則f(6)的值為()A.-1B.0C.1D.2函數(shù)f(x)對于任意的實數(shù)x者B有f(1+2x)=f(1-2x),則f(2x)的圖像關于對稱。例18.已知函數(shù)y=f(x)

15、滿足f(x)f(x)2002，求f1xf12002x的值。例19.奇函數(shù)f(x)定義在R上，且對常數(shù)T>0，恒有f(x+T)=f(x),則在區(qū)間0,2T上，方程f(x)=0根的個數(shù)最小值為()3個B.4個C.5個D.6個練習1、函數(shù)yf(x1)是偶函數(shù)，則yf(x)的圖象關于對稱。12、函數(shù)yf(x)滿足f(x3),且f(3)1,則f(2010)。f(x)7113、函數(shù)f(x)是定乂在R上的奇函數(shù)，且f(-x)f(-x),則f(1)f(2)f(3)ff(5)4、已知函數(shù)yf(2x1)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)yg(x)是yf(x)的反函數(shù)，若xx2。則g(x)g(x2)()A)2B)0C)1D)-25 .設f(x)是R的奇函數(shù),f(x+2)=f(x)，當0WxW1,時,f(x)=x，則f(7.5)=-0.56 .定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)+f(x)=3,則f-1(x)+f-1(3-x)=.7、f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)=0,則方程f(x)=0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個數(shù)的最小值是()A.4B.5C.6D.78、設函數(shù)f(x)的定義域為1,3,且函數(shù)f(x)的圖象關于點(2,0)成中心對稱，已知當x2,3時f(x)=/2x,求當x1,2時,f(x)的解析式.9、(山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間